专题09认识三角形（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题09认识三角形 【题型01 三角形的识别与概念】.......................................4 【题型02 三角形个数的计数】.........................................5 【题型03 平行线与内角和】...........................................5 【题型04 三角形的分类】.............................................6 【题型05 直角三角形的性质】.........................................7 【题型06 三角形的构成条件】.........................................7 【题型07 第三边的取值范围】.........................................8 【题型08 等腰三角形的定义】.........................................8 【题型09 三角形高的画法】...........................................8 【题型10 三角形角平分线的定义】.....................................9 【题型11 重心的基本概念】..........................................10 【题型12 三边关系的应用】..........................................11 【题型13 与三角形高有关的计数】....................................12 【题型14 利用网格求三角形面积】....................................13 【题型15 重心的有关性质】..........................................14 【题型16 解答题7题】..............................................15 知识梳理 知识点01:三角形的定义与表示 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭平面图形，叫做三角形。 2. 基本元素 顶点：三条线段的交点，共 3 个（如△ABC 的顶点 A、B、C）。 边：组成三角形的三条线段，可记为 AB、BC、AC；也可用小写字母表示（顶点 A 对边 BC 记为 a，顶点 B 对边 AC 记为 b，顶点 C 对边 AB 记为 c）。 内角：相邻两边组成的角，共 3 个，记为∠A、∠B、∠C（简称三角形的角）。 3. 表示方法 用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。 知识点02:三角形的分类 1. 按角分类（核心依据内角大小） 锐角三角形：三个内角都是锐角（都小于 90°）。 直角三角形：有一个内角是直角（等于 90°），其余两个角为锐角且互余。 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于 90° 且小于 180°）。 规律：任意三角形中，至少有 2 个锐角，最多 1 个直角或 1 个钝角。 2. 按边分类（核心依据边长关系） 不等边三角形：三条边长度都不相等。 等腰三角形：有两条边相等；其中，三边都相等的叫等边三角形（是特殊的等腰三角形）。 知识点03:三角形的三边关系（核心考点） 1. 基本性质 任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a。 任意两边之差小于第三边：∣a−b∣<c，∣a−c∣<b，∣b−c∣<a。 2. 判定技巧 判断三条线段能否构成三角形，只需验证最短两边之和 > 最长边（简化验证步骤）。 知识点04:三角形的三条重要线段（均为线段，非直线 / 射线） 1. 中线 定义：连接一个顶点与它对边中点的线段。 性质：三角形的中线将原三角形分成面积相等的两个小三角形。 数量：每个三角形有 3 条中线，交于一点（重心）。 . 2. 角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 性质：角平分线分得的两个角相等。 数量：每个三角形有 3 条角平分线，交于一点（内心）。 3. 高线（高） 定义：从一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。 特点：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在三角形外部。 数量：每个三角形有 3 条高，交于一点（垂心）。 【题型1.三角形的识别与概念】 【典例】如图，中，与的夹角是 ，，的公共边是 ． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【跟踪专练2】图中以为边的三角形共有 个． 【跟踪专练3】如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【题型2.三角形个数的计数】 【典例】如图，共有 个三角形． 【跟踪专练1】已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】如图，图中共有 个三角形． 【跟踪专练3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【题型3.平行线与内角和】 【典例】如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【跟踪专练2】如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为 . 【跟踪专练3】如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型4.三角形的分类.】 【典例】三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是 ． 【跟踪专练1】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【跟踪专练2】一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【跟踪专练3】在中，是的2倍，比大，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【题型5.直角三角形的性质】 【典例】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【跟踪专练1】如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（        ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有 对. 【跟踪专练3】若直角三角形中的两个锐角之差为，则较小的一个锐角的度数是(  ). A． B． C． D． 【题型6.三角形的构成条件】 【典例】小华用一根15厘米长的铁丝围成了一个三角形，它的边长可能分别是 厘米、 厘米、 厘米． 【跟踪专练1】下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（     ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】从长度分别为的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是 ． 【跟踪专练3】下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7.第三边的取值范围】 【典例】已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则x可以取的值为 ．（写出一个即可） 【跟踪专练1】三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为 ． 【跟踪专练3】一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【题型8.等腰三角形的定义】 【典例】若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为 【跟踪专练1】等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【跟踪专练2】若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是 ． 【跟踪专练3】若m，n为等腰的两边长，且满足 则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．12或15 【题型9.三角形高的画法】 【典例】如图，中，，垂足分别为D、E、F，则线段 是中边上的高． 【跟踪专练1】下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称 ．如图，线段 是BC边上的高． 【跟踪专练3】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【题型10.三角形角平分线的定义】 【典例】如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，是的角平分线，，则 ， ， ．    【跟踪专练2】如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于   （    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【题型11.重心的基本概念】 【典例】如图，点是的三条中线的交点，则 ．（填“”“”或“”） 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【跟踪专练3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型12.三边关系的应用】 【典例】一根木棍长12，若把这个木棍截三段，用这三段木棍搭出一个三角形，则应把木棍截成的三段长分别是 ．（木棍长都是整数，写出一组即可） 【跟踪专练1】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米， 米，那么A，B间的距离可以是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练2】如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【跟踪专练3】若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【题型13.与三角形高有关的计数】 【典例】如图，的高相交于点O，添加一个条件： ，使． 【跟踪专练1】如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边 ．(用含的代数式表示结果） 【跟踪专练3】如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【题型14.利用网格求三角形面积】 【典例】如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【跟踪专练1】每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是( )平方厘米。 【跟踪专练2】如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【跟踪专练3】如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【题型15.重心的有关性质】 【典例】如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 【跟踪专练1】如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【跟踪专练2】如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则 ． 【跟踪专练3】如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 解答题 1．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 2．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 3．如图，，，，求的度数． 4．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 5．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 6．如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，求的面积． 7．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09认识三角形 【题型01 三角形的识别与概念】.......................................4 【题型02 三角形个数的计数】.........................................5 【题型03 平行线与内角和】...........................................7 【题型04 三角形的分类】............................................10 【题型05 直角三角形的性质】........................................12 【题型06 三角形的构成条件】........................................13 【题型07 第三边的取值范围】........................................15 【题型08 等腰三角形的定义】........................................17 【题型09 三角形高的画法】..........................................19 【题型10 三角形角平分线的定义】....................................21 【题型11 重心的基本概念】..........................................23 【题型12 三边关系的应用】..........................................25 【题型13 与三角形高有关的计数】....................................27 【题型14 利用网格求三角形面积】....................................30 【题型15 重心的有关性质】..........................................32 【题型16 解答题7题】..35 知识梳理 知识点01:三角形的定义与表示 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭平面图形，叫做三角形。 2. 基本元素 顶点：三条线段的交点，共 3 个（如△ABC 的顶点 A、B、C）。 边：组成三角形的三条线段，可记为 AB、BC、AC；也可用小写字母表示（顶点 A 对边 BC 记为 a，顶点 B 对边 AC 记为 b，顶点 C 对边 AB 记为 c）。 内角：相邻两边组成的角，共 3 个，记为∠A、∠B、∠C（简称三角形的角）。 3. 表示方法 用符号 “△” 表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作 “△ABC”，读作 “三角形 ABC”。 知识点02:三角形的分类 1. 按角分类（核心依据内角大小） 锐角三角形：三个内角都是锐角（都小于 90°）。 直角三角形：有一个内角是直角（等于 90°），其余两个角为锐角且互余。 钝角三角形：有一个内角是钝角（大于 90° 且小于 180°）。 规律：任意三角形中，至少有 2 个锐角，最多 1 个直角或 1 个钝角。 2. 按边分类（核心依据边长关系） 不等边三角形：三条边长度都不相等。 等腰三角形：有两条边相等；其中，三边都相等的叫等边三角形（是特殊的等腰三角形）。 知识点03:三角形的三边关系（核心考点） 1. 基本性质 任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a。 任意两边之差小于第三边：∣a−b∣<c，∣a−c∣<b，∣b−c∣<a。 2. 判定技巧 判断三条线段能否构成三角形，只需验证最短两边之和 > 最长边（简化验证步骤）。 知识点04:三角形的三条重要线段（均为线段，非直线 / 射线） 1. 中线 定义：连接一个顶点与它对边中点的线段。 性质：三角形的中线将原三角形分成面积相等的两个小三角形。 数量：每个三角形有 3 条中线，交于一点（重心）。 . 2. 角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 性质：角平分线分得的两个角相等。 数量：每个三角形有 3 条角平分线，交于一点（内心）。 3. 高线（高） 定义：从一个顶点向它的对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。 特点：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在三角形外部。 数量：每个三角形有 3 条高，交于一点（垂心）。 【题型1.三角形的识别与概念】 【典例】如图，中，与的夹角是 ，，的公共边是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可． 【详解】解：与的夹角是， ，的公共边是， 故答案为：①，②． 【跟踪专练1】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】图中以为边的三角形共有 个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 【题型2.三角形个数的计数】 【典例】如图，共有 个三角形． 【答案】7/七 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形从而数出三角形的个数． 【详解】解：图中有：，共7个． 故答案为：7． 【跟踪专练1】已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，图中共有 个三角形． 【答案】116 【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 【跟踪专练3】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 【题型3.平行线与内角和】 【典例】如图，已知D、E在的边上，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 先根据平行线的性质求得的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 【跟踪专练2】如图，已知，，直线分别交于，点G在直线上，，若，则的度数为 . 【答案】58° 【分析】本题主要考查对垂线，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故答案为：58°． 【跟踪专练3】如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 【题型4.三角形的分类.】 【典例】三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【跟踪专练1】如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【跟踪专练2】一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形． 【答案】 直角 等腰 【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键． 根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可． 【详解】解：， 最大的角为：， 其余两个角都是， 这是一个直角三角形， 按边分，这是一个等腰三角形， 故答案为：；直角；等腰 【跟踪专练3】在中，是的2倍，比大，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形的分类，三角形的内角和定理的应用， 设为x，根据条件表示和，利用三角形内角和列方程求解x，再计算各角大小，判断三角形形状． 【详解】设， ∵， ， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，，， ∵所有角均小于， ∴是锐角三角形． 故选：A． 【题型5.直角三角形的性质】 【典例】在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（ ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角的关系． 【跟踪专练1】如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，邻补角的性质．先根据三角形的内角和定理求出，再根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有 对. 【答案】4 【详解】 ,共四对. 【跟踪专练3】若直角三角形中的两个锐角之差为，则较小的一个锐角的度数是(  ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次方程的应用，利用余角进行计算，设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为，利用一元一次方程解答即可 【详解】解：直角三角形两个锐角的和是， 设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为， 得：， 得：， 故选B． 【题型6.三角形的构成条件】 【典例】小华用一根15厘米长的铁丝围成了一个三角形，它的边长可能分别是 厘米、 厘米、 厘米． 【答案】 5 5 5 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合周长为15厘米，找出满足条件的三边长度组合 ．本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 【详解】解：可先尝试找简单整数组合，比如5、5、5，，，且 ． 故答案为：5、5、5（答案不唯一） ． 【跟踪专练1】下列每组数分别是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（     ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，利用“三角形任意两边之和大于第三边”，通过比较每组中较小两边的和与最长边的大小即可判断能否组成三角形，即可求解． 【详解】解：A、 、、不能组成三角形，故A不符合题意. B、 、、不能组成三角形，故B不符合题意. C、 、、能组成三角形，故C符合题意. D、 、、不能组成三角形，故D不符合题意. 故选：C． 【跟踪专练2】从长度分别为的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】列举所有可能取三条线段的情况，根据三角形的三边关系判断是否能构成三角形，再计算概率． 本题考查了简单的概率，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：从长度分别为1,3,5,6的四条线段中任取三条，共有4种情况：①1,3,5；②1,3,6；③1,5,6；④3,5,6．其中，只有④3,5,6满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形．因此这三条线段能构成三角形的概率为． 故答案为． 【跟踪专练3】下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）三角形两边之和不一定大于第三边；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据三角形的分类和三角形的三边关系逐个判断每个说法的正确性． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形， 说法（1）错误的将等边三角形与等腰三角形并列作为分类，表述不够严谨，通常按边分类为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特殊形式）．故说法错误； ∵三角形三边关系为两边之和一定大于第三边， ∴说法（2）错误． ∵等边三角形的三边都相等，满足等腰三角形“至少有两边相等”的定义， ∴说法（3）正确． ∵等腰三角形的定义就是有两边相等的三角形， ∴说法（4）正确． 综上，正确的说法有2个． 故选：B． 【题型7.第三边的取值范围】 【典例】已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则x可以取的值为 ．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 则x可以取的值为6， 故答案为：6（答案不唯一）． 【跟踪专练1】三角形的两边长分别为3和6，若第三条边的长为，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再结合选项选出符合条件的数值． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为3和6，第三边长为， ∴根据三角形三边关系，得， 即， ∵选项中只有4满足， ∴的值可能是4， 故选：D 【跟踪专练2】已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 由三角形三边关系定理得到，推出，，据此化简，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ，， 故答案为：11． 【跟踪专练3】一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【详解】解：设第三边长为x， 则，即， 又∵x为整数， ∴x最大为6， ∴三角形的周长最大值为， 故选：A． 【题型8.等腰三角形的定义】 【典例】若等腰三角形的周长为，底边长为，则腰长为 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两条腰相等列出算式解答即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边长为， ∴腰长为， 故答案为：． 【跟踪专练1】等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 【跟踪专练2】若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查绝对值的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系；根据绝对值的非负性，由等式求出m和n的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系确定三角形的边长，最后计算周长. 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得：，， ∵是等腰三角形，且m，n是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为2时，三角形三边为2，2，4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立； ②当腰长为4时，三角形三边为2，4，4， 满足三角形三边关系，周长为． 故答案为：10. 【跟踪专练3】若m，n为等腰的两边长，且满足 则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．12或15 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和偶次方的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 由已知等式，结合非负数的性质求的值，再根据分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【详解】解， ， 解得：， 分两种情况： 当等腰三角形的腰长为3，底边长为6时， ， 不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为6，底边长为3时， ， 能组成三角形，周长为：， 综上所述：的周长为15， 故选：． 【题型9.三角形高的画法】 【典例】如图，中，，垂足分别为D、E、F，则线段 是中边上的高． 【答案】 【分析】本题考查了画三角形的高线，正确理解高的概念是解题的关键．根据三角形高的定义判断即可求解． 【详解】解：， 中边上的高是． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列能表示的边上的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是边上的高，故符合题意； C．是边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称 ．如图，线段 是BC边上的高． 【答案】 三角形的高 AD 【解析】略 【跟踪专练3】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 【题型10.三角形角平分线的定义】 【典例】如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】如图，在中，是的角平分线，，则 ， ， ．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，，， 故答案为：，， 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于   （    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即可求得答案． 【详解】解；∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角、角平分线的定义，熟练掌握对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 【题型11.重心的基本概念】 【典例】如图，点是的三条中线的交点，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是明确三角形三条中线的交点（重心）与中线的关系，即过重心的线段为的中线． 先根据“点O是的三条中线的交点”，可知线段是的一条中线；再依据三角形中线的定义——连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可判断点D是边的中点；最后根据中点的性质，得出与的数量关系． 【详解】解：∵点O是的三条中线的交点，且A、O、D在同一条直线上，D在边上， ∴是的中线． 又∵三角形中线的定义为连接三角形一个顶点和它对边中点的线段， ∴点D是的中点． ∵中点将线段分为两条相等的线段， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∵三角形的重心是三角形中线的交点， ∴它的重心在线段上． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练3】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 【题型12.三边关系的应用】 【典例】一根木棍长12，若把这个木棍截三段，用这三段木棍搭出一个三角形，则应把木棍截成的三段长分别是 ．（木棍长都是整数，写出一组即可） 【答案】3，4，5（不唯一） 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据木棍截成的三段长符合三角形的三边关系即可． 【详解】解：一根木棍长12，把这个木棍截三段，用这三段木棍搭出一个三角形，则把木棍截成的三段长分别是3，4，5； 故答案为：3，4，5（答案不唯一） 【跟踪专练1】如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得米， 米，那么A，B间的距离可以是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 连接，根据三角形的三边关系求出的范围，即可求解． 【详解】解：连接， 米， 米， ，即， 选项不符合题目要求，选项C符合题目要求． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：16． 【跟踪专练3】若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值．由三角形的三边关系，得到，，，化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：表示的三边长， ，，， ，，， ， 故选C． 【题型13.与三角形高有关的计数】 【典例】如图，的高相交于点O，添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据等面积法可得，则当时有，据此可得答案． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵的高相交于点O， ∴， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边 ．(用含的代数式表示结果） 【答案】/ 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 【题型14.利用网格求三角形面积】 【典例】如图在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，则的面积为（   ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，根据图中各部分之间的面积关系正确列式计算是解题的关键． 用整个网格的面积减去周围三个小三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：． 【跟踪专练1】每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与长方形，再相加即可求解． 【详解】解：如图所示， 阴影部分面积为： 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 【题型15.重心的有关性质】 【典例】如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形重心的定义和性质，掌握三角形三边中线的交点为三角形的重心和重心的性质是解题关键．根据题意得出点F为的重心，即得出． 【详解】解：∵的两条中线、交于点， ∴点F即为的重心， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，熟练掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 【跟踪专练3】如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心，根据三角形重心的性质求出，从而根据三角形面积性质即可判断G，D的位置，从而得到答案． 【详解】解：∵内部有一点，且、、的面积分别为、、， ∴， 如图， E，F，H分别是所在边的中点，则G为的重心， 过G和A分别作的垂线，垂足分别为M、N， 则根据三角形重心的性质可知， ∴， 同理， ∴， ∴点、到的距离相等，且位于的同侧， ∴，故A正确，BCD错误； 故选：A． 解答题 1．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 2．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解．. 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 3．如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 4．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【答案】(1)①② (2)A、D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余即可得解；②由①得，由邻补角的定义得到，最后根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：A，D． 5．已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 6．如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，求的面积． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键； 利用平行线间距离相等得出同底等高的三角形面积相等，再通过已知三角形的面积计算未知三角形的面积． 【详解】解：， ∴点，到直线的距离相等， ． 的面积为5， ． 7．已知的三边长分别为，，． (1)若，满足，求整数的最小值． (2)化简：． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系： （1）根据题意可得，，求得，，根据三角形三边关系，可得； （2）根据三角形三边关系，可得，，，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：， ，． ，． 根据三角形三边关系，可得，即． 为整数， 的最小值为3． （2）解：根据三角形三边关系，可得，，， . ． 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