专题06 平面直角坐标系中规律及新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06平面直角坐标系中规律及新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 方法总结 1.周期找规律：观察动点移动路径，发现其周期性或循环规律，用周期余数定位当前位置。 2.坐标分解：将移动分解为x方向与y方向的独立运动，分别求和或找规律。 解题技巧 1.画图追踪：在坐标系中画出前几次移动轨迹，直观发现规律。 2.归纳通式：用含n的代数式表示第n次移动后的坐标（分段表示）。 例1.(25-26七年级下，全国·课后作业)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1 次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，…按这样的运动规律，经 过第2025次运动后，动点P的坐标是 (32) (7,2) (11,2) (11) (5,1) (9,1) (2,0)(4,0)(6,0) (8,0)(10,0)(12,0 【变式1-1】(25-26八年级上·甘肃兰州期末)如图，在平面直角坐标系中，一个动点P从点P(-1,0)出发， 运动到点P2（-1,-1),运动到点(1，-1)，运动到点P(1,1),运动到点P(-2,1,运动到点P-2,-2)…按照 上述规律运动下去，则点P26的坐标为」 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P o P2 P P 6 7 D P 1 【变式1-2】(25-26七年级上山东东营月考)如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆 Q、O、Q,…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长 度，则第2025秒时，点P的坐标是 D 【变式1-3】(2026江苏连云港模拟预测)在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵 坐标之和大于0的点称为“可余点”.将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得的余数（当余数为0时，向右平移：当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移 1个单位长度 例：“可余点”P(2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P(2,2),其平移过程如下. P(2,1(3,(3,22(2,2 金0 若“可余点”Q按上述规则连续平移20次后，到达点Q（-5,16),则点Q的坐标为 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 方法总结 1.对称方式：明确每次对称是关于x轴、y轴还是原点，按对称规则逐次推导坐标变化。 2.周期归纳：多次对称后常出现周期规律，归纳出周期长度与对应坐标的通项公式。 解题技巧 1.列表跟踪：列出前几次对称后的坐标，观察符号变化规律。 2/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.分奇偶讨论：常按对称次数为奇数或偶数分类，分别写出坐标表达式。 例2.(25-26八年级上江苏宿迁·期末)如图，光点P从(0,2)处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形 OABC的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）.当光点P第2026次碰到长方形 OABC的边界时，光点P的坐标为() YA 3 012345678x A.(8,2 B.（6,0 C.(2,4 D.6,4 【变式2-1】(25-26八年级上安徽宿州期末)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向 左平移1个单位长度.再竖直向下平移2个单位长度，得点P(-1,-2)；接着水平向右平移2个单位长度， 再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得 点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点P,按此做法进行下去，则 点P26的坐标为() ...P P A.(1013,2026)B.(-1013,2026)C.1013,-2026) D.(-1013,-2026) 【变式2-2】(25-26八年级上山东东营·期末)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点A(0,1),A(1,1),A(1,0),A,(2,0)那么 点A026的坐标为 A A13 A12 【变式2-3】(25-26八年级上·安徽安庆期末)如图，在平面直角坐标系中，对ABC进行循环往复的轴对 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 称变换，若原来点A的坐标是(x,y),则经过第2026次变换后所得的点A的坐标是」 第1次 第2次 第3次 第4次 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 方法总结 1.旋转规则： 明确旋转中心、方向（顺/逆）和角度(90°、180°等)，按规则逐次推导坐标变化。 2.周期归纳：多次旋转后常出现周期规律（如旋转4次回到原位置），归纳出周期与通项公式。 解题技巧 1.列表跟踪：列出前几次旋转后的坐标，观察坐标值及符号的变化规律。 2.模4分类：旋转90°时，按旋转次数除以4的余数(0,1,2,3)分类讨论坐标。 例3.(25-26九年级上·湖北襄阳·月考)如图，在平面直角坐标系中，四边形0ABC的顶点0在原点上， AB=CB=4,OA=OC,∠A0C=60°，AB1x轴，将四边形0ABC绕点0逆时针旋转，每次旋转90°，第2025 次旋转结束时，点C的坐标为() A A.（-3,5) B.(3,-5) c.（-25,6 D.（-6,25 【变式3-1】(25-26九年级上·河南安阳期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴 上，且坐标原点O为AB的中点，点A的坐标为-2,0)，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45° ,则第2026次旋转结束时，点D的坐标为() B 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（-2,4) B.4,2) C.（2,-4 D.-4,2 【变式3-2】(25-26八年级上河南平顶山期末)在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),点B在第一象限内， A0=AB,∠OAB=90°，将AOB先关于y轴对称得到△AOB,将△AOB,关于x轴对称得到△4，OB2,将 A,0B,关于y轴对称得到△A,OB,,将△A,OB,关于x轴对称得到△A,OB,,则按照这样的顺序继续对称 下去，第2026次对称后，点B226的坐标为() A.(2,2 B.（-2,2 C.-2,-2 D.(2,-2 【变式3-3】(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)在平面直角坐标系中，一个图形向右平移Q个单位长 度，再绕原点按顺时针方向旋转O角度，这样的图形运动叫做图形的yα，)变换.现将斜边为1的等腰直 角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，ABC经y(1,180)变换后得△A,B,C,为第一次变换， △AB,C经y(2,180)变换后得△4，B,C2为第二次变换，，经yn,180)变换得△A.B.C,则点C6的坐标 是 十旋转 【变式3-4】(2026九年级下·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，有一个等腰直角三角形 AOB.∠OAB=90°.直角边A0在x轴上，且A0=2,将RtaA0B绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边 长扩大一倍，得到等腰直角三角形A,0B,,将Rt△A,OB,,绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍， 得到等腰直角三角形A,0B,.·.·依此规律，得到等腰直角三角形A24OB224,则点B24的坐标为 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 方法总结 1.理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐点”“距离和”），准确理解其数学含义。 2.代数转化：将新定义用坐标代数式表示，转化为方程、不等式或函数问题求解。 解题技巧 1.举例验证：用简单点代入新定义试算，确保理解正确后再进行一般化处理。 2.分类讨论：新定义常涉及绝对值、距离等，需根据坐标符号分类讨论。 例4.(25-26八年级上四川成都期末)在平面直角坐标系中，一个点到x轴、y轴的距离的较小值称为这 个点的“短距”，如：点(1，-2)的“短距”为1.若一个点到x轴、y轴的距离相等时，称这个点为“完美点”，如： 点(-8，-8)和点(5，-5)都是“完美点” (1)点A-3,2)的“短距”为 ； (2)若点B(6,1+2a)的短距为5，且点B在第四象限内，求a的值； (3)若点C(4b-1,-3)是“完美点”，求b的值 【变式4-1】(25-26八年级上·江西景德镇期末)在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)和点Q(m,n,若满足： m=2a n=26-则称点P的美好点”为点0.例如，点(2,1)的美好点是4，. (1)①点P(-2,3)的“美好点”坐标是 ②若点P的“美好点”为7，-3)，则点P的坐标是多少？ (2)若点P(a,a+3)的“美好点”位于x轴上，求a的值. 【变式4-2】(25-26八年级上辽宁沈阳·期末)在平面直角坐标系x0y中，点Aa,b),B(c,d),若 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 c-a=d-b≠0，则称点A与点B互为“等差点”，例如：点A-1,3,点B(2,6),因为2--1=6-3≠0， 所以点A与点B互为“等差点”. (1)己知点A(4,-2),写出点A在第一象限的“等差点”的坐标 ;(写出一个即可) 2)已知点A(5,-3)的等差点”B在坐标轴上，求点B的坐标为； (3)已知点A-V5,2m)与点B25,-n互为“等差点”，且m、n互为相反数，求点B的坐标 【变式4-3】(25-26八年级上，宁夏银川期末)在平面直角坐标系中，对于P,Q两点给出如下定义：点P到 x,y轴的距离中的最大值等于点Q到x,y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为“等距点”.如点P(3,2)与 Q(1,3)两点即为等距点， 备用图 (1)已知点A的坐标为-1,4) ①点B(3,1,C(-2,4),D(-4,1中，与点A为“等距点”的是： ②若点M的坐标为M(m,-m-6),且A,M两点为“等距点”，求出点M的坐标： (2)若点E(-2,n+3)与点F(8,2n-5)两点为“等距点”，在y轴上有异于原点的一点H(0,b),连接 EH,OE,OF,FH.若△HOF的面积为S,△EOH的面积S2,求S:S2的值. 压轴专练 一、单选题 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上全国·期中)如图，平面直角坐标系中，已知点A1,1,B(-1,1,C(-1,-2,D(1,-2,动 点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一动点Q从点 C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标 是() P B 0 A.（-1,-1 B.(1,-1 C.(-2,2 D.(1,2) 2.(25-26八年级上·全国·期中)长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从 点(0,3)出发，沿所示的箭头方向运动，到点(3,0)时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反 弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为() 4 2 12345678 A.1,4) B.(8,3) C.(7,4) D.(0,3) 3.(2025八年级上全国·专题练习)如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内， 它从原点运动到(0，，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即 (0,0)→(0，)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置 为() 8/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A5 43 A.(1,44 B.(5,44 C.（44,1 D.(44,5 4.(24-25七年级下·新疆喀什期中)定义：T是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点T分别向x 轴、y轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点T叫作“垂距点”，例如：图中的点P,Q是“垂距点”. 若M(2m-5,11-3m是第四象限的点，且点M是“垂距点”，则m的值为() P(1,3) Q(-2,2i -3-2-10123x A.2 B.4 c:2 D.10 5.(25-26八年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，AB∥EG∥x轴，BC∥DE∥HG∥AP∥y轴， 点D,C,P,H在x轴上，A(1,2),B(-1,2),D-3,0),E(-3,-2),G(3,-2),把一条长为2023个单位 长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按 A→B→C→D→E→F→G→H→P→A.的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置 的点的坐标是() G A.（-1,1 B.（1,-1 C.(1,1 D.1,0 二、填空题 6.(25-26八年级上山东阶段练习)规定：在平面直角坐标系中，一个点作0”变换表示将它向右平移一个 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依 次连续变换.例如：点0(0,1)按序列01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到0，(1,1，再将 0,(1,1关于x轴作轴对称从而得到021，-1).若点A(0,-1)经过0101.…01”共2025次变换后得到点A2s ，则点A2s的坐标为 7.(24-25七年级下广东中山期中)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方 向排列，如1,0)，（2,0)，(2,1，(3,2，(3,1，(3,0)…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 y t5,4) 4,3)5,3) 3,24,25,2) 2,13,1火4,15,1) 01,0)2,o3.0406.0主 8.(24-25七年级下·全国·期末)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),我们把点P（-y+1,x+1)叫做 点P的伴随点.已知点A的伴随点为A4,点A的伴随点为A,点A的伴随点为A,…,这样依次得到点 A,A,4,.,An,.若点A的坐标为a,b),则点A的坐标为，点A425的坐标为一 9.(2025八年级上全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，对ABC进行循环往复的轴对称变换，若 原来点A的坐标是(-2,3)，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为一· VA 第1次 B4 关于轴对称 0 第2次 第3次 关于x轴对称 0 关于y轴对称 第4次 关于x轴对称 10/12 专题06 平面直角坐标系中规律及新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴专练 类型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 方法总结 1. 周期找规律：观察动点移动路径，发现其周期性或循环规律，用周期余数定位当前位置。 2. 坐标分解：将移动分解为x方向与y方向的独立运动，分别求和或找规律。 解题技巧 1. 画图追踪：在坐标系中画出前几次移动轨迹，直观发现规律。 2. 归纳通式：用含n的代数式表示第n次移动后的坐标（分段表示）。 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是 ． 【答案】 【分析】分析前几次运动的坐标，总结出横坐标、纵坐标分别对应的规律，再利用规律求解第次运动后的坐标． 【详解】解：先列出前几次运动后的坐标： 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， ①横坐标规律： 第次运动后的横坐标就是， ∴第次运动后的横坐标为． ②纵坐标规律： 纵坐标以为一个周期循环，周期长度为 余数为，对应周期中的第个值，即纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点的坐标是． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一个动点从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点按照上述规律运动下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ∵， ∴点在第三象限， 又∵第三象限的点，点，…… 设点的下标为n， ∴可得横坐标为：，纵坐标为， ∴点． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆、、，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π个单位长度，则第2025秒时，点P的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点位置，找出运动规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； ； 则当时间为秒时，， ∴点， 故答案为：． 【变式1-3】（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 类型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 方法总结 1. 对称方式：明确每次对称是关于x轴、y轴还是原点，按对称规则逐次推导坐标变化。 2. 周期归纳：多次对称后常出现周期规律，归纳出周期长度与对应坐标的通项公式。 解题技巧 1. 列表跟踪：列出前几次对称后的坐标，观察符号变化规律。 2. 分奇偶讨论：常按对称次数为奇数或偶数分类，分别写出坐标表达式。 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，光点从处发出，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标规律，读懂题意，按照规则画出图形，得出规律是解决问题的关键． 根据题中规则，作出图形，得到规律：光点每经过六次就重新回到，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 光点从处发出，第一次碰壁在、第二次碰壁在、第三次碰壁在、第四次碰壁在、第五次碰壁在、第六次碰壁回到，则光点每经过六次就重新回到， ， 当光点第次碰到长方形的边界时，在第四次碰壁的位置，则光点的坐标为， 故选：B． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位长度，得到点那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵余2， ∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点为， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2026次变换后所得的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—轴对称，点的坐标的规律探索，观察可知每四次变换为一个循环，求出2026除以4的余数，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同可得答案． 【详解】解：由题意得，第一次变换为关于x轴对称，第二次变换为关于y轴对称，第三次变换为关于x轴对称，第四次变换为关于y轴对称，且每四次变换为一个循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的点的坐标是点A关于x轴对称后，再关于y轴对称后得到的点的坐标，即点的坐标． 故答案为：． 类型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 方法总结 1. 旋转规则：明确旋转中心、方向（顺/逆）和角度（90°、180°等），按规则逐次推导坐标变化。 2. 周期归纳：多次旋转后常出现周期规律（如旋转4次回到原位置），归纳出周期与通项公式。 解题技巧 1. 列表跟踪：列出前几次旋转后的坐标，观察坐标值及符号的变化规律。 2. 模4分类：旋转90°时，按旋转次数除以4的余数（0,1,2,3）分类讨论坐标。 例3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2025次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、点的坐标变化规律、全等三角形的判定与性质及勾股定理，先求出点C的坐标，再依次求出每次旋转后点C对应点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， ∴． 过点C作x轴的垂线，垂足为M，过点B作的垂线，垂足为N， ∵， ∴， ∴， 则． ∴， 又∵， ∴， 则， 过点作y轴的垂线，垂足为P， 由旋转可知，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得，第2次旋转后点C的坐标为，第3次旋转后点C的坐标为，第4次旋转后点C的坐标为，第5次旋转后点C的坐标为，…， 由此可见，从第1次旋转开始，点C的坐标按，，，循环． 又∵余1， ∴第2025次旋转后点C的坐标为． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为．将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质等知识点，第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同是解题的关键． 通过观察发现第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，根据正方形的性质，再根据旋转2次（将正方形绕点O顺时针旋转），根据旋转的性质可得，然后根据坐标系即可解答． 【详解】解：如图：将正方形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴每8次一个循环， ∵， ∴第2026次旋转结束时点D的坐标与第二次旋转得到的D的坐标相同，即将正方形绕点O顺时针旋转的D坐标相同， ∵正方形的边在x轴上，且坐标原点O为的中点，点A的坐标为， ∴， 如图：将正方形绕点O顺时针旋转，此时，即， ∴第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选B． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，，， ∴， ∵， ∴，即：． 故答案为：． 【变式3-4】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∴点； 故答案为：． 类型四、平面直角坐标系中新定义型问题 方法总结 1. 理解定义：仔细阅读新定义（如“和谐点”“距离和”），准确理解其数学含义。 2. 代数转化：将新定义用坐标代数式表示，转化为方程、不等式或函数问题求解。 解题技巧 1. 举例验证：用简单点代入新定义试算，确保理解正确后再进行一般化处理。 2. 分类讨论：新定义常涉及绝对值、距离等，需根据坐标符号分类讨论。 例4．（25-26八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，一个点到x轴、y轴的距离的较小值称为这个点的“短距”，如：点的“短距”为1．若一个点到x轴、y轴的距离相等时，称这个点为“完美点”，如：点和点都是“完美点”． (1)点的“短距”为_________； (2)若点的短距为5，且点B在第四象限内，求a的值； (3)若点是“完美点”，求b的值． 【答案】(1)2 (2) (3)1或 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义，是解题的关键． （1）根据“短距”定义进行求解即可； （2）根据点的短距为5，得出，求出或，根据点B在第四象限进行验证即可； （3）根据点是“完美点”，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点的“短距”为2； （2）解：∵点的短距为5， ∴， 解得：或， 当时，，此时点坐标为，在第一象限，不符合题意； 当时，，此时点坐标为，在第四象限，符合题意； 综上，； （3）解：∵点是“完美点”， ∴， 解得：或． 【变式4-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“等差点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“等差点”． (1)已知点，写出点在第一象限的“等差点”的坐标________；（写出一个即可） (2)已知点的“等差点”在坐标轴上，求点的坐标为________； (3)已知点与点互为“等差点”，且、互为相反数，求点的坐标________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)或； (3) 【分析】本题围绕新定义“等差点”展开，理解“等差点”的定义是解题的关键． （1）根据“等差点”的定义和第一象限点的特征进行作答即可； （2）需要考虑点分别在轴与轴的情况，再根据“等差点”的定义进行判断即可； （3）根据“等差点”的定义对坐标进行运算即可； 【详解】（1）解：点在第一象限的“等差点”的坐标为，根据新定义可以得， ∴， 故可以是，， 故答案：（答案不唯一）． （2）解：①当点在轴上时，设， 由题意得，解得，． ②当点在轴上时，设， 由题意得，解得，． 综上所述：的“等差点”点的坐标为或． （3）解：由题意得， ． 互为相反数， ， 联立方程组得： ， 解得，． ． 【变式4-3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点； 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到时向左运动43秒到达点， ∴运动了2023秒．所求点应为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）定义：是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点分别向轴、轴作垂线段，若两条垂线段的长度的和为4，则点叫作“垂距点”，例如：图中的点是“垂距点”．若是第四象限的点，且点是“垂距点”，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查新定义，根据新定义正确列出方程是解题的关键．根据是第四象限内的点，得出点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，根据点是“垂距点”，得出，解方程即可． 【详解】解：∵是第四象限内的点， ∴点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为， ∵点是“垂距点”， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点D，C，P，H在x轴上，，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线段粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的特点和坐标的规律．根据坐标的特点，长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20，计算，看余数判断即可． 【详解】解：∵轴，轴，点D、C、P、H在x轴上，，，，，， ∴，，，，，，，，， ∴长度为2时，对应点为B，长度为4时，对应点为C，长度为6时，对应点为D，长度为8时，对应点为E，长度为11时，对应点为F，长度为14时，对应点为G，长度为16时，对应点为H，长度为18时，对应点为P，长度为20时，对应点为A，循环节为20， ∵， ∴细线另一端在上，且与B相距1个单位长度， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是 故选：A． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，轴对称变换等知识，根据变换的定义解决问题即可． 【详解】解：由题意，得 将按序列“01”作变换，将先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到； 再将作2次变换，可得，； 再将作2次变换，可得，； .....． ∴点经过“0101……01”共2025次变换后得到点，横坐标向右移动次，纵坐标关于x轴对称次，则点的坐标为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的规律问题． 根据题意找出规律，进而根据规律作答即可． 【详解】解：把第一个点作为第一列，，作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则前n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为， 则第88个点在第13列，由上到下是第10个数． 因而第个点的坐标是． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每个点为一个循环依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：∵的坐标为， ∴，，，，， 以此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故答案为：． 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为： 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点为圆心，按上述作法得到曲线该曲线称为正方形的“渐开线”，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的规律变化，结合题意归纳出坐标变化规律是解题的关键． 根据题意可知：，，，，，，，可归纳出，，，（为自然数），然后据此规律求解即可． 【详解】解：观察题图可得（将记作），，，，，，，， ∴，，，（为自然数）． ∵， ∴的坐标为． 故答案为． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)4 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据“长距”的定义解答即可； 对于（2），根据完美点的定义可得，求出答案； 对于（3），先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可. 【详解】（1）解：因为点A到x轴的距离数3，到y轴的距离是4， 所以点的“长距”为4； 故答案为：4； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：点的长距为5，且点C在第三象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是8， ∴D是“完美点”． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右、……的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标： （________，________）， （________，________）， （________，________）； (2)写出点的坐标（是正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2 ，0 ，4 ，0，6，0 (2)点的坐标为 (3)向上移动 【分析】本题主要考查了点的坐标规律、平面直角坐标系、动点问题等知识点，发现坐标规律是解题的关键． （1）直接从直角坐标系读出坐标即可； （2）根据（1）归纳点的坐标规律即可解答； （3）根据2024是4的倍数，分别写出点和的坐标，从而可得蚂蚁从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据题意可直接写出， 故答案为2，0；4，0；6，0； （2）解：由题意可知：， ∴由点的坐标规律可知， ∴点的坐标为。 （3）解：∵， ∴，， ∴蚂蚁从点到点的移动方向是向上移动． 13．（24-25七年级下·宁夏固原·期末）综合与实践 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点的“5阶派生点”的坐标为，求点的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“4阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了“阶派生点”的定义，由题目已知“阶派生点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“阶派生点”的定义，则“3阶派生点”需“；”即可求解； （2）设出点P的坐标，根据“阶派生点”的定义即可求解； （3）根据直角坐标系下点的平移规律先表示出点，再根据在哪个轴分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：；， 点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意可知，解得：， 点的坐标为； （3）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 ∴， 的“4阶派生点”为：，即 当在轴上，，， ； 当在轴上，，， ． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点中，为点A的“等距点”的是点 ； ②若点D的坐标为且A，D两点为“等距点”，则点D的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①；② (2)k的值为1或2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解绝对值方程，理解读懂“等距点”的定义是解题关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可得到答案；②根据点到x、y轴的距离中的最大值等于3，根据“等距点”概念分情况讨论，可得到答案； （2）根据“等距点”概念分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①点到x、y轴的距离中的最大值等于3， 又点到x、y轴的距离中的最大值等于3，点到x、y轴的距离中的最大值等于5， 点A的“等距点”的是点B， 故答案为：B； ②点， 点到x、y轴的距离中的最大值等于3， 点，且， 当时， 或， 当时，， 此时，点D到x、y轴的距离中的最大值等于，符合题意； 当时，， 此时，点D到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 点D的坐标为， 当时， 或， 当时，， 此时，点D与点A重合，不符合题意； 当时，， 此时，点D到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：，两点为“等距点”， ①若时，则或， 解得：或， 当时，，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 当时，，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，符合题意； ②若时，则， 当，则，解得：（舍去）， 当，则，解得：， 则，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，不符合题意； 当，则，解得：， 则，， 此时，点E到x、y轴的距离中的最大值等于，点F到x、y轴的距离中的最大值等于，符合题意； 综上可知，k的值为1或2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $