检测5圆锥曲线的方程基础卷-2025-2026学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测5圆锥曲线的方程基础卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，则的横坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．双曲线的离心率为（   ） A． B．3 C． D． 3．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 4．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（为坐标原点）的面积是（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 5．已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 6．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C的一条渐近线的斜率为，且焦点在x轴上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线不可能表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 10．已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为5 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为 ． 13．双曲线：的渐近线的斜率为 . 14．已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 16．（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程. 17．（1）求适合下列条件的双曲线的标准方程： ①，，焦点在轴上； ②焦点为，，且； （2）根据下列条件写出抛物线的标准方程： ①焦点是； ②准线方程是； 18．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 19．在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于两点，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A A D D ACD CD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】根据抛物线的定义直接计算即可． 【详解】解：设的横坐标为， ，解得， 的横坐标为， 故选：B． 2．B 【分析】根据离心率的定义计算. 【详解】由双曲线方程得，则， 则双曲线的离心率． 故选：B． 3．A 【分析】利用椭圆的定义可求答案. 【详解】因为椭圆：的长轴长为，是椭圆上一点， 所以. 故选：A 4．C 【分析】先根据点在抛物线上得出，进而得出焦点，最后计算面积求解. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即， 则抛物线的焦点为， 则的面积是. 故选：C. 5．A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 6．A 【分析】利用双曲线渐近线方程，结合待定系数法即可求解. 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可得， 再由过点可得：， 代入得：， 则，所以双曲线的方程为， 故选：A. 7．D 【分析】根据渐近线斜率及计算求解. 【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，则双曲线C的一条渐近线的斜率为， 则C的离心率为. 故选：D. 8．D 【分析】由椭圆方程求出其焦点，根据焦点在准线上求出，得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程可得，所以， 则由题知焦点在准线上，得到，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故选：D. 9．ACD 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误； 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确. 对于C，任意且，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确； 故选：ACD 10．CD 【分析】由题意，根据双曲线的方程可得，结合即可下结论. 【详解】由已知可得： 所以， 所以 故选：CD 11．AB 【分析】由双曲线方程得，根据双曲线的定义可判断A；由离心率公式可判断B；求出渐近线方程可判断C；根据点到直线的距离公式可判断D． 【详解】对于A，由双曲线方程得，， ∵点P在双曲线的右支上，∴，故A正确； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，渐近线方程为，故C错误； 对于D，渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为，故D错误．. 故选：AB． 12．4 【分析】求出椭圆a的值，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】焦点在轴上的椭圆，标准形式为（）， 所以，解得， 所以，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为． 故答案为：4． 13． 【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率. 【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为， 故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为. 故答案为： 14． 【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案. 【详解】因为点A到C的焦点的距离为8， 所以点A到准线的距离为8， 因为点A到y轴的距离为6，所以，即. 故答案为： 15．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类讨论，求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点， 因为，所以椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为． 16．（1）焦点坐标为，准线方程为；（2）或或. 【分析】（1）根据方程可得焦点坐标和准线方程； （2）根据斜率分情况讨论，联立方程只有一个解，可得答案. 【详解】（1）因为抛物线，所以，. 因为抛物线焦点在横轴的正半轴上，所以焦点为，准线方程为. （2）若直线没有斜率，则与抛物线相切，满足要求. 若所求直线有斜率，则由其过点设其方程为. 联立方程组，消去y得. 当时，直线方程为，解得只有一个公共点； 当时，，解得，此时直线方程为； 综上所述，所求直线方程为或或. 17．（1）①,②；（2）①，②. 【分析】（1）根据双曲线的几何性质，结合焦点位置即可得解； （2）根据焦点或准线判断开口方向和的值，然后可得标准方程. 【详解】（1）①因为，，所以， 又因为焦点在轴上，所以双曲线标准方程为：. ②因为焦点为，，所以双曲线焦点在轴上，且， 又，所以， 所以，所求双曲线方程为：. （2）在抛物线中，记焦点到准线的距离为， ①因为焦点是，所以抛物线开口向右，且，得， 所以，所求抛物线的标准方程为：. ②由准线方程是可知，抛物线开口向右，且，得， 所以，所求抛物线的标准方程为：. 18．(1) (2)3 【分析】（1）由和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标. （2）由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点之间的距离. 【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得 又点上在，所以联立得方程组， 解方程组得或（舍去），当时，， 由图可知，所以， 故C的坐标为． （2）（2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即． 令可得或（舍去），即， 所以， 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3． 19．(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义将点到焦点距离转化为到准线距离求出，得到抛物线方程； （2）可判断为焦点弦，由焦点弦公式求出，由点到直线距离公式求出到距离，根据面积公式求解. 【详解】（1）因为抛物线上一点到焦点的距离为， 抛物线的准线方程为，所以根据抛物线定义得， 解得，所以抛物线的方程为； （2）由（1）知抛物线的焦点满足直线方程， 由得，整理得， 设，则 由焦点弦公式. 又点到直线的距离， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测5圆锥曲线的方程基础卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，则的横坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．双曲线的离心率为（   ） A． B．3 C． D． 3．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆上一点，则（   ） A．4 B． C．2 D． 4．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（为坐标原点）的面积是（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 5．已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 6．若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C的一条渐近线的斜率为，且焦点在x轴上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．椭圆的一个焦点在抛物线（）的准线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线不可能表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 10．已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知点P在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A． B．离心率 C．渐近线方程为 D．点到渐近线的距离为5 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为 ． 13．双曲线：的渐近线的斜率为 . 14．已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 16．（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求过点且与抛物线有且只有一个公共点的直线方程. 17．（1）求适合下列条件的双曲线的标准方程： ①，，焦点在轴上； ②焦点为，，且； （2）根据下列条件写出抛物线的标准方程： ①焦点是； ②准线方程是； 18．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 19．在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于两点，求的面积． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $