精品解析：江西省宜春市实验中学2025-2026学年上学期九年级数学第二阶段月考试卷

宜春实验中学2025~2026学年度上学期阶段性练习（二） 九年级数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【详解】解：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，错误； B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，错误； C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，错误； D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 已知的半径是，点O到同一平面内直线m的距离为，则直线m与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据点到直线的距离与半径比较可得结论． 【详解】解：设圆的半径为r，点O到直线m的距离为d， ，， ， 直线m与圆相交． 故选：A． 4. 如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（　　） A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可解答. 【详解】∵反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，且S△AOB=2， ∴且k＜0， ∴k=-4. 故选A. 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，熟知反比例函数的比例系数k的几何意义是解决问题的关键. 5. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 6. 如图所示为抛物线的图像，其对称轴为直线，且经过点．则下列结论：①；②；③；④其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．依据题意，由已知条件得出，，，抛物线与轴的另一交点为，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，即可解答． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴, ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴, ∴, 故①错误； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴, 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，， 故③错误； ∵抛物线经过点， ∴当时，， 故④正确； ∴正确结论的个数有2个， 故选：B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 8. 如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆心角和圆周角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键． 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出的度数． 【详解】解：， ． 故答案为：． 9. 已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为_____． 【答案】104 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的面积比为， 设两个三角形的面积分别为：，由题意，得：， ∴， ∴它们的面积和为：； 故答案为：104． 10. 如图，圆内接正六边形的半径为，则图中阴影部分面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型； 如图，连接，，．由题意得，，都是等边三角形，证明的面积的面积， 可得图中阴影部分的面积等于扇形的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：连接，，，如图： ， 由题意得，，都是等边三角形， ∴， ∴， 设的底边高为， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于扇形的面积， 故答案为：． 11. 如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______. 【答案】1 【解析】 【分析】作如图的辅助线，根据旋转和三角形全等，证得EG=CF=1，然后得出三角形ADE的面积. 【详解】过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，过点D作DF⊥BC于点F， 则∠G=∠DFC=∠DFB=90， ∵, ∴∠GDF=∠DFB=90, 由旋转得∠EDC=90，DE=DC, ∴∠EDC-∠GDC=∠GDF-∠GDC, 即∠EDG=∠CDF， ∴△CDF≌△EDG， ∴EG=CF ∵，, ∴EG=CF=3-2=1， ∴的面积=. 【点睛】此题考查旋转的性质，利用全等三角形、直角梯形的性质求出的高EG=CF是解题的关键. 12. 在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知得出，，然后分类讨论点的位置从而依次求出每种情况下点的坐标． 【详解】解：，两点的坐标分别为， 轴 点在直线上， ， 如图： （Ⅰ）当点在处时，要使，即使 即 解得： （Ⅱ）当点在处时， ， 的中点 点为以为圆心，长为半径的圆与轴的交点 设，则 即 解得： ，，， 综上所述：点的坐标为或，或，． 【点睛】本题考查了动点型问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的相关知识，本题比较复杂，难度较大． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，求抛物线的解析式，熟练掌握解一元二次方程的方法和求函数解析式的方法是解题的关键． （1）移项，然后运用因式分解法解一元二次方程即可； （2）设抛物线的顶点式解析式，代入点，确定a的值，即可解答． 【详解】解：（1） ∴或 解得：， （2）∵抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为． 14. 如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为多少厘米？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，取圆心O，过点O作于点B，连接，证明，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9， ∴． 取圆心O，过点O作于点B，连接， 则厘米， 设杯口的半径为r，则，， 在中，，即， 解得：（厘米）． 故答案为：． 15. 有一个侧面为梯形的容器，高为，内部倒入高为的水．将一根长为的吸管如图放置，若有露出容器外，求吸管在水中部分的长度． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等相关知识点，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的对应边成比例即可得到的长． 【详解】解∶过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴设，则， ∵的高为∶， ∴， ∴， ∴解得：， ∴吸管在水中部分的长度． 16. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 17. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形． 【答案】 （1）如图1中，∠CAD即为所求； （2）如图2中，△ACE即为所求． 【解析】 【分析】（1）作直径AD，连接CD，AC，则∠ADC＝60°，∠DAC＝30°； （2）作直径BE，连接EC，AE，AC，△ACE即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等边三角形的判定等知识，掌握圆内接四边形的性质是关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知反比例函数的图象与直线相交于点． （1）求直线与反比例函数解析式． （2）若在轴上有一点，使得三角形的面积是18，求点坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再求出点B的坐标，最后将A，B的坐标代入一次函数解析式即可解决问题． （2）先求出直线与x轴的交点坐标，再结合的面积即可解决问题． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入得， ， 反比例函数的解析式为， 将点B坐标代入得 ， 点B的坐标为． 将点A和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得：， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 令直线与x轴的交点为M， 则点M的坐标为． 三角形的面积是18， 解得PM=4， 则，， 点P的坐标为或． 19. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 20. 如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为3，求的长．（结果保留） 【答案】（1） 所在直线与相切，理由如下：连接， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即， 点D在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆有关的性质，弧长公式，熟练运用是解答本题的关键． （1）根据圆周角为直角的弦是直径得到是直径，再根据直径所对的圆周角是直角得到，从而得到，根据已知得，同弧所对的圆周角相等得，从而得到，即可证明； （2）找到圆心角，再利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知，， ， ， ， ∴的长为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图所示是某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式． （2）出口点到水面的距离为0.5米，求，两点之间的水平距离． （3）若在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过2米，求点到水面的距离至少为多少米． 【答案】（1） （2）11米 （3）2米 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法计算即可； （2）设点C的坐标为并代入y与x的函数关系式，求出m的值再减去的长即可； （3）设点Q的坐标为并代入y与x的函数关系式，将a用b表示出来，根据列关于b的不等式并求其解集，从而得到b的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴点B的坐标为， 设段滑梯所在的双曲线的解析式为（k为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得， ∴段滑梯所在的双曲线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点C的坐标为， 将代入， 得， 解得， ∴米， 即B，C之间的水平距离为11米． 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为， 将代入， 得， ， 根据题意，得， 解得， 点Q到水面的距离至少2米． 22. 对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是_____（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，求，应满足的条件； （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求，满足的关系式． 【答案】（1）③ （2）当且时，为任意实数；当时，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到． 【小问1详解】 解：①对于， 由得，该方程无解， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； 【小问2详解】 解：∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； 【小问3详解】 解：由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春实验中学2025~2026学年度上学期阶段性练习（二） 九年级数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 D. “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 3. 已知的半径是，点O到同一平面内直线m的距离为，则直线m与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 4. 如图，反比例函数y=在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k的值为（　　） A. ﹣4 B. 2 C. ﹣2 D. 4 5. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示为抛物线的图像，其对称轴为直线，且经过点．则下列结论：①；②；③；④其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 8. 如图，已知是圆的直径，，则的度数为__________． 9. 已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为40，那么它们的面积之和为_____． 10. 如图，圆内接正六边形的半径为，则图中阴影部分面积为___________． 11. 如图直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是______. 12. 在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为__________________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 14. 如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为多少厘米？ 15. 有一个侧面为梯形的容器，高为，内部倒入高为的水．将一根长为的吸管如图放置，若有露出容器外，求吸管在水中部分的长度． 16. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 17. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ABC＝120°，请仅用无刻度的直尺，按照下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图（1）中，AB＞BC，作一个度数为30°的圆周角； （2）在图（2）中，AB＝BC，作一个顶点均在⊙O上的等边三角形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知反比例函数的图象与直线相交于点． （1）求直线与反比例函数解析式． （2）若在轴上有一点，使得三角形的面积是18，求点坐标． 19. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 20. 如图，四边形内接于，，为对角线，点在的延长线上，且． （1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为3，求的长．（结果保留） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图所示是某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式． （2）出口点到水面的距离为0.5米，求，两点之间的水平距离． （3）若在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过2米，求点到水面的距离至少为多少米． 22. 对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是_____（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，求，应满足的条件； （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求，满足的关系式． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $