【金榜名师推荐】2015-2016学年高中数学北师大选修1-1同课异构（课件+课时提升作业+单元测试+达标训练）第三章　变化率与导数 （63份打包）

　第三课　 变化率与导数　 【网络体系】 【核心速填】 1.平均变化率：_________. 2.瞬时变化率与导数：________. 3.导数的几何意义：函数f(x)在x=x0处的导数就是切 线PT的斜率k，即k=______________________. 4.过曲线上一点的切线方程： _____________________. 5.基本初等函数的导数公式 (1)c′=__. (2)(xα)′=______. (3)(ax)′=_____(a>0). (4)(ex)′=__. y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 0 αxα-1 axlna ex (5)(logax)′=_______(a>0，且a≠1). (6)(lnx)′=___. (7)(sinx)′=_____. cosx (8)(cosx)′= ______. (9)(tanx)′=________. (10)(cotx)′=_________. -sinx 6.导数的四则运算法则 (1)加法法则： [f(x)+g(x)]′=______________. (2)减法法则： [f(x)-g(x)]′=______________. f′(x)+g′(x) f′(x)-g′(x) (3)乘法法则： [f(x)g(x)]′=______________________. (4)除法法则： =____________________(g(x)≠0). f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 【易错警示】 1.关注平均变化率中的Δx，Δy的特征 (1)注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零； (2)若函数f(x)为常值函数，则Δy=0. 2.正确区分“过”“在”点P的切线的差异 根据导数的几何意义，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 3.正确应用导数运算法则求函数的导数的原则 (1)把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的运算，再考虑套用哪种运算法则，使计算方便. (2)把握“先化简再求导，能用加减不用乘除，能用乘法不用除法”的求导原则. 类型一　利用导数的定义解题 【典例1】利用导数的定义求函数y= 的导数. 【解析】y′= 【方法技巧】利用导数的定义解题的注意点 (1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx趋于0的方式，函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比趋于一个固定的值.即 (2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形. 【变式训练】若函数f(x)满足f′(x0)=-3，则 等于________. 【解析】因为f′(x0)=-3，所以 =f′(x0)+3f′(x0)=4f′(x0)=4×(-3)=-12. 答案：-12 【补偿训练】设f(x)在x处可导，则 =(　　) A.2f′(h) B. f′(x)　　 C.f′(x) D.4f′(x) 【解析】选C.因为 类型二　导数的几何意义 【典例2】(1)过点(-1，0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为(　　) A.2x+y+2=0 B.3x-y+3=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 (2)若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ -9都相切，则a等于________. 【解析】(1)选D.y′=2x+1，设切点坐标为(x0，y0)， 则切线的斜率为2x0+1，且y0= x02+x0+1， 于是切线方程为y- x02-x0-1=(2x0+1)(x-x0)， 因为点(-1，0)在切线上， 可解得x0=0或-2，当x0=0时，y0=1；x0=-2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验证D正确. (2)由y=x3⇒y′=3x2，设曲线y=x3上任意一点(x0， x03)处的切线方程为y- x03=3 x02(x-x0)，把(1，0)代入方程得x0=0或x0= ①当x0=0时，切线方程为y=0，则ax2+ -9=0， Δ= -4a×(-9)=0⇒a= ②当x0= 时，切线方程为y= 由 Δ=32-4a =0⇒a=-1， 所以a= 或a=-1. 答案： 或-1 【方法技巧】导数几何意义的应用技巧 导数几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意： (1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标. (2)切点既在曲线上又在切线上