3.6一次函数的应用（第1课时)（教学课件）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，通过“指尖距与身高”的表格数据导入，引导学生分析数量关系、判断函数类型，衔接此前一次函数概念的学习，搭建从概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于以“指尖距与身高”“行程问题”等实例为载体，培养学生用数学眼光观察数量关系、用数学思维推理函数表达式、用数学语言建立模型的核心素养。采用问题驱动与实例分析的教学方法，小结明确建模步骤，助力学生掌握解决实际问题的方法，提升应用意识，也为教师提供结构化教学路径与丰富素材。

3.6 一次函数的应用 第1课时 第3章 一次函数 学 习 目 标 1 2 通会分析简单问题中的数量关系和变化规律，能用一次函数解决简单实际问题（重点） 经历实际问题的解决过程，体会数学建模思想.（难点） 新知探究 思 考 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为指尖距. 假设指尖距与身高具有如下关系： （1） 身高 y与指尖距 x之间可用函数关系式刻画吗？如可以，其表达式是怎样的？ （2） 若李华的指尖距为22 cm，你能估计他的身高吗？ 怎样判断它们是不是函数关系 求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？ 等量关系 待定系数法 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. 新知探究 观察表格，你能不能判断它们的关系是一次函数？ 因变量随自变量的变化是均匀的，所以身高y是指尖距x的一次函数 当指距增加1cm，身高就增加9cm -------待定系数法 求身高y与指尖距x之间的函数表达式: +1 +1 +9 +9 新知探究 (1)解：由上表三组数据可知，身高 y与指尖距 x之间存在一个对应关系，并且指尖距每增加1 cm，身高对应增加9 cm，于是可以尝试用一次函数来刻画. 设身高y与指距x之间的函数表达式为y=kx+b.将x=19， y=151与x=20，y=160代入上式，得 19k + b = 151， 20k + b = 160. 解得k=9，b=-20. 于是y=9x-20. ① 将x=21，y=169代入①式也符合. 公式①就是身高y与指距x之间的函数表达式. (2)解：当x=22时，y=9×22-20=178. 因此，李华的身高大约是178cm. 典例分析 例1 已知甲、乙两地相距 40 km，小徐 8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8 km/h；小李10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40 km/h.设小徐所用的时间为 x h，小徐离甲地的距离为 y1 km，小李离甲地的距离为y2 km. （1） 分别写出y1，y2与x之间的函数解析式； （2）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地. 注意：x代表意义，是小徐所用的时间 典例分析 根据题意，你能不能判断y2与x之间的函数是一次函数？ 根据题意，你能不能判断y1与x之间的函数是一次函数？ 不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 也不能，不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 求函数表达式的方法有哪些？它们使用的条件分别是什么？ 等量关系 待定系数法 距离=速度x时间 典例分析 解 (1)由“路程=速度×时间”可知 y1 = 8x，自变量 x 的取值范围是0 ≤ x ≤ 5. 由于小李比小徐晚出发2 h，因此小李所用时间为（x - 2）h，从而 y2 = 40（x - 2），自变量 x 的取值范围是2 ≤ x ≤ 3. (2) 将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示. 过点M(0，40)作射线l与x轴平行，它先与射线 y2=40(x-2)相交，这表明小红先到达乙地. /元 /h l y1=8x y2=40(x-2) 新知探究 总结归纳 关键是根据题意建立一次函数模型 1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型. 2.待定系数法建立函数模型 一次函数与实际问题 “建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围 . 基础巩固题 新知应用 1.我市制定的用水收费标准是生活用水费用为每吨1.54元，每月加卫生费9.5元，小明家5月份用水x吨，他家5月份应付费y（元），则y与x之间的关系式为________________。 y=1.54x+9.5 2.某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为(　　) A.20 kg　　　B.25 kg　　C.28 kg　　D.30 kg A 基础巩固题 新知应用 3. 如图所示，某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，由图中给出的信息，营销人员没有销售量时的收入是（ ） A.310元 B.300元 C.290元 D.280元 B 基础巩固题 新知应用 4.给某长方体游泳池注水，池深2m. 假如注水的时长与水深具有如下关系： （1） 你能为注水的时长与水深之间的关系建立函数模型吗？ （2） 用求出的函数表达式分别估计注水2h、2. 5h后的水深. 当注水时长增加0.5h，水深就增加40cm +0.5 +0.5 +40 +40 水深与注水的时长之间的关系是一次函数 因变量随自变量的变化是均匀的 基础巩固题 新知应用 (1)解：由上表三组数据可知，水深与注水的时长之间的关系是一次函数 设水深y与注水的时长x之间的函数表达式为y=kx+b.将x=0.5， y=60与x=1，y=100代入上式，得 0.5k + b = 60， k + b = 100. 解得k=80，b=20. 于是y=80x+20. y=80x+20就是水深与注水的时长之间的函数表达式. (2)解：当x=2时，y=80×2+20=180； 当x=2.5时，y=80×2.5+20=220； 基础巩固题 新知应用 5.小刚和小强在一条公路上由西向东行走，出发的时间相同 . 小强从 A地出发，小刚从小强东边80m处出发，小刚、小强每分钟分别走40m，60m. （1） 分别写出小刚、小强离A地的距离y（m）与行走时间t （min）之间的函数表达式. （2） 在同一平面直角坐标系中，分别画出上述两个函数的图象. （3） 根据图象回答：在出发后几分钟小强追上小刚？谁先到达与 A 地相距300 m的B地？ 不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 距离=速度x时间 基础巩固题 新知应用 解 (1)由“路程=速度×时间”可知 y小强 = 60t，自变量 x 的取值范围是t . y小刚 = 40t+80，自变量 x 的取值范围是t. (2) 将以上两个函数的图象画在同一个直角坐标系中，如图所示. （3）由图象知出发4min后小强追上小刚. 小强先到达与A地相距300m的B地。 能力提升题 新知应用 6.A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元,现C乡需要肥料240吨，D乡需肥料260吨，怎样调运总运费最少？ 不能用待定系数法，只能根据等量关系求. 要用函数解决实际问题，必须理清楚什么是自变量？什么是因变量？ 调运总运费是随着怎么调运变化而变化的. 能力提升题 新知应用 解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200-x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为(240-x)吨与(60+x)吨。 y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60＋x) 化简得：y=4x+10040(0≤x≤200) ∵ k=4＞0 ∴ y随x的增大而增大 ∴当x=0时，y有最小值10040 答：从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨;从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨,此时总运费最少，总运费最小值为10040元。 能力提升题 新知应用 7.某公司到果园基地购买某种优质水果慰问医务工作者, 购买量在3000千克以上(含 3000千克), 果园基地对此有两种销售方案. 甲方案：每千克9元, 由基地送货上门；乙方案：每千克8元, 由顾客自己租车运回. 已知该公司租车从基 地到公司的运输费为5000元. (1)分别写出该公司两种购买方案的费用y(元) 与所购买的水果量x(千克)之间的函数表达式, 并写 出自变量x的取值范围； (2)采用哪种购买方案费用少？并说明理由. 分析 画出两个一次函数图像, 利用图像法选择方案 思路2 分y甲=y乙, y甲>y乙, y甲<y乙三种情 形讨论, 确定方案 思路1 能力提升题 新知应用 解: (1)甲方案的费用y甲(元)与所购买的水果 量x(千克)之间的函数表达式为y甲=9x(x≥3000)； 乙方案的费用y乙(元)与所购买的水果量x(千 克)之间的函数表达式为y乙=8x+5000(x≥3000). (2)解法一：①当y甲=y乙时, 有9x=8x+5000, 解得x=5000. 所以当x=5000时, 两种方案费用一样； ②当y甲<y乙时, 有9x<5000. 所以当3000≤x<5000时, 选择甲方案费用少, 故采用甲方案； ③当y甲>y乙时,有9x>8x+5000,解得x>5000. 所以当x>5000时, 选择乙方案费用少,故采用乙方案. 能力提升题 新知应用 解法二：分别作出函数y甲=9x(x≥3000)和 y乙=8x+5000(x≥3000)的图像, 如图所示： 由图像可得当购买量大 于或等于3000千克且小 于5000千克时, y甲<y乙, 选择甲方案费用少； 课堂小结 关键是根据题意建立一次函数模型 1.根据因变量与自变量的等量关系建立函数模型. 2.待定系数法建立函数模型 一次函数与实际问题 感谢聆听! $