精品解析：湖北孝感市云梦县2025-2026学年上学期期末学情调研八年级数学试卷

2025-2026学年度上学期期末学情调研八年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 温馨提示： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 某同学研学中，收集了一些漂亮的落叶．下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 剪纸，作为源远流长中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 6. 下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，于点，，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4.5 D. 6 9. 元代数学家朱世杰于1303年编著《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数有（ ） ①是的平分线； ②； ③点在的垂直平分线上； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 计算结果是______． 12. 一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 13. 已知多项式是完全平方式，则m值为______． 14. 如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 15. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 计算、因式分解： （1）计算：； （2）因式分解：． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，OP为∠AOB角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，求证：∠CPO=∠DPO． 19. 先化简：，其中为满足的整数，再请选出一个合适的数作为的值代入求值． 20. 按要求完成下列各题： （1）如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 21. 对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． （1）2与1的“2次幂差数”为_____； （2）若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 22. 近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，是轴上位于点上方的一动点，连接，过点作，垂足为，的延长线交轴于点． （1）求点，的坐标； （2）当点的坐标为时，求点的坐标； （3）如图2，连接，当点在轴上运动时，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 24. （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末学情调研八年级数学 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 祝考试顺利 温馨提示： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑） 1. 某同学研学中，收集了一些漂亮的落叶．下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】由题意可知：x-2≠0， x≠2， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则，解题的关键是掌握幂的相关运算法则． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方及负整数指数幂的运算规则逐一验证选项． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项正确，符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 剪纸，作为源远流长的中国民间艺术瑰宝，深藏着图形变换的无穷奥秘与精妙技艺．如图是一张蕴含轴对称变换的蝴蝶剪纸，将其放到直角坐标系中，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，根据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求解即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 5. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 6. 下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，其中相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可利用平方差公式简便计算； B、中无完全相同和互为相反数的项，只能用多项式乘多项式计算，不符合要求； C、，属于完全平方公式的应用，不能用平方差公式； D、，属于完全平方公式的应用，不能用平方差公式； 故选：A． 7. 下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的分子乘2，分母乘3，得到，不是同一个整式，变形错误； B、∵， ∴，分子分母同时除以，得，变形正确； C、，变形错误； D、的分子乘，分母乘，只有当或时等式成立，不是一定正确，变形错误． 故选：B． 8. 如图，在中，，，于点，，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 4.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据，易证是等边三角形，再根据，可得，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 10. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数有（ ） ①是的平分线； ②； ③点在的垂直平分线上； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图--基本作图，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： 利用基本作图可对①进行判断；利用角平分线定义计算出， 则，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：如图， ①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确； ②∵在中，，， ∴． 又∵是的平分线， ∴， ∴，即．故②正确； ③∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上．故③正确； ④∵在直角中，， ∴，又， ∴， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据同分母分式的减法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三边关系定理求出第三边的取值范围，然后取满足条件的一个数即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2、5、， 则， 故答案可为：6（答案不唯一）． 13. 已知多项式是完全平方式，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在等边三角形中，，分别是，上的动点（不在端点），且，交于点，则的大小为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，得出，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是_____． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：，， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：22． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 计算、因式分解： （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法、因式分解，熟记乘法公式是解答的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程的解为 （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键，注意计算结果一定要检验． （1）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果检验可得答案； （2）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果检验可得答案． 【小问1详解】 解：方程两边乘，得， 即， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边乘，得， 解得：， 检验：当时，，因此是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 18. 如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，求证：∠CPO=∠DPO． 【答案】见解析 【解析】 【分析】直接利用等角的余角相等即可证明． 【详解】∵OP为∠AOB的角平分线 ∴ ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴， ∴∠CPO=∠DPO． 【点睛】本题考查等角的余角相等，熟悉余角的性质是解题的关键，比较基础． 19. 先化简：，其中为满足的整数，再请选出一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先把括号内通分，再把分子、分母分解因式约分化简，然后从中取一个使分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， 且， 又为满足的整数， ， 当时，原式． 20. 按要求完成下列各题： （1）如图，在图中画出关于x轴对称的；（图中网格每个小正方形的边长均为1） （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，观察三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是_____； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形--轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （2）根据轴对称的性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形；根据成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等可得对称点坐标； （3）根据成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等可得对称点坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是； 【小问3详解】 解：猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是， 理由：设，根据对称性质得，则， ∴的坐标是． 故答案为：． 21. 对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． （1）2与1的“2次幂差数”为_____； （2）若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； （3）若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】（1）3 （2） （3）的最小值为8 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，新定义，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，理解新定义． （1）根据“2次幂差数”的定义进行求解即可； （2）根据“2次幂差数”的定义列出算式进行求解即可； （3）根据“2次幂差数”的定义结合题意得出，求出， 根据非负数的性质，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：根据“2次幂差数”的定义可得，． 2与1的“2次幂差数”为3， 故答案为：3． 【小问2详解】 解：依题 ； 【小问3详解】 解：已知，， 代入得：， 即， ， 由，及为整数，可得的取值范围为， ∵在该范围内， ∴当时，取得最小值64，则的最小值为8． 22. 近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． （1）求甲种光伏板的单价是多少？ （2）若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】（1）甲种光伏板的单价为700元 （2）一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【小问1详解】 解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． 【小问2详解】 解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，，且，是轴上位于点上方的一动点，连接，过点作，垂足为，的延长线交轴于点． （1）求点，的坐标； （2）当点的坐标为时，求点的坐标； （3）如图2，连接，当点在轴上运动时，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 （3）的度数是定值，定值为 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线是解答的关键． （1）利用完全平方公式和非负数的性质求得a、b值即可解答； （2）证明得到，进而可求解； （3）过点分别作，，垂足分别为，，利用全等三角形的性质和三角形的等面积法求得， 利用角平分线的判定定理得到平分，进而可得而，为定值． 【小问1详解】 解：， ， ，解得， ，； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， 由（1）可知， 在和中， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点分别作，，垂足分别为，， 由（2）可知：， ，， 即：， ， 平分，而， ， 的度数是定值，为． 24. （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由 （3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，即可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为． （2）如图，延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴； ∴． （3）如图，延长线上取一点，使得，连接，则， ∵，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $