专题05 矩形、菱形、正方形中折叠问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题05 矩形、菱形、正方形中折叠问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的折叠问题 类型二、菱形中的折叠问题 类型三、正方形中折叠问题 压轴专练 类型一、矩形中的折叠问题 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，对应线段相等、对应角相等。 2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。 2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。 例1．如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】5或2 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， ∴． 故答案为：5或2． 【变式1-1】如图，矩形中，，点是边上的一动点（点不与点，重合），连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了矩形的的折叠问题，勾股定理，根据题意得：，设，则，然后分两种情况讨论：当点落在边所在的直线上时，当点落在边所在的直线上时，则，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 如图，当点落在边所在的直线上时，则，    ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点落在边所在的直线上时，则，    ∴， 在和中， ， 即， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或1． 故答案为：或1 【变式1-2】如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况考虑：①时；②PF⊥AB时；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， 则由勾股定理得， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 由折叠知：， 在中， ， 解得， ； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， 则四边形是矩形， ，， ； 设，则； 在中， ， 解得． ． 综上所述，满足条件的BE的值为或5． 【变式1-3】如图，矩形中，，，点E为射线上的一个动点，把沿折叠．点D的对应点为． (1)求点刚好落在对角线上时，的长； (2)求点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由勾股定理得出，由折叠的性质可知，，即可求出的长； （2）分三种情况讨论：①当点落在对称轴上时，过点作于点；②当点落在对称轴上，且在矩形内部时；③当点落在对称轴上，且在矩形外部时，利用折叠和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由折叠的性质可知，， （2）解：分三种情况讨论： ①当点落在对称轴上时， 直线是矩形的对称轴，， ， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 设， 由折叠的性质可知，，， ， ， 在中，， 即， 解得：，即； ②当点落在对称轴上，且在矩形内部时， 直线是矩形的对称轴，，， ，， 设，则 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，即； ③当点落在对称轴上，且在矩形外部时， 直线是矩形的对称轴，，， ，， 设，则 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，即， 综上可知，线段的长为或或． 类型二、菱形中的折叠问题 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 结合菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标注等量：在图上清晰标出折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系。 2. 设元勾股：常在菱形折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为 \(x\)，利用勾股定理列方程求解。 例2．如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2-2】如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ． 【答案】7 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在上时，的值最小．作于H，如图，根据菱形的性质可求得，，在中，利用勾股定理计算出，再根据两点间线段最短得到当点E在上时，的值最小，然后证明即可． 【详解】解：作于H，如图， ∵菱形的边，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∵四边形沿直线翻折，点C对应点为E，， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 由折叠的性质得， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【变式2-3】如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 类型三、正方形中折叠问题 方法总结 1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。 2. 结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。 2. 设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为 \(x\)，利用正方形边长关系和勾股定理列方程。 例3．如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【变式3-1】如图，对折正方形纸片，得到折痕，将纸片展平，在上取一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，将纸片展平，连接，延长交于点Q，连接若正方形的边长为6，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】由折叠及正方形的性质得到，，再由“”易证；分当点在线段上和当点在线段上两种情况，再根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】∵在正方形中， ∴，， 根据折叠的性质可得：， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【变式3-2】如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 【答案】 /度 2 【分析】（1）根据折叠性质得到，得到，，证明，即可证明． （2）根据，得到，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵正方形，沿对折至， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据（1）得，， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2． 【变式3-3】如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    一、单选题 1．（25-26九年级上·山东·期末）如图，四边形是正方形，是的中点，将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若正方形的边长为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理；设，则－，，由折叠可得，在中用勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，正方形的边长为， ∴， ∵是的中点， ∴ 设，则－， 由折叠可得， 在中， 解得． 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（2025·浙江·模拟预测）将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 二、填空题 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 5．（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，正方形中，将边折叠至，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识得到是关键． 根据正方形与折叠可证，，由此得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，过点作， ∵折叠， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 三、解答题 7．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)补充图形见解析， (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质等知识点，灵活运用折叠的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，即，由折叠的性质可得，即，再根据四边形的内角和定理求解即可； （2）由题意可证，可证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点O． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴，，，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 8．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张，，，各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题． 小组 探究内容 图形 第一小组 把沿折叠，与重叠部分记为． 第二小组 步骤1：把矩形沿折叠，使得与重合，点，分别为，上的点． 步骤2：为边上动点（与点B，C不重合），沿折叠得到．         根据以上各小组探究内容，求解下列问题． (1)根据第一小组探究内容，求证：是等腰三角形． (2)根据第二小组探究内容，当，，三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或，图见解析 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，进而得到，然后根据折叠的性质得，即可证明出是等腰三角形； （2）根据题意画出图形，分两种情况讨论，分别根据折叠的性质得到，然后进一步得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示，当点P在线段上时， ∵把矩形沿折叠，使得与重合， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， 同理可得，，，， ∴， 由（1）可得，， ∴； 综上所述，BP的长度为或． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： (1)【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． (2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键． 10．（24-25八年级下·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，过点D作交BC于点G，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①60，60；②见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，是解题的关键． （1）①由折叠得，由得，结合即可求解； ②由，，证明四边形是平行四边形，同①证明，推出，即可证明四边形是菱形； （2）由折叠得，，，用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解和，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：①由折叠得， ， ， 矩形中， ， 故答案为：60，60； ②四边形是矩形， ， 又， 四边形是平行四边形； ， ， 由折叠得， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形， ，，， 中，，， ， ， 由折叠得，，， ， 又，， ， 如图，过点E作于点G， ， ， ， ． 11．（2024·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05矩形、菱形、正方形中折叠问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、矩形中的折叠问题 类型二、菱形中的折叠问题 类型三、正方形中折叠问题 压轴专练 典例详解 类型一、矩形中的折叠问题 方法总结 1.抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，对应线段相等、对应角相等。 2.利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。 2.设元列方程：常设未知线段长为x,在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。 例1.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F 处，连接CF.当△CEF为直角三角形时，CE的长是一 【变式1-1】如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P是边AD上的一动点（点P不与点A,D重合）， 连接CP,把△BCP沿CP所在直线翻折得到△B'CP,则当点B落在矩形的边所在的直线上时，AP的长 为一 1/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 【变式1-2】如图所示，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,点P在AD上，且PD=2,点E是线段BC上 不与端点重合的一个动点，连接BP,EP,将△BPE关于直线PE对称的三角形记作△FPE,若PF垂直于矩 形的任意一边，则线段BE的长是 D 【变式1-3】如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上的一个动点，把ADE沿AE折叠.点 D的对应点为D. M (I)求点D刚好落在对角线AC上时，D'C的长； (2)求点D刚好落在此矩形的对称轴上时，线段DE的长. 类型二、菱形中的折叠问题 方法总结 1.抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.结合菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1.标注等量：在图上清晰标出折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系。 2.设元勾股：常在菱形折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为\(x),利用勾股定理列方程求解。 例2.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若 2/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EG⊥CD,BE=4,DG=3,则AE的长为 B 【变式2-1】如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE,若∠D=80°，则 ∠BCF的度数是 A E B 【变式2-2】如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠A=120°，M是CD上，DM=3,N是点AB上一动点， 四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E,当AE最小时，AN= --B 【变式2-3】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°. D (1)∠C= (2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C,且DC'是AB的垂直平分线， 则∠DEC的大小为° 3/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、正方形中折叠问题 方法总结 1.抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。 2.结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊直 角三角形 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。 2.设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为()，利用正方形边长关系和勾股定理列 方程。 例3.如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E,连接CE,将△BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上 的点F重合，连接DF,若BE=2,则△CDF的面积是 B 【变式3-1】如图，对折正方形纸片ABCD,得到折痕EF,将纸片展平，在AD上取一点P,沿BP折叠， 使点A落在正方形ABCD内部点M处，将纸片展平，连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ若正 方形ABCD的边长为6，FQ=1,则AP的长为」 P D B 【变式3-2】如图1，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点（不与端点重合）.将ADE沿AE对折 至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG, B 图1 图2 (1)∠EAG= (2)如图2，若E为CD的中点，则CG= 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-3】如图，点E是正方形ABCD的边CD上一动点（点E不与C、D重合），连接BE,将△BCE沿 BE翻折，使点C落在点F处， 图1 (I)当DF最小时，DE:CE的值为-： (2)如图2，连接AF并延长，交BE的延长线于点G,在点E的运动过程中，∠BGA的大小是否变化，若变 化，请说明理由；若不变，请求∠BGA的值； (3)如图3，在(2)的条件下，连接DG,试探索BG、DG、AG之间的数量关系. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上山东·期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，将正方形折叠，使点A与 点E重合，折痕为M,若正方形的边长为4，则线段AN的长为() A D M B A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.(25-26九年级上·贵州贵阳·月考)如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC边上得到DA',折痕为DM,连接A'M,CM,第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在 MD边上.若AD=√2，则AB的长为() 5/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2 B.5 C.5 D.2 3.(2025·浙江模拟预测)将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD, BC,AD,AB上)，使点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若∠C=45°，DE=CE,EF⊥BC于 点F,则△BHM的周长为() D G B. 5 2 2 A.√2a a C. D. 1+ a 4 2 2 二、填空题 4.(24-25八年级上·湖北襄阳·期末)如图，在长方形ABCD中，∠BDC=32°，将△ABD沿BD所在直线折 叠，使点A落在E处，则∠CDE=」 B 5.(2024广东东莞二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE,若 ∠D=80°，则∠BCF的度数是 E B 6.(25-26八年级上广东佛山期中)如图，正方形ABCD中，将边BC折叠至BC',连接C'D、CC',若 CD=1,∠CC'D=90°，则DC'的长为一 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 三、解答题 7.(2025江苏南通三模)如图①，有一张菱形纸片ABCD,∠A=45°，折叠该纸片，使得点A,C均与点 D重合，折痕分别为EG,FH,设两条折痕的延长线交于点O. A B B H 图① 图② (1)请在图②中将图形补充完整，并求∠EOF的度数； (②)四边形DGOH是菱形吗？请说明理由. 8.(24-25八年级下·山东济宁.期中)在某探究课《矩形的折叠》中，每个小组分到了相同大小的矩形纸张 ABCD,AB=10cm,BC=30cm,各小组通过对该纸张的折叠探究了各种不同的折叠问题， 小组 探究内容 图形 第 把ABC沿AC折叠，与△ACD重叠部分记为△ACM. 小组 步骤1：把矩形ABCD沿EF折叠，使得AB与DC重合， 第二 点E,F分别为AD,BC上的点. 小组 步骤2：P为边BC上动点（与点B,C不重合），△APB 沿AP折叠得到△APB. 根据以上各小组探究内容，求解下列问题 (I)根据第一小组探究内容，求证：△ACM是等腰三角形. (②)根据第二小组探究内容，当P,B,E三点在同一直线上时，画出简单的示意图，求BP的长度 9.(24-25八年级下·内蒙古呼和浩特期中)取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： 7/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D M E E F B 图① 图② 图③ (1)【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，折痕为EF,把纸片展平； 第二步：在AD上选一点P,沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM,BM,根据以上 操作，当点M在EF上时，如图①，连接AM,判断△ABM的形状并证明 (②)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为8cm正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 ABCD按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ,当点M在EF上时，求∠MBQ与 ∠PQD的数量关系是_（用数学式子表示）； (3)【拓展延伸】在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），沿BP折叠纸片， 如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接PM,BM,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.当 QF=lcm时，请求出AP的长 10.(24-25八年级下·广西防城港·期中)【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为 主题开展学习活动，同学们积极参与了矩形折叠活动， E G D 图① 图② 图③ (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若∠AFB=60°， 则∠AFE= o,∠AEF= o; ②如图②所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD交于点F,过点D 作DG∥BF交BC于点G,求证：四边形DFBG是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD交于点F,连接AE 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,若LCBD=30°，CD=3√2，求AE的长. 11.(2024广东深圳模拟预测)综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展数学活动. D D A D M M B E B E B E C 图1 图2 图3 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片ABCD,将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE, 点B的对应点为M,连接AM;将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF,将纸片展 平，连接EF 根据以上操作，易得点E,M,F三点共线，且①∠EAF=°；②线段EF,BE,DF之间的数量关系为_ (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N,将纸片展平， 连接NE、NF. 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点 E不与点B,C重合)，点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P,如图3所示， ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论AP=BE+DF,请证明该结论是否成立，并说明理由 ②【拓展应用】若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE上时，求出线段BE的长. 12.(24-25八年级下·辽宁大连期末)在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片ABCD,要 求同学们在对角线BD上取一点E,连接AE,将△ABE沿AE折叠，得到△AEF· 9/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E C 图1 图2 图3 (I)同学甲发现∠DAE=3∠BAE(图1)，通过探索发现点F落在线段AC上，从而可证明∠BAD=2∠DEF,请 你完整证明：∠BAD=2∠DEF; ②同学乙取BE=3DE,折叠后发现EF∥BA(图2，通过探索可得出二为常数，请求出三的值； EF (3)同学丙通过折叠发现EF⊥BD,测得AB=5,BE=7DE,连接DF,发现DF的长度可求，求出此时 DF的长度. 10/10