精品解析：2026年湖北省黄冈市英山县长冲初级中学自主招生数学试题

九年级培优水平能力测试数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 2. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 4. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 当时，多项式的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A. ﹣2或3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或3 D. 1或﹣2或﹣3 7. 已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( ) A 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若，则（　　） A. 41 B. 25 C. 80 D. 82 9. 如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的△ABP的面积关于运动时间的函数图像如图2，若，则下列四个结论中正确的个数有（ ） ①图1中的BC长是8cm ②图2中的M点表示第4秒时y的值为24 ③图1中的CD长是4cm ④图2中的N点表示第12秒时y的值为18 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 设，是方程的两根，则的值为_________； 12. 一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为________． 13. 如图，RtOAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，AB=1，若将OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点的坐标是_______． 14. 若关于x方程＝﹣1的解为正数，则实数a的取值范围是___． 15. 已知，则值是______． 16. 若记y=f（x）= ，其中f（1）表示当x=1时y值，即f（1）= ；f（ ）表示当x= 时y的值，即 …；则f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2011）+f（ ）=________． 三．解答题（共8小题） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24，求△ABF的周长． 19. 为了加强中华优秀传统文化教育．培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括(经典诵读)，(传统戏曲)，(中华功夫)，(民族器乐)四门课程．校学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图． 请结合图中信息解答问题： 本次共调查了_______ 名学生，图中扇形“”的圆心角度数是 _． 请将条形统计图补充完整； 在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 20. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由. 21. 阅读下列材料：一般地，个相同的因数相乘 ，记为．如，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若，（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为（即）． （1）计算以下各对数的值：__________，__________，__________． （2）观察（1）中三数、，之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？__________．（且，，） （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论． 22. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 23. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 24. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级培优水平能力测试数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 2. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键，根据旋转，得到，等边对等角，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 如图，连接交于，则， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4. 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30°， ∴OA=OB=×4=12， ∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB， ∴PM=PA， 设P（x，0）， ∴PA=12-x， ∴⊙P的半径PM=PA=6-x， ∵x为整数，PM为整数， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选A． 【点睛】考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征． 5. 当时，多项式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值；先根据的值推导出关于的二次方程，再利用该方程化简多项式，最后计算结果． 【详解】解：∵ 可得, 即 ∴,即, ∴, 把代入， 得,即, 把代入可得: 原式 故选:C． 6. 若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　） A ﹣2或3 B. ﹣2或﹣3 C. 1或﹣2或3 D. 1或﹣2或﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答． 【详解】解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点， 当m≠1时，函数为二次函数， ∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点， ∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0， 解得，m＝﹣2或3， 故选C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 7. 已知a＝2 002x＋2 003，b＝2 002x＋2 004，c＝2 002x＋2 005，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先求出（a-b）、（b-c）、（a-c）的值，再把所给式子整理为含（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，代入求值即可． 【详解】解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005， ∴a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2， ∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca）， =[（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]， =[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]， =×（1+1+4）， =3． 故选D． 【点睛】本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 8. 若，则（　　） A. 41 B. 25 C. 80 D. 82 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，通过代入特定值和到等式两边，得到关于系数的方程，联立求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即①； 当时，，即②； ，得， ∴； 故选A． 9. 如图，抛物线顶点坐标为，对于下列结论：①；②；③；④若方程没有实数根，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，一元二次方程根的判别式，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，顶点坐标为，开口向下， ∴，对称轴为直线，， ∴， 抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵由图象可知：当时，， ∴， 故②结论错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， 故结论③正确； ∵方程没有实数根， ∴方程没有实数根， ∴， 解得:． 故④结论正确． 故选：C． 10. 已知：如图1，点G是BC中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的△ABP的面积关于运动时间的函数图像如图2，若，则下列四个结论中正确的个数有（ ） ①图1中的BC长是8cm ②图2中的M点表示第4秒时y的值为24 ③图1中的CD长是4cm ④图2中的N点表示第12秒时y的值为18 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm， 所以CG=4cm，BC=8cm； P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变， 由图象可知CD=4cm，面积y==24cm2． 图2中的N点表示第12秒时，点P到达H点，△ABP的面积是18cm2． 四个结论都正确． 故选D． 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 设，是方程的两根，则的值为_________； 【答案】24 【解析】 【分析】代入两个根并利用韦达定理得到，计算求解即可． 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴ 故答案：24． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的运用及韦达定理的运用，能够熟练利用根进行降次计算是解题关键． 12. 一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形的弧长，扇形的面积，圆的周长，先求出圆锥的底面周长，再根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，进而求出扇形的面积，即可得出答案． 【详解】∵圆锥的底面半径是8cm， ∴圆锥的底面周长为， ∴， 解得． 可知扇形的半径为，扇形的圆心角为， ∴， 所以此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 13. 如图，RtOAB的直角边OA在y轴上，点B在第一象限内，OA=2，AB=1，若将OAB绕点O按顺时针方向旋转90°，则点B的对应点的坐标是_______． 【答案】(2，-1) 【解析】 【详解】把Rt△OAB的绕点O按顺时针方向旋转90°，就是把它上面的各个点按顺时针方向旋转90度．点A在y轴上，且OA=2，正好旋转到x轴正半轴．则旋转后A′点的坐标是（2，0）；又旋转过程中图形不变，OA=2，AB=1，故点B′坐标为（2，-1）． 14. 若关于x的方程＝﹣1的解为正数，则实数a的取值范围是___． 【答案】a＜−2 【解析】 【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于a的不等式，从而求得a的范围． 【详解】解：∵于x的方程＝−1有解， ∴x＋2≠0， 去分母得：2x＋a＝−x−2 即3x＝−a−2 解得x＝− 根据题意得：−＞0 解得：a＜−2 故答案是：a＜−2． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键． 15. 已知，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，由条件可得，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：8 16. 若记y=f（x）= ，其中f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）= ；f（ ）表示当x= 时y的值，即 …；则f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2011）+f（ ）=________． 【答案】2010 【解析】 【分析】根据y=f（x）= ，可得相应的值，根据有理数的加法结合律，可得答案． 【详解】∵y=f（x）= ， ∴， ∴f（x）+f（ ）=1， ∴f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2011）+f（ ） =f（1）+[f（2）+f（ ）]+[f（3）+f（ ）]+…+[f（2011）+f（ ）] = +1+1+…+1 = +2010 =2010 ． 故答案为：2010 ． 【点睛】本题考查了求值，涉及同分母分式加法，熟练掌握和灵活运用利用加法结合律是解题关键． 三．解答题（共8小题） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． ()利用根的判别式，即可求出答案； ()用韦达定理，直接得，把根的和与积代入题目条件，得到关于的方程，解出或，根据的条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 即， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ， ∴， 整理得：， 解得， ∵， ∴． 18. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），O是对角线AC的中点，过点O的直线EF⊥AC交AD边于E，交BC边于F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24，求△ABF的周长． 【答案】（1）见解析；（2）24cm． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的判定定理证明即可； （2）利用构造完全平方公式法，运用勾股定理，面积公式，完全平方公式的变形整体计算AB+BF的长即可． 【详解】（1）证明：∵O是对角线AC的中点， ∴AO＝CO， ∵矩形ABCD的边AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵EF⊥AC， ∴∠AOE＝∠COF＝90°， 在△AOE和△COF中， ∵， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵AE＝10cm，四边形AFCE是菱形， ∴AF＝AE＝10cm， 设AB＝x，BF=y, ∵△ABF的面积为24， ∴xy=48， 在Rt△ABF中，根据勾股定理， ， ∴， ∴， ∴x+y=14或x+y=-14，不符合题意，舍去， ∴△ABF的周长＝x+y+AF=14＋10＝24cm． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形，熟练掌握判定定理，灵活运用勾股定理，完全平方公式，利用整体思想计算是解题的关键． 19. 为了加强中华优秀传统文化教育．培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括(经典诵读)，(传统戏曲)，(中华功夫)，(民族器乐)四门课程．校学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图． 请结合图中信息解答问题： 本次共调查了_______ 名学生，图中扇形“”的圆心角度数是 _． 请将条形统计图补充完整； 在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）100，72；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）用B项目的人数除以其百分比即可得到调查人数，计算出C项目的人数除以调查人数后再乘以360°得到C的圆心角度数； （2）根据（1）求出的C项目是12人直接补图即可； （3）列树状图表示所有可能的情况，确定恰好是甲和乙的情况，再根据概率公式计算即可. 【详解】（1）调查人数=（人）； C项目的人数为：100-42-12-26=20（人）， ∴扇形“”的圆心角度数是=72°， 故答案为：100，72°； 补全条形图如下： 树状图如下： 所有出现的结果共有种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中出现甲和乙一起的情况共有种， 恰好选到甲和乙的概率. 【点睛】此题是统计题，正确理解条形图和扇形图中的信息，能根据部分的数量及百分比求总体，掌握计算部分百分比的公式，会列树状图或是表格求事件的概率. 20. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由. 【答案】（1）（）；（2）定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元.（3）不能销售完这批蜜柚. 【解析】 【分析】（1）根据图象利用待定系数法可求得函数解析式，再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x的取值范围； （2）根据利润=每千克的利润×销售量，可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求得； （3）先计算出每天的销量，然后计算出40天销售总量，进行对比即可得． 【详解】（1）设 ，将点（10，200）、（15，150）分别代入， 则， 解得 ， ∴， ∵蜜柚销售不会亏本， ∴， 又， ∴ ， ∴， ∴ ； （2） 设利润为元， 则 = =， ∴ 当 时， 最大为1210， ∴ 定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元； (3) 当 时，， 110×40=4400＜4800， ∴不能销售完这批蜜柚． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，弄清题意，找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键． 21. 阅读下列材料：一般地，个相同的因数相乘 ，记为．如，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若，（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为（即）． （1）计算以下各对数的值：__________，__________，__________． （2）观察（1）中三数、，之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？__________．（且，，） （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明上述结论． 【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264； （3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）； （4）首先可设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论． 【详解】（1）∵22=4，∴log24=2， ∵24=16，∴log216=4， ∵26=64，∴log264=6； （2）4×16=64，log24+log216=log264； （3）logaM+logaN=loga（MN）； （4）证明：设logaM=x，logaN=y， 则ax=M，ay=N， ∴MN=ax•ay=ax+y， ∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 22. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 23. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 24. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $