精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县金英学校2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

金英学校九年级数学1月月考试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 已知点在抛物线上，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与函数的关系，用待定系数法，将点坐标代入抛物线方程求解 a 的值 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ 当时，，代入得， ∴， 故选：C. 2. 抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A. y＝3x2＋2x－5 B. y＝3x2＋2x－4 C. y＝3x2＋2x＋3 D. y＝3x2＋2x＋4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：利用平移规律“上加下减”，抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度，解析式中常数项加4，所以是y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C． 考点：二次函数的图象与几何变换． 3. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了次球，发现有次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，用乘以摸到红球的频率即可求解，理解实验次数很大时，事件发生的频率接近事件发生的概率是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴估计口袋中红球的个数为个， 故选：． 4. 已知，是抛物线上两点，则正数（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：∵，是抛物线上两点， ∴， ∴且n为正数， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5. 顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线顶点式，关键是掌握顶点式参数的意义．由顶点设顶点式，由开口、形状与相同，得，从而确定解析式． 【详解】抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 开口方向、形状与函数的图象相同， ， 抛物线解析式为． 故选：． 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． 7. 已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的加减，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，将化简，并将代入求值即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故选D． 8. 某商店购进某种商品的价格是2.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润w元，则w与x的函数关系为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键，根据利润公式，列出函数关系式并化简． 【详解】解：∵销售价为x元/件时，每件利润为元， ∴销售量， ∴ ∴故选：A. 9. 如图，圆内接四边形中，连接，，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角等知识点． 先求出的度数，然后根据求解即可． 【详解】解： ， ， ， 又， ． 故选：A． 10. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点，则能使关于的不等式成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，解决本题的关键利用数形结合的思想求解．由图像可知在点左侧，点右侧，二次函数的值大于一次函数的值，从而可知不等式的解集是或． 【详解】解：二次函数与一次函数图象相交于，两点， 由图像可知，在点左侧，点右侧，二次函数的值大于一次函数的值， 不等式的解集是或． 故选：D． 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（） A. 14 B. 15 C. 16 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半，以及圆外一点到圆上点的距离最大值的求法是解题的关键．先确定圆心到轴的距离和圆的半径，再利用且的性质，得到，因此求的最大值等价于求的最大值，最后结合圆的性质找到的最大值并计算． 【详解】解：过点作轴于，连接、、，则为切点， ∵点，与轴相切，轴， ∴的半径， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故选：． 12. 在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，最短线段问题，由是同平面内的一动点，，可得点为正方形外接圆上一点，延长至，使，由是中点，可得为的中位线，即，由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小，利用勾股定理即可求出最小值，进而求解，画出图形，正确找到取最小值时点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵是同平面内的一动点，， ∴点为正方形外接圆上一点， 延长至，使， ∵是中点， ∴为的中位线， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当点三点共线时，最小， 过点作于， ∵为正方形，边长为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值， 故选：． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. “a是实数，”这一事件是______（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）． 【答案】不可能事件 【解析】 【分析】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：∵a是实数， ∴ ， ∴“a是实数，”这一事件是不可能事件， 故答案为：不可能事件． 14. 若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值是________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将代入一元二次方程，得到关于m和n的等式，进而求出的值，再计算． 【详解】解：∵一元二次方程 （）的一个解是 ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 15. 如图，AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C．已知AD＝2，AB＝4，则弦BC的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质和圆周角定理得到△ABD、△ABC都是直角三角形；由勾股定理求得BD的长度；最后由射影定理来求线段BC的长度即可． 【详解】解：如图，连接AC． ∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径， ∴AD⊥AB，即∠BAD＝90°． ∵AD＝2，AB＝4， ∴BD＝． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，即AC⊥BD． ∠B共用 ∴△CAB∽△ADB ∴ ∴AB2＝BC•BD，即42＝BC， ∴BC＝． 故答案是：． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 16. 如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是________m． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．建立坐标系，利用待定系数法求得该抛物线对应的函数解析式；求出时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于的空隙即可求解． 【详解】解：建立如图的平面直角坐标系， ，抛物线顶点坐标， 设抛物线的解析式为：， 依题意得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ∵， 当时，， 当时，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴； 小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张． （1）若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ （2）若抽到的数字是3的倍数，则甲获胜；若抽到的数字是5的倍数，则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 【答案】（1）游戏公平 （2）游戏不公平 【解析】 【分析】（1）由题意知，1到20中的数是奇数的概率为，不是奇数的概率为，由，进行判断作答即可； （2）由题意知，抽到3的倍数有3、6、9、12、15、18，抽到5的倍数有5、10、15、20，则抽到的数字是3的倍数的概率为；抽到的数字是5的倍数的概率为；比较大小后进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，1到20中数是奇数的概率为，不是奇数的概率为， ∵， ∴抽到的数是奇数的概率和抽到不是奇数的概率一样，游戏公平． 【小问2详解】 解：由题意知，抽到3的倍数有3、6、9、12、15、18，抽到5的倍数有5、10、15、20， ∴抽到的数字是3的倍数的概率为；抽到的数字是5的倍数的概率为； ∵， ∴对乙不公平． 【点睛】本题考查了简单的概率计算．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 19. 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质和等量代换得，证得． （2）根据等腰直角三角形的性质得，进而可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知：，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）或  【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握因式分解求方程的解，以及具有分类讨论的思想． （1）计算判别式的值得到即可证明； （2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，再进行分类讨论即可． 【小问1详解】 证明：． 方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由， 得， 即、的长为， 当时，即 ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条件． 综上所述，或 ． 21. 学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位. （1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值； （2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由. 【答案】（1）140−2x，x的最小值为34； （2）全校师生共2400人，座位够坐，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意列代数式，列出不等式140−2x≤72，则可得出答案； （2）设观众席内座位数为y，由题得y＝x（140−2x），其中34≤x＜70，其中x为整数，由二次函数的性质得出y的最大值为2450，则可得出结论． 【小问1详解】 解：解：由题意可得每行的座椅数为：140−2x， ∵足球场宽度为72m，且每个座位为占地面积1的正方形， ∴140−2x≤72， 解得x≥34， ∴x的最小值为34； 【小问2详解】 解：设观众席内的座位数为y, 由题意得：y＝x（140−2x），其中34≤x＜70，其中x为整数， 所以 ＝， 所以y的最大值为2450， 因为2400＜2450， 所以全校师生共2400人，座位够坐． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数是解题的关键． 22. 如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，． （1）求点A的横坐标． （2）求线段的长度． 【答案】（1）点A横坐标 （2）的长度均为7 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，准确判断点A与点E关于对称轴对称是解此题的关键． （1）根据对称轴公式直接求抛物线的对称轴，点A、E关于对称轴对称和点E横坐标，求出点A横坐标； （2）求出C、D的坐标即可求出的长． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 轴， 又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1， ， 解得：， ∴点A的横坐标为． 【小问2详解】 解： 点E是抛物线与抛物线的交点， ， ， ， 令， 则， ； ∴的长度均为7． 23. 如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）利于等边对等角的性质得到，，利用三角形的内角和得到，即可得到，再由圆周角的性质等量代换即可； （2）连接，由垂径定理推出，，利用勾股定理建立式子运算出的长，再利用中位线定理即可推出的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，则，如图所示： ∵， ∴， ∴，， 在中，，在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴为的中位线， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金英学校九年级数学1月月考试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 已知点在抛物线上，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数解析式为(　　) A. y＝3x2＋2x－5 B. y＝3x2＋2x－4 C. y＝3x2＋2x＋3 D. y＝3x2＋2x＋4 3. 在一个不透明口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了次球，发现有次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是抛物线上两点，则正数（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 顶点且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞－3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是－2 D. 抛物线的对称轴是直线x＝－ 7. 已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 某商店购进某种商品的价格是2.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润w元，则w与x的函数关系为（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 9. 如图，圆内接四边形中，连接，，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点，则能使关于的不等式成立的的取值范围是（ ） A B. C. D. 或 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为（） A 14 B. 15 C. 16 D. 8 12. 在边长为正方形中，与相较于点，是同平面内的一动点，，是中点，连接，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. “a是实数，”这一事件是______（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）． 14. 若关于x的一元二次方程（）的一个解是，则的值是________． 15. 如图，AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C．已知AD＝2，AB＝4，则弦BC的长为__． 16. 如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是________m． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张． （1）若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ （2）若抽到的数字是3的倍数，则甲获胜；若抽到的数字是5的倍数，则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 19. 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等实数根； （2）若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 21. 学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位. （1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值； （2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由. 22. 如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，． （1）求点A的横坐标． （2）求线段的长度． 23. 如图，内接于，为直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $