3.4 导数的四则运算法则（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修1-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

4.2　导数的乘法与除法法则 [选题明细表] 知识点、方法 题号 导数运算法则 6,10 切线问题 1,2,4,7,12 综合应用 3,5,8,9,11,13 基础巩固 1.已知曲线f(x)=-3ln x的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(　A　) (A)3 (B)2 (C)1 (D) 解析:因为f′(x)=-,所以由导数的几何意义可知,-=,解得x=3(x=-2不合题意,舍去).故选A. 2.设曲线f(x)=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于(　D　 ) (A)2 (B) (C)- (D)-2 解析:因为f(x)==1+, 所以f′(x)=-, 所以f′(3)=-, 所以-a=2,即a=-2.故选D. 3.质点运动的曲线方程为s(t)=+2t2,则t=2时的速度为(　B　) (A)4 (B)8 (C)10 (D)12 解析:因为s(t)=+2t2=-+2t2=t-2-t-1+2t2, 所以s′(t)=-2t-3+t-2+4t=-++4t, 所以s′(2)=-++8=8.故选B. 4.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　D　 ) (A)a=e,b=-1 (B)a=e,b=1 (C)a=e-1,b=1 (D)a=e-1,b=-1 解析:因为y′=aex+ln x+1,所以y′|x=1=ae+1, 所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为 y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1, 所以解得故选D. 5.曲线y=xsin x上x=-点处的切线与x轴、直线x=π所围成的三角形的面积为(　A　) (A) (B)π2 (C)2π2 (D)(2+π)2 解析:求导数可得f′(x)=sin x+xcos x, f′(-)=-1, 所以曲线f(x)=xsin x在x=-处的切线方程为 y-=-(x+),即x+y=0, 当x=0时,y=0,即切线与坐标轴的交点为(0,0), 所以切线与x轴,直线x=π所围成的三角形面积为 S=×π×π=π2. 故选A. 6.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为　　　　.  解析:f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f′(0)=3. 答案:3 7.已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=　　　　.  解析:f′(x)=3ax2+1,f′(1)=3a+1,f(1)=a+2, 即切点(1,a+2),斜率3a+1,切线方程为y-a-2=(3a+1)(x-1),则7-a-2=(3a+1)(2-1),得a=1. 答案:1 能力提升 8.已知点P是函数y=图像上任意一点,直线l为点P处的切线,则直线l倾斜角的取值范围为　　　　.  解析:因为sin x+cos x=sin(x+), 由x+≠kπ,k∈Z,知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ-,k∈Z}.设直线l的倾斜角为θ, y′= ==. 因为0<sin2(x+)≤1,所以y′≥1,即tan θ≥1. 又0≤θ<π,所以≤θ<. 答案:[,) 9.在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　.  解析:设A(x0,ln x0),又y′=,则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-ln x0=(x-x0),将(-e,-1)代入得-1-ln x0=(-e-x0),化简得 ln x0=,解得x0=e,则点A的坐标是(e,1). 答案:(e,1) 10.求下列函数的导数. (1)y=ex+xln x; (2)y=. 解:(1)y′=ex+ln x+x·=ex+ln x+1. (2)y′= ==. 11.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值. (1)解:7x-4y-12=0可化为y=x-3, 当x=2时,y=, 又f′(x)=a+, 于是 解得 故f(x)=x-. (2)证明:设点P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+可知曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1+)(x-x0), 即y-(x0-)=(1+)(x-x0). 令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-). 令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积