专题06 三角形中的三边与三线的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北师大版2024）

专题06 三角形中的三边与三线的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、确定第三边的取值范围 1 类型二、利用三边关系去绝对值化简 3 类型三、画三角形的高 5 类型四、根据三角形的中线求长度、面积 6 类型五、利用三角形的角平分线求解 9 类型六、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 12 类型七、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 17 压轴能力测评（20题） 20 解题知识必备 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 2. 三角形的三线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 压轴题型讲练 类型一、确定第三边的取值范围 例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 3．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 类型二、利用三边关系去绝对值化简 例题：（24-25八年级上·云南文山·期中）若，，分别为三边，化简：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 2．（22-23七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为的三边，化简：． 类型三、画三角形的高 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 类型四、根据三角形的中线求长度、面积 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示，，若，则 ． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 类型五、利用三角形的角平分线求解 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 类型六、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 类型七、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，分别是的高和中线，若，，，． (1)求的长． (2)求与的周长之差． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是 ． 7．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）设三边长分别为，则 ． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，于点，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，，，则 （用含的代数式表示）． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 12．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 13．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，是三角形的三条边． (1)______0；______0（填“>”“<”或“=”）； (2)化简． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的中线，并标出的位置； (2)画出边上的高线，并标出的位置； (3)的面积是 ． 15．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 18．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 19．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 20．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形中的三边与三线的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、确定第三边的取值范围 1 类型二、利用三边关系去绝对值化简 3 类型三、画三角形的高 5 类型四、根据三角形的中线求长度、面积 6 类型五、利用三角形的角平分线求解 9 类型六、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 12 类型七、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 17 压轴能力测评（20题） 20 解题知识必备 1. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 2. 三角形的三线 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 压轴题型讲练 类型一、确定第三边的取值范围 例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【详解】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，掌握两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三边为x，则， ∴ 所以第三边长可能是4． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围即可解答． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系可得，即， ∴A，B间的距离不可能是50米． 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，， ∴， 故答案为：． 类型二、利用三边关系去绝对值化简 例题：（24-25八年级上·云南文山·期中）若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 2．（22-23七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为的三边，化简：． 【答案】． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 类型三、画三角形的高 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可得出答案． 【详解】解：过A点作交的延长线与点D， 故是边上的高， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，一一判断即可； 【详解】解：A，B，C都不是作对边的垂线，故只有D符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，是的高，正确，不符合题意； B、，是的高，正确，不符合题意； C、，不是的高，原说法错误，符合题意； D、，则：，故是的高，正确，不符合题意； 故选C． 类型四、根据三角形的中线求长度、面积 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为41，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为41， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示，，若，则 ． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查利用中线求三角形的面积．根据，得点D是的中点，，故． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 类型五、利用三角形的角平分线求解 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 【答案】 12 36 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，由，可得； （2）由，可得，由是的角平分线，可得，由，可得，由，可得，即，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴的度数为． 类型六、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、画三角形的高 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）由三角形面积公式可得答案； （2）取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求； （3）取格点G，连接交于E，点E即为所求； （4）取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求． 解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求，如图： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取格点G，连接交于E，点E即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【知识点】格点作图题、利用网格求三角形面积、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线： （1）如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，三角形的中线和高以及三角形的面积，掌握网格线的特点，三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据三角形的高线的定义作图即可； （2）确定边的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：的面积． 类型七、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【答案】①；；；②；；；③； 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空． 【详解】解：①是的角平分线，则， ②是的中线，则， ③是的高线，则， 故答案为：①；；；②；；；③； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，分别是的高和中线，若，，，． (1)求的长． (2)求与的周长之差． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形高、中线的概念，利用面积法求三角形的高； （1）利用面积法即可求得高的长； （2）由中线的意义得，则与的周长之差为，从而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； ∴与的周长之差为： ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)30 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、画三角形的高 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是，， ∴设这个三角形第三边长为， 则x的取值范围是：，即， 故这个三角形第三边的长可能是． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）在中，画出边上的高，下面4幅图中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有C选项中的图形是画出边上的高， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的顶点和对边中点的连线是三角形的中线． 根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长大3”，推出，即可求解． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多3， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·福建龙岩·阶段练习）若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查的是三角形的三边关系，已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．据此求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边x的取值范围是：，即． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）设三边长分别为，则 ． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】考查了三角形三边关系，整式的加减；三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ 8．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，于点，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，，，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形的内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．由可得，进而得到，由作图可知，平分，得到，推出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 10．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为 ． 【答案】或 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 12．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】三角形的分类、确定第三边的取值范围 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 13．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，是三角形的三条边． (1)______0；______0（填“>”“<”或“=”）； (2)化简． 【答案】(1)；． (2)． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了三角形三边关系，化简绝对值，解题的关键是掌握三角形三边关系． （1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，判断即可； （2）根据绝对值的性质以及整式加减运算求解即可． 【详解】（1）解：a、b、c是一个三角形的三边长， ∴， ∴，， 故答案为： ；． （2）解： ． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的中线，并标出的位置； (2)画出边上的高线，并标出的位置； (3)的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【知识点】画三角形的高、利用网格求三角形面积、格点作图题 【分析】本题考查了三角形的中线、高线，三角形的面积，熟练掌握网格的特点是解本题的关键． （1）根据三角形的中线的定义，结合网格的特点作图即可； （2）根据三角形的高的定义，结合网格的特点作图即可； （3）用长方形的面积减去四周小三角形的面积，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）如图所示，线段即为所求； ； （3）的面积是． 15．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于． (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先利用三角形内角和定理解得的值，结合平分易知，再求得的值，利用求解即可； （2）结合三角形内角和定理、三角形的高和角平分的定义可知，，再推导，然后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： 解：∵分别是的高和角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，． (1)指出图中边、上的高； (2)作出边上的高； (3)在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来； (4)若，，，求边上的高的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)个，见解析 (4) 【知识点】三角形的分类、画三角形的高、利用网格求三角形面积 【分析】（1）由三角形的高的定义即可直接得出答案； （2）按照要求作出边上的高即可； （3）由直角三角形的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的面积公式可得，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：边上的高是，边上的高是； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、， 答：在（2）的条件下，图中有个直角三角形，分别是、、； （4）解：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，画三角形的高，三角形的分类，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线． (1)如果，求的长； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的高、中线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线定义是解题的关键． （1）根据三角形中线定义求解即可． （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据三角形角平分线定义求得，然后由是高线，则可求得，即可由求解． 【详解】（1）解：因为是的中线，所以． 因为，所以． （2）解：因为， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 因为是的高线， 所以， 所以， 所以． 18．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，为的角平分线，为的高，点E为的中点． (1)若，求的度数； (2)若的面积为15，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的内角和与三角形的外角： （1）三角形的外角求出的长，利用三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的高， ∴， ∴； （2）∵点E为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴． 19．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②或 (2)理由见解析 (3)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； ②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”； （3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案． 【详解】（1）①∵是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“奇妙互余三角形”． （3）解：当P在线段上时，如图： ，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图： ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（舍去）； 当时， ∵， ∴（舍去）． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键． 20．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$