精品解析：广东肇庆市封开县2025-2026学年第一学期期末限时训练八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末限时训练 八年级数学 （时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号和考生号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考生号”栏相应位置填涂自己的考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题下一开交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图中不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 三角形的一个外角为36°，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5. 给出下列计算，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 下列分式与相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 9. 1．如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ） 小亮的作法：以点P为圆心，任意长为半径画弧，弧分别交，于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点Q．作射线即为所求； 小明的作法：以点P为圆心，任意长为半径画弧，弧分别交，于点E，F．分别作线段，的中垂线，两条中垂线相交于点Q，作射线即为所求． A. 小亮、小明均正确 B. 只有小明正确 C. 只有小亮正确 D. 小亮、小明均不正确 10. 佳佳在化简分式""时，由于一个数被▲遮住了，无法计算，但知道结果是则被遮住的数的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：__． 12. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 13. 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是__________三角形． 14. 如图，在△ABC中，PH是AC的垂直平分线，AH＝3，△ABP的周长为11，则△ABC的周长为_____． 15. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简：． 小明的解答如下： 解：原式． 小明的解答正确吗?如果不正确，请写出正确的解答． 17. 分解因式：． 18. 如图，．求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴对称的（点A，B，C的对称点分别为，，）； （2）写出点A'，B'，的坐标：___________，___________， ___________； （3）求的面积． 20. 先化简， 再求值：其中． 21. 平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，以手掌推光和描金彩绘技艺著称，是山西省著名的汉族传统手工艺品，历史悠久，它始于唐开元年间，盛于明清，距今已有一千二百余年的历史，随着中国网络快速发展，平遥漆器博物馆不断向线上拓展．某漆器厂计划制作3000个“漆器”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数案量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“漆器”摆件？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系，解答下列问题： （1）根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请直接用等式表示出来； （2）如果图中的a，b满足，，求ab的值； （3）已知，求的值． 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末限时训练 八年级数学 （时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号和考生号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考生号”栏相应位置填涂自己的考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题下一开交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式的定义，解题的关键是熟记判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分式定义逐项判断即可． 【详解】解：、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除； 、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除； 、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除； 、是分式，此选项符合题意； 故选：． 2. 已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下图中不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形是解题的关键． 4. 三角形的一个外角为36°，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据外角求出对应的内角，即可得出选项 【详解】∵ 三角形的一个外角是36° ∴ 对应的内角为 ∴ 这个三角形是钝角三角形 故选：B 【点睛】本题考查了三角形外角的性质的应用，注意：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 5. 给出下列计算，其中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方分别计算即可做出判断． 【详解】A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求得即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 下列分式与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变． 根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵， ， 而，， ∴选项D正确；其它的选项不符合题意． 故选D． 8. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题意，证明，得到，进而求出嘉嘉离地面的高度即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 故选D． 9. 1．如图，小亮和小明分别用尺规作的平分线，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ） 小亮的作法：以点P为圆心，任意长为半径画弧，弧分别交，于点M，N．分别以点M，N为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧交于点Q．作射线即为所求； 小明的作法：以点P为圆心，任意长为半径画弧，弧分别交，于点E，F．分别作线段，的中垂线，两条中垂线相交于点Q，作射线即为所求． A. 小亮、小明均正确 B. 只有小明正确 C. 只有小亮正确 D. 小亮、小明均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据小亮作图可知，用证明，即可求证平分；根据小明作图可知，根据中垂线的性质得出，即可用证明，即可求证平分． 【详解】解：小亮： 连接， 由作图可知：， ∵， ∴， ∴，即平分； 小明： 连接， 由作图可知：， ∵分别为的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； 综上：小亮、小明均正确， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，中垂线的性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，全等三角形对应角相等，中垂线上的点到两边距离相等． 10. 佳佳在化简分式""时，由于一个数被▲遮住了，无法计算，但知道结果是则被遮住的数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出算式，再计算即可． 【详解】解：被遮住的部分是 ， ∴被遮住的数的值为． 故选：A 【点睛】本题主要考查分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算可先化为乘法再进行计算． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：__． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．根据当时，分式的值为0，写出一个分式即可． 【详解】解：∵当时，分式的值为0， ∴分子可以为， ∴分式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是__________三角形． 【答案】直角 14. 如图，在△ABC中，PH是AC的垂直平分线，AH＝3，△ABP的周长为11，则△ABC的周长为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为11， ， 的周长， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，交于点， 过点作于点， 平分， ， ． 中，，，，，， ， ， ． 即的最小值是4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简：． 小明的解答如下： 解：原式． 小明的解答正确吗?如果不正确，请写出正确的解答． 【答案】 解：不正确， 正确解答： ． 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，根据乘法公式展开，再去括号合并同类项即可． 【详解】略 17. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，平方差公式分解因式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提公因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 18. 如图，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证明，再利用证明即可． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴对称的（点A，B，C的对称点分别为，，）； （2）写出点A'，B'，的坐标：___________，___________， ___________； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：作出关于x轴对称的， 即为所求作； （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，利用网格求三角形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据三个顶点的位置，作出关于x轴对称的； （2）根据关于x轴对称的特征求出三个顶点的坐标； （3）长方形的面积减去周围的三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x轴对称的，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解： ． 20. 先化简， 再求值：其中． 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，利用分式的除法和减法运算化简，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，以手掌推光和描金彩绘技艺著称，是山西省著名的汉族传统手工艺品，历史悠久，它始于唐开元年间，盛于明清，距今已有一千二百余年的历史，随着中国网络快速发展，平遥漆器博物馆不断向线上拓展．某漆器厂计划制作3000个“漆器”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数案量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“漆器”摆件？ 【答案】200个 【解析】 【分析】设原计划平均每天制作个“漆器”摆件，根据“计划制作3000个“漆器”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务”，列出分式方程，解分式方程即可．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划平均每天制作个“漆器”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作200个“漆器”摆件． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 请认真观察图形中阴影部分与整个图形之间的关系，解答下列问题： （1）根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请直接用等式表示出来； （2）如果图中的a，b满足，，求ab的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）28 【解析】 【分析】（1）根据图形从两种思路，表示面积即可得； （2）由（1）的结论，运用完全平方公式进行变形，整体代入求解即可； （3）设，，，然后利用完全平方公式计算即可. 【小问1详解】 解：根据图中的条件，可以得到． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴ ∴． 【小问3详解】 解：设，， 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，解决问题的关键是熟练运用完全平方公式． 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $