精品解析：山东青岛市莱西市2025-2026学年第一学期期末质量检测八年级（五四学制）数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1、本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、画图题和解答题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 2. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于分式，下列说法正确的是（ ） A. 化为最简分式等于 B. 当时，分式的值为 C. 当时，分式的值为零 D. 当时，分式没有意义 5. 某班40名同学的校服尺寸如下表：对于表格中的数据，下列说法正确的是（ ） 尺寸/cm 155 160 165 170 175 学生人数/人 2 5 12 12 9 A. 众数是165 B. 中位数是165 C. 众数是170 D. 中位数是170 6. 如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是菱形 8. 某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（ ） A. 表示模型A处理400GB数据的时间 B. 表示模型B每小时能处理多少GB数据 C. 表示模型B处理数据的时间 D. 表示模型A每小时能处理多少数据 第II卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 因式分解___________． 10. 某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是___________．（填“甲”或“乙”） 11. 已知，则的值为___________． 12. 如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． 13. 如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 14. 如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为___________． 三、画图题（本题满分4分） 15. 如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图. （1）在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上. （2）在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上. 四、解答题（本题满分74分，共10小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到，请写出点的坐标；（不必画图） （2）将绕坐标原点旋转得到，请用没有刻度的直尺和圆规画出，并写出点的坐标．（不写画法，保留作图痕迹） 17. 计算： （1）分解因式：； （2）分式计算：； （3）解分式方程： 18. 已知代数式． （1）先化简，再求当时，代数式的值； （2）原代数式的值能等于1吗？若能求出此时的值；若不能，请说明理由． 19. 甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： （1）若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； （2）求甲运动员成绩的方差； （3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 20. 列方程解应用题 某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售，甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元．在“双十一”活动中，甲、乙两种商品每件的售价下降的价格相同，某顾客用1750元购买甲种商品，用1750元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买甲、乙两种商品的数量． 21. 已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 22. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是___________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 23. （掌握）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 24. 如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转，得到（D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，线段相交于点，线段分别交于点，连结． （1）当时，直接写出旋转角的度数； （2）在（1）的条件下，判断四边形是什么特殊的四边形？并说明理由； （3）直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． 25. 已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： （1）如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； （2）如图2，若四边形是菱形，求t的值； （3）如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟满分：120分） 说明： 1、本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第II卷为填空题、画图题和解答题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（选择题共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 2. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义：一个图形绕着某点旋转180度后仍与自身重合的图形叫中心对称图形是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义及提公因式法、公式法的应用，因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，根据因式分解的定义，结合完全平方公式、平方差公式等逐项判断． 【详解】解：A选项：∵，与左边相等，且是整式积的形式， ∴该变形是正确的因式分解； B选项：∵，与左边不相等，正确结果应为， ∴该变形错误； C选项：∵，与左边不相等， ∴该变形错误； D选项：∵，与左边不相等，正确结果应为， ∴该变形错误； 故选：A． 4. 关于分式，下列说法正确的是（ ） A. 化为最简分式等于 B. 当时，分式的值为 C. 当时，分式的值为零 D. 当时，分式没有意义 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质、分式有意义的条件及分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一分析选项即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； C、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； D、当时，，此时原分式没有意义，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 某班40名同学的校服尺寸如下表：对于表格中的数据，下列说法正确的是（ ） 尺寸/cm 155 160 165 170 175 学生人数/人 2 5 12 12 9 A. 众数是165 B. 中位数是165 C. 众数是170 D. 中位数是170 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的定义，需根据定义分别计算出众数和中位数，再判断选项正误． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，表格中165cm和170cm对应的学生人数均为12人，是出现次数最多的， ∴众数为165cm和170cm， 故A、C选项错误． ∵总共有40名同学，中位数为第20和第21个数据的平均数，累计人数：155cm有2人，160cm有5人，累计7人；165cm有12人，累计19人； ∴第20、21个数据均为170cm， ∴中位数=(170+170)/2=170cm，故B选项错误，D选项正确． 故选：D 6. 如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正多边形的内角公式，求出正五边形的内角度数，得到和的度数，再借助等边三角形的内角为，四边形的内角和为，计算即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 7. 如图，在中，点为的中点，，，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，菱形判定，矩形判定，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴，即， ∴四边形是矩形，故选项A正确； 当时，则， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故选项C正确； ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故选项D正确． 故选：B． 8. 某公司开发了A，B两款AI模型，已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，模型A处理400GB数据的时间是模型B处理300GB数据的时间2倍．根据题意，小明列出了两个方程：①，②对于两个方程中和的意义，下列说法正确的是（ ） A. 表示模型A处理400GB数据的时间 B. 表示模型B每小时能处理多少GB数据 C. 表示模型B处理数据的时间 D. 表示模型A每小时能处理多少数据 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键 本题需结合工作总量、工作效率、工作时间的关系（工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），分析方程中变量的实际意义． 【详解】对于方程①： ∵ 等式左边为模型A处理400GB数据的时间，右边为模型B处理300GB数据的时间，且A的时间是B的2倍 ∴ 表示模型A每小时处理的GB数据量，故A、B选项错误 对于方程②： ∵ 为模型B的每小时处理量，为模型A的每小时处理量，且B比A每小时多处理10GB ∴ 表示模型B处理300GB数据的时间，故C选项正确，D选项错误 故选：C 第II卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 80 90 85 乙 80 85 90 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是___________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案． 【详解】甲的成绩为（分）， 乙的成绩为（分）， ， 被录用的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了加权平均数，如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权，理解加权平均数的概念，掌握其公式是解题的关键． 11. 已知，则的值为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算和因式分解的应用．先求出．然后因式分解 ，代入 和计算得结果． 【详解】解：由 ，通分得 ，即 ． 代入，得 ， 解得 ． 又，代入，， 得． 故答案为：18 12. 如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．直接利用平移的性质即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 13. 如图，矩形的对角线相交于点，，，点为上一点，连接，为的中点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 14. 如图，正方形中，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，点为的中点，的延长线与交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 连接，先证明，设，则，再证明，则，最后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、画图题（本题满分4分） 15. 如图，在的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图. （1）在图1中，以为一边作一个矩形，要求C，D两点也在格点上. （2）在图2中，以为一边作一个菱形，要求E，F两点也在格点上. 【答案】（1） 如图中，矩形即为所作； （2） 如图中，矩形即为所作； 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质作出图形即可（答案不唯一）； （2）作出边长为的菱形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图－应用与设计作图，菱形与矩形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想解题，属于中考常考题型． 四、解答题（本题满分74分，共10小题） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． （1）将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到，请写出点的坐标；（不必画图） （2）将绕坐标原点旋转得到，请用没有刻度的直尺和圆规画出，并写出点的坐标．（不写画法，保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质可得出答案． （2）以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，，即可，根据中心对称的性质可得点的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，点的坐标为，即． 【小问2详解】 解：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点， 以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点， 以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 连接，，，则△即为所求， 由题意得，点的坐标为． 17. 计算： （1）分解因式：； （2）分式计算：； （3）解分式方程： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、解分式方程；熟练掌握提公因式法和公式法因式分解、解分式方程记得检验是解题的关键． （1）先提公因式，然后再运用平方差公式继续分解； （2）先把分母因式分解，再通分进行分式的减法运算； （3）先将分式方程化成整式方程求解，然后进行检验即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 18. 已知代数式． （1）先化简，再求当时，代数式的值； （2）原代数式的值能等于1吗？若能求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 不能， 理由如下： 当时， 解得， 当时，代数式A没有意义， ∴原代数式A的值不能等于1． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，分式无意义的条件，解分式方程，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据分式的基本性质化简后，将代入计算即可； （2）令化简后的式子等于1，求出x的值，代入原代数式检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 当时，原式． 【小问2详解】 略 19. 甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： （1）若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； （2）求甲运动员成绩的方差； （3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】（1）< （2）1 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； 【小问2详解】 解：， ∴甲运动员成绩的方差为1； 【小问3详解】 解：乙运动员10次射击训练成绩的方差， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 20. 列方程解应用题 某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售，甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元．在“双十一”活动中，甲、乙两种商品每件的售价下降的价格相同，某顾客用1750元购买甲种商品，用1750元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买甲、乙两种商品的数量． 【答案】该顾客购买甲、乙两种商品的数量分别为70件，50件． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键．设购买乙种商品x件，则购买甲种商品件，根据甲、乙两种商品每件的售价下降的价格相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设购买乙种商品x件，则购买甲种商品件， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， （件） 答：该顾客购买甲、乙两种商品的数量分别为70件，50件． 21. 已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】略 22. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是___________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 【答案】（1） （2）七年级测试成绩的平均数为分； （3）七，理由： 七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）利用中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：八年级A等级人数为：（人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83， 故中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分）， 答：七年级测试成绩的平均数为分； 【小问3详解】 略 23. （掌握）如图，在平行四边形中，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）若与满足什么关系时，则四边形是矩形？请证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴； （2） 解：，证明： ∵四边形是平行四边形， ∴ 由（1）得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得，，得，因为点F是边的中点，得，证明，即可作答． （2）与满足，先证明四边形是平行四边形，得，因为四边形是平行四边形，得，因为，得，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转，得到（D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，线段相交于点，线段分别交于点，连结． （1）当时，直接写出旋转角的度数； （2）在（1）的条件下，判断四边形是什么特殊的四边形？并说明理由； （3）直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． 【答案】（1） （2） 解：四边形 ABOE 是菱形，理由如下： 由旋转性质，，，． 已知， 则 ． 所以 ， 可得． 又， 可得． 因此，四边形是平行四边形， 又， 故为菱形． （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、图形旋转的性质、平行线的性质、特殊四边形的判定以及等腰三角形的分类讨论，解题的关键是利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，结合等腰三角形和特殊四边形的判定定理进行推理，并对等腰三角形的情况进行分类讨论． （1）求旋转角：利用等腰的内角及的条件，结合旋转性质，求出的度数即为旋转角． （2）判定四边形的形状：在已知的条件下，通过计算各角的度数，证明、，从而判定四边形为平行四边形，再由证得其为菱形． （3）求为等腰三角形时的：分三种情况（、、），利用三角形内角和及旋转性质，分别计算出对应的旋转角． 【小问1详解】 解：已知，， 所以． 由旋转性质，， 故为等腰三角形． 当时，． 在中，． 因此，旋转角． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分三种情况讨论： 1．当时： 2．当时： 3．当时：（舍去，因 ） 综上，当为等腰三角形时，旋转角的度数为或． 25. 已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是，设它们的运动时间为，解答下列问题： （1）如图1，求证：在运动过程中，总是互相平分； （2）如图2，若四边形是菱形，求t的值； （3）如图3，将沿翻折，得到．运动过程中，是否存在某一时刻使四边形是菱形？若存在求出的值；若不存在说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，总是互相平分． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）连接交于点，当四边形是菱形时，，则，列出方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若四边形是菱形，则， ∴在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴t的值为3． 【小问3详解】 解：存在． 如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∴， 解得， ∴当秒时，四边形是菱形． 第1页/共1页 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