3.3 计算导数（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§3　计算导数 [选题明细表] 知识点、方法 题号 求简单函数的导数 1,6,7,8,12 切线问题 2,3,4,5,9,10 综合应用 11,13 基础巩固 1.给出下列结论: ①(cos x)′=sin x;②(sin )′=cos ;③若y=,则y′=-; ④()′= . 其中正确的个数是(　B　 ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:(cos x)′=-sin x,所以①错误; sin =,而()′=0,所以②错误; ()′=(x-2)′=-2x-3,所以③错误; ()′=()′=-=-,所以④正确.故选B. 2.在曲线f(x)=上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　D　) (A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(-1,1) (D)(1,1)或(-1,-1) 解析:切线的斜率k=tan π=-1, 设切点为(x0,y0), 则f′(x0)=-1, 又f′(x)=-, 所以-=-1, 所以x0=1或-1, 所以切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选D. 3.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为(　D　 ) (A) (B)- (C)-e (D)e 解析:y′=ex,设切点为(x0,y0),则 所以=·x0, 所以x0=1,所以k=e.故选D. 4.下列曲线中,存在互相垂直的切线的曲线是(　D　 ) (A)f(x)=ex (B)f(x)=x3 (C)f(x)=ln x (D)f(x)=sin x 解析:若存在互相垂直的切线,则其斜率之积为-1,或一条切线的斜率不存在,另一条切线的斜率为0. A中,f′(x)=ex>0,B中f′(x)=3x2≥0,C中f′(x)=(x>0),故ABC中均不存在互相垂直的切线方程,而D中f′(x)=cos x,其可正可负,一定存在使cos x1·cos x2=-1的情形.故选D. 5.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a等于(　A　) (A)64 (B)32 (C)16 (D)8 解析:y′=-, 所以k=-,切线方程是y-=-(x-a), 令x=0,y=,令y=0,x=3a, 所以三角形的面积是S=·3a·=18,解得a=64.故选A. 6.若f(x)=sin x,f′(α)=,满足条件的α是　　　　.  解析:因为f(x)=sin x,所以f′(x)=cos x. 又因为f′(α)=cos α=, 所以α=2kπ±(k∈Z). 答案:{α|α=2kπ±(k∈Z)} 7.已知f(x)=xα(α∈Q+),若f′(1)=,则α等于　　　　.  解析:因为f(x)=xα, 所以f′(x)=αxα-1, 所以f′(1)=α=. 答案: 能力提升 8.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x), n∈N,则f2 021(x)等于(　C　 ) (A)sin x (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x 解析:f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=f1′(x)=(cos x)′=-sin x,f3(x)=f2′(x)=(-sin x)′=-cos x, f4(x)=f3′(x)=(-cos x)′=sin x,所以4为最小正周期,故f2 021(x)= f1(x)=cos x.故选C. 9.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x2 021的值为　　　　.  解析:y′=(n+1)xn,y′|x=1=n+1,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,则xn=,x2 021=. 答案: 10.求证:双曲线y=上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值. 证明:设双曲线上任意一点P(x0,y0), 因为f′(x)=-, 所以点P处的切线方程y-y0=-(x-x0). 令x=0,得y=y0+=; 令y=0,得x=x0+y0=2x0. 所以S△=|x|·|y|=2. 所以三角形面积为定值2. 11.点P是曲线y=f(x)=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 解:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图所示. 则在点(x0,y0)处的切线斜率为1, 即f′(x0)=1. 因为y′=(ex)′=ex,所以=1, 得x0=0,代入y=ex,y0=1, 即P(0,1). 利用点到直线的距离公式得距离为. 即P到直线y=x的最小距离为. 12.求下列函数的导数. (1)y=x; (2)y=; (3)y=log2x2-log2x