精品解析：福建泉州市晋江市2025-2026学年上学期期末质量检测八年级数学试卷

2025年秋初中学科质量检测 初二数学 （满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各选项中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是（ ） A. 了解某班学生的视力情况 B. 调查某书稿是否存在科学性错误 C. 了解全国学生的睡眠情况 D. 检测神舟二十二号飞船的零件质量 5. 如图，在四边形中，，，则证明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰的周长为，若其一边长是，则其腰长是（ ） A. B. C. D. 或 7. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例即可，则反例中的n可以为（ ） A. B. C. 0 D. 2 9. 如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若正数a一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 12 计算：______． 13. 抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 14. 如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 15. 已知，，则M与N的大小关系是______． 16. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点E，C分别在，上，，．求证：． 20. 中华文明，源远流长，文学领域更是璀璨生辉，诞生了家喻户晓的四大名著．某中学为了了解学生对四大名著的喜欢情况，随机抽取了全校若干名学生，调查他们最喜欢哪一部名著，并将调查结果整理成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查抽取了______名学生；红楼梦所在的扇形的圆心角度数为______． （2）将条形统计图补画完整． （3）若该校共有1500名学生，试估计该校最喜欢西游记的人数． 21. 如图，某学校学生在校园边角处开垦出一块四边形的劳动实践基地，经测量得，，，，．求四边形的面积． 22. 如图，在中，点E在上，，，垂足为点D，的周长为52，． （1）过点E作于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若点F是边的中点，求线段的长度． 23. 某学习小组在一次数学活动中，用若干个正方形和长方形拼出了如下图所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，可得到一个代数恒等式：，利用这个恒等式解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）求证：，并写出等号成立的条件． 24. 阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面提示和范例解决下面问题： （1）因式分解：______； （2）已知，求的值； （3）求证：四个连续整数积与1的和是一个整数的平方． 25. 如图，在锐角中，以，为边作等边和等边，线段，交于点P，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若点Q为内任意一点，连接，，，试证明：当的值最小时，点Q与点P重合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋初中学科质量检测 初二数学 （满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列各选项中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．根据无理数的定义即可求解． 【详解】解：是分数，是循环小数，是整数，都是有理数， 只有是无理数， 故选：A． 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，立方根是立方的逆运算，据此即可求解. 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：A 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，计算正确，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是（ ） A. 了解某班学生的视力情况 B. 调查某书稿是否存在科学性错误 C. 了解全国学生的睡眠情况 D. 检测神舟二十二号飞船的零件质量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，本题要依据全面调查与抽样调查的适用范围来判断选项，全面调查适用于调查范围小、需精准结果或涉及安全的情况，抽样调查适用于调查范围大、难以开展全面调查的情况． 【详解】解：A、选项中某班学生人数少，范围小，适合全面调查； B、选项中书稿的科学性错误需全面核查，不能抽样，适合全面调查； C、选项中全国学生数量庞大，范围极广，无法进行全面调查，最适合抽样调查； D、选项中飞船零件质量关乎飞行安全，必须全面检测，适合全面调查； 故选：C． 5. 如图，在四边形中，，，则证明的依据是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解题的关键．由，，又因为，即可由判定两三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 6. 已知等腰的周长为，若其一边长是，则其腰长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的周长和等腰三角形的性质，需分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证是否能构成三角形，进而确定腰长即可． 【详解】解：∵等腰周长为，一边长为， ①若为腰长，则底边长， 此时三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴此情况不成立； ②若为底边长，则腰长， 此时三边长为，，， ∵，，满足三角形三边关系， ∴此情况成立， ∴腰长为， 故选：B． 7. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 8. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例即可，则反例中的n可以为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：时，，符合题意； 而当时虽然满足小于，但是计算结果也成立，故不能作为反例，故不符合题意； 故选：A． 9. 如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 10. 如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若正数a的一个平方根是5，则它的另一个平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的知识．根据正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：若一个正数的一个平方根是5，则它的另一个平方根是． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据整式的除法法则，系数相除，同底数幂相除． 【详解】解；原式 ． 故答案为：． 13. 抛掷一枚正方体骰子20次，若点数6出现5次，则出现点数6的频率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率是事件发生次数与总试验次数的比值，计算即可． 【详解】解：出现点数6的次数为5次，总试验次数为20次， 频率． 故答案为：． 14. 如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知，，则M与N的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算．利用作差法，再根据整式的混合运算法则运算即可作出判断． 【详解】∵ ， ∴， 故答案为：． 16. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，已知正方形和正方形，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形，若正方形和正方形的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则的长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，根据正方形的性质得到，证明≌，推出，根据解题即可． 【详解】解：如图： 设，， ∴， ∵四边形、四边形和都是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，去绝对值符号，求算术平方根，解题的关键是掌握相应的运算，分别算乘方，去绝对值，求算术平方根，再算加减运算． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 根据平方差公式及多项式除以单项式法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 如图，点E，C分别在，上，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 20. 中华文明，源远流长，文学领域更是璀璨生辉，诞生了家喻户晓的四大名著．某中学为了了解学生对四大名著的喜欢情况，随机抽取了全校若干名学生，调查他们最喜欢哪一部名著，并将调查结果整理成如下两幅不完整的统计图． 请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查抽取了______名学生；红楼梦所在的扇形的圆心角度数为______． （2）将条形统计图补画完整． （3）若该校共有1500名学生，试估计该校最喜欢西游记人数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）最喜欢西游记的人数约有名． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图，利用部分的数量及百分比求总数，求扇形圆心角的度数，求总体中部分的数量，正确理解扇形统计图与条形统计图的关系得到相应的信息是解题的关键． （1）利用最喜欢“三国演义”的人数及百分比即可求出调查总人数，用最喜欢“红楼梦”的百分比乘以即可得到扇形统计图中“红楼梦”所在扇形的圆心角； （2）根据（1）中求出的1部的人数补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取了名学生， 扇形统计图中“红楼梦”所在扇形的圆心角为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得，最喜欢“水浒传”的人数为（名）， 将条形统计图补充如下： ； 小问3详解】 解：（名）， ∴最喜欢西游记的人数约有名． 21. 如图，某学校学生在校园边角处开垦出一块四边形的劳动实践基地，经测量得，，，，．求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、勾股定理的逆定理．先根据勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理求出，最后根据即可得解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ， ， ． 22. 如图，在中，点E在上，，，垂足为点D，的周长为52，． （1）过点E作于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若点F是边的中点，求线段的长度． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图（过直线外一点作已知直线的垂线）和等腰三角形的性质；解题的关键是得到线段之间的等量关系，结合等腰三角形三线合一的性质求解线段长度． （1）根据尺规作图中“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法作图： （2）利用垂直平分线的性质，得出等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得出点为的中点，再利用条件三角形的周长进行求解即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：连接， 设，在（1）的条件下，点F是边的中点， ， ， ， ， 为的中点， 的周长为52，， ， ， ． 23. 某学习小组在一次数学活动中，用若干个正方形和长方形拼出了如下图所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，可得到一个代数恒等式：，利用这个恒等式解决下列问题： （1）已知，，求的值； （2）求证：，并写出等号成立的条件． 【答案】（1）18 （2）见解析，等号成立的条件是： 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）把，代入进行计算即可； （2）由已知条件得，由，，可得代入得故可得结论，等号成立的条件是：． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， ∴， 解得：； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 等号成立的条件是：． 24. 阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： （1）因式分解：______； （2）已知，求的值； （3）求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【小问1详解】 解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ； 【小问3详解】 证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 25. 如图，在锐角中，以，为边作等边和等边，线段，交于点P，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若点Q为内任意一点，连接，，，试证明：当值最小时，点Q与点P重合． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）证明即可； （2）在上取点M，连接，使，由，得到，证明，推出是等边三角形，据此求解即可； （3）证明，，由两点之间线段最短，则的长为的最小值，据此即可证明结论成立． 【小问1详解】 证明：和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ∴； 【小问2详解】 证明：在上取点M，连接，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴的长为的最小值， ∴点Q为内任意一点， ∴点Q与点P重合时，的值最小， ∴当的值最小时，点Q与点P重合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $