专题05 平面直角坐标系性质的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题05 平面直角坐标系性质的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 类型二、已知点所在的象限求参数 类型三、求点到坐标轴的距离 类型四、根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 类型六、求点在平面直角坐标系中的平移后坐标 类型七、平面直角坐标系中的平移作图 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 压轴专练 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 方法总结 1. 坐标定号：根据参数范围确定点坐标(x, y) 中x与y的正负号。 2. 对照象限：第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)。 解题技巧 1. 参数范围优先：先求出参数的取值范围，再判断坐标的符号。 2. 边界检验：注意坐标轴上点(x=0或y=0)不属于任何象限，需单独说明。 例1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中点的特征，非负数的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由非负数的性质判断点的横纵坐标的符号，从而确定象限． 【详解】解∵， ∴， ∵，， ∴点在第二象限． 故选：B． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系，正确掌握各个象限内坐标的符号特点是解题的关键．通过分析点的横纵坐标符号，即可求解． 【详解】解：， ， 点P横坐标为负，纵坐标为负， 点P在第三象限． 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据点M在第二象限，得出m和n的符号，再判断点N的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限， 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·河北张家口·期末）点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查判断点所在象限，掌握平面直角坐标系中各象限点的特点是关键． 通过分析点的横纵坐标符号与的关系，判断点可能出现的象限． 【详解】解：点， 当，时，即时，点在第一象限； 当，时，即时，点在第四象限； 当时，，则点在第二象限； ∴不可能在第三象限， 故选：C． 类型二、已知点所在的象限求参数 方法总结 1. 符号条件：根据象限确定坐标的符号范围（第一象限x>0,y>0；第二象限x<0,y>0；第三象限x<0,y<0；第四象限x>0,y<0）。 2. 列不等式组：由坐标的符号要求，列出关于参数的不等式组并求解。 解题技巧 1. 等号排除：注意象限内坐标均为非零实数，不等式不能包含等号(>0 或<0）。 2. 数轴综合：将多个不等式解集在数轴上表示，取公共部分即为参数范围。 例2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）点在轴上，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 根据y轴上的点横坐标为0，可得，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得 ． 故答案为：3 【变式2-1】（2026八年级下·河北·专题练习）若点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点纵坐标为列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·山东淄博·期末）平面直角坐标系中，点在第四象限且到轴的距离为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离． 根据点在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，且到轴的距离为纵坐标的绝对值，结合给定条件列方程求解，进而可求点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴且， 即， 又∵点到轴的距离为1， ∴， 解得：（舍去）或， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 类型三、求点到坐标轴的距离 方法总结 1. 点到 x 轴距离：|y|（纵坐标的绝对值）。 2. 点到 y 轴距离：|x|（横坐标的绝对值）。 解题技巧 1. 取绝对值：无论点在何位置，距离总是非负数，直接取坐标的绝对值。 2. 避免符号错：计算时先写出坐标，再分别加绝对值符号，不要代入符号计算。 例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值． 【详解】解：点的纵坐标为， ， 点到轴的距离为． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：，． 【变式3-2】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，角平分线的性质．点在第一、三象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等，据此列出方程求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， 点到坐标轴的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：． 类型四、根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 方法总结 1. 定原点：通常选择已知点中的一个作为原点，或根据方便原则确定原点位置。 2. 定轴定向：过原点作两条互相垂直的数轴，确定正方向（通常右为x轴正、上为y轴正）及单位长度，并标出其他点的坐标。 解题技巧 1. 利用对称性：若已知点有对称关系，可将对称轴设为坐标轴，简化计算。 2. 单位统一：确保所有点的坐标单位长度一致，避免比例失调导致坐标错误。 例4．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知长方形的长与宽分别为6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标： (1)如果以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，； (2)如果以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为； (3)你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标． 【答案】(1)；； (2)；； (3)能，方案见解析， 【分析】本题考查了图形顶点坐标．熟练掌握矩形性质，根据矩形特点建立适当坐标系，写出矩形顶点坐标，是解题的关键． （1）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点A、B、D的坐标． （2）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点B、C、D的坐标． （3）合理建立直角坐标系，表示出点A、B、C、D的坐标． 【详解】（1）解：以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，. 故答案为：；；． （2）解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 故答案为：；；． （3）解：以点D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是某公园的平面示意图，以中心广场所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系． (1)写出其他五个景点的坐标； (2)请你另外建立适当的平面直角坐标系，并写出湖心亭、游乐园的坐标． 【答案】(1)湖心亭，望春亭，音乐台，牡丹园，游乐园 (2)见解析，湖心亭，游乐园 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标的定义，以原点为基准，通过点在水平和垂直方向上的位置来确定其坐标． （）确定各点坐标：对于每个景点，通过观察其在轴和轴上的投影位置(即距离原点的水平和垂直单位长度，以及方向正负)，确定有序数对(横坐标，纵坐标)； （）重新设定原点 和单位长度(或坐标轴方向)，再按上 述方法确定湖心亭和游乐园的新坐标， 体现坐标系建立的灵活性； 【详解】（1）解：湖心亭，望春亭，音乐台，牡丹园，游乐园． （2）建立平面直角坐标系如图．湖心亭，游乐园．（答案不唯一） 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中有四个格点（网格线交点）A，B，C，D．以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称． (1)请在网格中建立平面直角坐标系． (2)①原点是格点________； ②格点A，B，C，D中，关于坐标轴对称的两点是________． (3)若格点A到x轴的距离为2，则格点D关于y轴对称的点的坐标为________． 【答案】(1) (2)①B  ②A和C (3) 【分析】本题主要考查的是坐标与图形的性质，依据轴对称图形的性质和等腰直角三角形的性质确定出原点的位置和点的位置是解题的关键． （1）以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案； （2）①由（1）可得原点是格点；②由（1）可得点和点关于轴对称； （3）根据格点到轴的距离为，得到格点的坐标，即可求出格点关于轴对称的点的坐标． 【详解】（1）解：当以点为原点时，设每个小正方形的边长均为时，则，，那么点和点关于轴对称，如图所示： （2）解：①由（1）可得原点是格点； ②由（1）可得点和点关于轴对称，所以关于坐标轴对称的两点是点和点； 故答案为：① ②和． （3）解：若格点到轴的距离为，那么每个小正方形的边长均为， 则格点的坐标为：，格点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 方法总结 1. 象限特征：根据坐标符号确定点所在象限（第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-))。 2. 特殊位置：坐标轴上点特征：x轴点(a,0)，y轴点(0,b)；原点(0,0)。 解题技巧 1. 符号优先：先判断参数范围确定坐标符号，再定位象限。 2. 等号排除：象限内坐标不含0，轴上的点不含等号（x=0或y=0）。 例5．（25-26七年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)若在轴上，求的值； (2)若点到轴、轴的距离相等，求的值； (3)若轴，点在点的上方，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了坐标与距离，熟练掌握点坐标的特点是解题的关键； （1）（2）根据题干所给的点M的位置特征，得出方程，求得m的值； （3）根据平行得出点M与点N横坐标相同，再结合及点M在点N的上方即可求得n的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． （2）解：点到轴、轴的距离相等， ， 即或， 解得或， （3）解：轴，且，点在点的上方， ，， 解得， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是运用平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题． （1）根据“轴上的点横坐标为0”列式计算即可求解； （2）根据“轴时，纵坐标相等” 列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴 上， ∴， 解得， （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． ∴的长为 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可； （2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵，两点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴和轴的距离之和为6， ∴， 解得：． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知点． (1)若点在轴上，请求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，请求出点的坐标； (3)当时，若轴，且，写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距离相等的点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标为0求解即可； （2）根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组求出的取值范围，再根据点到轴、轴的距离相等建立方程求解即可； （3）先求出点坐标，根据轴得到横坐标相等，再由即求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴、轴的距离相等 ∴ ∴ ∴，， ∴； （3）解：当时，， ∴ ∵，轴， ∴或， ∴或 类型六、求点在平面直角坐标系中的平移后坐标 方法总结 1. 平移规则：点左右平移改变x坐标（左减右加），上下平移改变y坐标（上加下减）。 2. 坐标计算：新坐标 (x', y') = (xa, yb)，其中a为水平平移量，b为垂直平移量。 解题技巧 1. 分清方向：明确平移方向与距离，左、下为减，右、上为加。 2. 分步进行：连续平移时，按顺序一步步计算坐标，避免混淆。 例6．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据平移变换的规则，向右平移使横坐标增加，向下平移使纵坐标减少作答即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为即． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将向下平移（）个单位长度得到．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移的规律是解题的关键； 根据题干所给的平移步骤结合平移的计算方法进行计算． 【详解】解：由题可知向下平移n个单位长度 则点横坐标不变， 纵坐标向下移动n个单位长度： ∴点的坐标为 故答案为： ． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知点，．将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中的平移和平行四边形面积公式，熟练掌握找出对应点坐标的方法是解题的关键． 先求的长度，再根据平行四边形面积公式求点的坐标，最后根据平移的性质求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点，， ，． 设点的纵坐标为． ∵四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∵点到点是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点到点也是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即； 故答案为：． 类型七、平面直角坐标系中的平移作图 方法总结 1. 顶点变换：将图形各顶点按平移规则（左减右加x，上加下减y）求出新坐标。 2. 连接成图：在新坐标系中描出各顶点新位置，按原图形顺序连接，即得平移后图形。 解题技巧 1. 选关键点：优先变换图形的顶点，再连接成图，避免逐点变换的繁琐。 2. 保持形状：平移不改变图形形状、大小和方向，连接时保持原顶点顺序。 例7．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请写出三个点的坐标； (2)将进行左右平移，使点落在轴上．请画出平移后的，并写出平移的过程． 【答案】(1) (2)作图见解析，平移的过程：将向左平移3个单位得到 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及平移，熟练掌握平面直角坐标系及平移是解题的关键； （1）根据平面直角坐标系直接求解即可； （2）根据平移的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由图可得，三个点的坐标为； （2）解：所作如图所示： 平移的过程：将向左平移3个单位得到． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东东营·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形的顶点、坐标分别是． (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将平移至，使得A，B，C的对应点依次是D，E，F，若，请在网格中画出； (3)若是内一点．则点在内的对应点坐标的坐标是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键： （1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系即可； （2）根据对应点的坐标，确定平移规则，画图即可； （3）根据平移规则确定对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下； （2）解：∵点的对应点为， ∴平移规则为先向右平移5个单位，再向下平移2个单位； 画图如下： （3）解：由（2）可知：的坐标为． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，经过平移得到． (1)分别写出点的坐标： ， ； (2)请说明是由经过怎样的平移得到的； (3)若点是内部的一点，平移后的对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题平面直角坐标系中点的坐标读取、图形平移的坐标变化规律，同时涉及利用平移规律列方程求解未知数的代数运算能力，重点检验对平移变换的坐标逻辑理解与应用． （1）直接观察坐标系中、两点的位置，结合网格刻度确定横坐标与纵坐标，从而写出坐标； （2）选取一组对应点(如与)对比其坐标变化：点的横坐标从1变为说明向左平移了5个单位；纵坐标从0变为4，说明向上平移了4个单位．根据“图形的平移与对应点的平移一致”，即可确定整个三角形的平移方式； （3）根据第（2）小题得出的平移方式，写出点平移后的坐标表达式：横坐标为，纵坐标为．再结合已知平移后点的坐标，分别对横、纵坐标列方程：和，最后解方程求出、的值． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可知，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：∵点的坐标为且平移后的对应点的坐标为，，， ∴由向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到； （3）解：因为点是内部的一点，平移后的对应点的坐标为， 所以， 解得，， 故的值为，的值为． 【变式7-3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 【答案】(1)，， (2)1 (3)见解析 (4) (5)7 【分析】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值”求解即可； （3）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； （4）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答； （5）利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图知，，， 故答案为：，， （2）解： 到轴的距离为 故答案为： （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据题意，点P的坐标为； 故答案为：； （5）解：的面积， ， ， ． 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 方法总结 1. 规则图形：直接套用面积公式（如三角形底×高÷2、矩形长×宽）。 2. 不规则图形：采用割补法（分割成规则图形求和）或围补法（补成规则图形求差）。 解题技巧 1. 坐标定底高：在坐标系中，优先选平行于坐标轴的边为底，高即纵（横）坐标差绝对值。 2. 铅垂高法：三角形面积也可用“水平宽×铅垂高÷2”（过顶点作x轴垂线分割）。 例8．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)①；②，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； （2）解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 【变式8-1】（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案； （2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可； （3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可． 【详解】（1）， ，， ， ， 轴，轴， ，， ； （2）设点的运动时间为，则，如图1所示： ，， ， ， 解得：， 点的运动时间为； （3）存在；理由如下： 由（2）得：， ①当点在点的上方时，如图2所示： ， ， ， ， ； ②当点在点的下方时，如图3所示： ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为：或． 【变式8-2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第一象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，则直线轴 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，涵盖象限内点的坐标符号规律、点到坐标轴的距离与坐标的对应关系、坐标轴上点的坐标特征、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征． 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴该点在第二象限，故A错误； ∵点在第一象限，到轴的距离为4，到轴的距离为3， ∴点的坐标为，故B错误； ∵点位于坐标轴上， ∴或， ∴，故C正确； ∵点与的纵坐标相同、横坐标不同， ∴直线轴，故D错误； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系，正确建立坐标系是解题关键．根据点、两点坐标，建立坐标系，即可得出点坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点的坐标是． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，将向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平移求点的坐标，根据点的平移规则，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，按顺序计算即可． 【详解】解：点向右平移3个单位，则坐标为，再向上平移2个单位，则坐标为， 故， 故选A． 4．（25-26八年级上·陕西西安·周测）已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，掌握平面直角坐标系象限角平分线上的点的坐标规律是解题的关键． 根据第二、四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ，解得． 故选：A． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． 二、填空题 6．（2026八年级下·河北·专题练习）若点满足，，且，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值，点的坐标．根据绝对值的定义求出 x 和 y 的可能值，根据可得x，y符号相反，由此可解． 【详解】解：，， ，， ， x，y符号相反， 当时，； 当时，， 点 P 的坐标为或， 故答案为：或． 7．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，，则三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了坐标与图形，将各点描在平面直角坐标系中，得出，，利用三角形面积公式计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，， ∴如图所示：，， ， ∴三角形的面积为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）点在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点所在的象限，解一元一次不等式组，求平方根，根据题意列出不等式组是解题的关键．根据点所在的象限的特征列出不等式组，解一元一次不等式组得到，根据点P到x轴、y轴的距离相等得到方程，解方程得到，根据乘方和平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ 解得， 又点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：，符合题意， 把代入， 得． ∴的平方根为， 故答案为： 9．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，若点，点，点C都在轴上，且，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，两点间的距离公式．设，分类讨论，根据距离公式表示，求解即可． 【详解】解：∵点位于轴上，设， 则， 当点C在点左侧时，，解得：，此时； 当点C在点和点之间时，（舍去）； 当点C在点右侧时，，解得：，此时； 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 【详解】解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图所示为笑笑绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为． (1)请你在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮”的坐标． (2)笑笑从景点“飞禽”先向左走2个单位，再向上走3个单位，便到了景点“大象”的位置，请写出景点“大象”的坐标． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查运用直角坐标系确定位置的问题，平移的性质，解题的关键是根据“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为建立出合适的平面直角坐标系． （1）根据“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为即可建立出合适的平面直角坐标系； （2）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， 景点“非洲狮”的坐标为； （2）解：根据题意得：景点“飞禽”的坐标为 ∵从景点“飞禽”先向左走2个单位，再向上走3个单位，便到了景点“大象”的位置，∴景点“大象”的坐标为，即． 12．（25-26八年级上·江苏·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上或与坐标轴平行的点的坐标特征； （1）根据点在x轴上，纵坐标为0即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程即可求解； （3）与轴平行的直线上的点横坐标相同，由此得，解出m即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ，， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1．三角形ABC内任意一点P的坐标为，点P经过三角形ABC平移后得到对应点Q的坐标是，其中点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)请直接写出点A，B，C的坐标． (2)请画出平移后的三角形． (3)连接，，求三角形的面积． 【答案】(1)，，． (2)见解析 (3) 【分析】本题考查点的坐标特征、平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得到三点坐标； （2）由题意得，三角形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到三角形，结合平移的性质作图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：如图所示，三角形即为所求． （3）解：由图得， ． 14．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标； (2)若点，点，且轴，求M的坐标； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的特征，掌握平面直角坐标系中点的特征和分类讨论是解题的关键． （1）根据点到两坐标轴的距离相等，列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）根据轴，所以点的横坐标和点的横坐标相同，列出方程求出的值，即可解答； （3）根据点在坐标轴上，分两种情况讨论，列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据轴，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，得，根据得到，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， 则， ∴M的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵点在坐标轴上， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵点，点，且轴，， ∴，， 解得或， ∴M的坐标为或； 故答案为：或． 15．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情景】 在平面直角坐标系中，将平移得到，点，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． 【深入理解】 （2）若点是“横和点”，且三角形的面积为，求的值； 【能力提升】 （3）若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【答案】（）点是“横和点”，见解析；（），（）点是“横和点”，见解析． 【分析】本题考查了图形与坐标，新定义问题三角形的面积公式，平移的性质，理解新定义是解题的关键． （）根据新定义“横和点”可得出答案； （）由点是“横和点”，则，即，又点是“横和点”，所以，即，因为三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同，则三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，所以，即，然后代入得，整理得，再求出的值即可； （）由点落在轴上，则，根据平移可得，即，所以，又点的坐标是，则点的坐标为，即，通过，再通过新定义“横和点”即可可得出答案． 【详解】解：（）点是“横和点”，理由如下： ∵， ∴点是“横和点”； （）∵点是“横和点”， ∴，即， 又∵点是“横和点”， ∴，即， ∵将三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形， ∴，即， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （）点是“横和点”，理由如下： ∵点落在轴上， ∴， ∵将三角形平移得到三角形， ∴，即， ∴， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴点是“横和点”． 16．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】（）①；②；（）；（） 【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解； （）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解； （）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点在轴负半轴上， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：； （）由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， 解得； （）连接，设点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即点的横坐标是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05平面直角坐标系性质的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 类型二、已知点所在的象限求参数 类型三、求点到坐标轴的距离 类型四、根据已知，点的坐标建立平面直角坐标系 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 类型六、求点在平面直角坐标系中的平移后坐标 类型七、平面直角坐标系中的平移作图 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 压轴专练 典例详解 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 方法总结 1.坐标定号：根据参数范围确定点坐标：，y)中x与y的正负号。 2.对照象限：第一象限(+，+)；第二象限(，+)；第三象限(，)：第四象限(+，)。 解题技巧 1.参数范围优先：先求出参数的取值范围，再判断坐标的符号。 2.边界检验：注意坐标轴上点(x=0或y0)不属于任何象限，需单独说明。 例1.(25-26八年级上江苏泰州期末)在平面直角坐标系中，点A-1,a2+3在第()象限. A.一 B.二 C.三 D.四 【变式1-1】(25-26七年级上山东泰安期末)在平面直角坐标系x0y中，点P-a2-1,-6所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1-2】(25-26八年级上·江苏宿迁期末)在平面直角坐标系中，若点M(m,n)在第二象限，则点 N(mn,m)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1-3】(25-26八年级上河北张家口期末)点m,-2m+1)不可能在哪个象限() 1/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 类型二、已知点所在的象限求参数 方法总结 1.符号条件：根据象限确定坐标的符号范围（第一象限x>0,y>0;第二象限x<0,y>0;第三象限x <0,y<0;第四象限x>0,y<0)。 2.列不等式组：由坐标的符号要求，列出关于参数的不等式组并求解。 解题技巧 1. 等号排除：注意象限内坐标均为非零实数，不等式不能包含等号（◇0或<0）。 2.数轴综合：将多个不等式解集在数轴上表示，取公共部分即为参数范围。 例2.(25-26八年级上安徽合肥期末)点M(2a-6,a+2)在y轴上，则a= 【变式2-1】(2026八年级下.河北专题练习)若点P(m+1,m-1)在x轴上，则m的值为 【变式2-2】(25-26七年级上山东淄博期末)平面直角坐标系中，点P(m+3,m-1)在第四象限且到x轴的 距离为1，则点P的坐标为」 类型三、求点到坐标轴的距离 方法总结 1. 点到x轴距离：y(纵坐标的绝对值)。 2.点到y轴距离：（横坐标的绝对值）。 解题技巧 1.取绝对值：无论点在何位置，距离总是非负数，直接取坐标的绝对值。 2.避免符号错：计算时先写出坐标，再分别加绝对值符号，不要代入符号计算。 例3.(25-26八年级上·江苏南京·期末)在平面直角坐标系中，点P(5,-12)到x轴的距离为 【变式3-1】(25-26八年级下.全国课后作业)已知点A(3,-6),则点A到x轴的距离为 ,到y轴 的距离为」 【变式3-2】(2026八年级上陕西西安.专题练习)已知点P(2a-3,6-a)在第一、三象限的角平分线上，则 a= 类型四、根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 方法总结 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.定原点：通常选择已知点中的一个作为原点，或根据方便原则确定原点位置。 2. 定轴定向：过原点作两条互相垂直的数轴，确定正方向（通常右为x轴正、上为y轴正）及单位长度 并标出其他点的坐标。 解题技巧 1.利用对称性：若已知点有对称关系，可将对称轴设为坐标轴，简化计算。 2.单位统一：确保所有点的坐标单位长度一致，避免比例失调导致坐标错误。 例4.(25-26八年级上·河南平顶山期中)如图，己知长方形ABCD的长与宽分别为6,4，建立适当的平面 直角坐标系，写出各个顶点的坐标： B D (I)如果以点C为坐标原点，分别以CD,CB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐 标分别为C(0,0),A),B(),D(): (2)如果以点A为坐标原点，分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐 标分别为A0,0),B(),C(,D(): (3)你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标. 【变式4-1】(25-26八年级上·全国·随堂练习)如图是某公园的平面示意图，以中心广场所在的位置为坐标 原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系 北 音合 湖心亭 牡丹园 中心产场 望春李 游乐园 (1)写出其他五个景点的坐标； (2)请你另外建立适当的平面直角坐标系，并写出湖心亭、游乐园的坐标 【变式4-2】(25-26八年级上全国课后作业)如图，在3×3的正方形网格中有四个格点（网格线交点）A, B,C,D.以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个点关于一条坐标轴对称. D (1)请在网格中建立平面直角坐标系 (2)①原点是格点 ； ②格点A,B,C,D中，关于坐标轴对称的两点是 (3)若格点A到x轴的距离为2，则格点D关于y轴对称的点的坐标为 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 方法总结 1.象限特征：根据坐标符号确定点所在象限（第一象限(+，+）；第二象限(，+)；第三象限(，-)；第四 象限(+，))。 2.特殊位置：坐标轴上点特征：x轴点(a,0),y轴点(0，b);原点(0,0)。 解题技巧 1.符号优先：先判断参数范围确定坐标符号，再定位象限。 2.等号排除：象限内坐标不含0，轴上的点不含等号(=0或y0)。 例5.(25-26七年级下·全国周测)在平面直角坐标系中，点M的坐标为m-2,2m-7),点N的坐标为 (n,3. (1)若M在x轴上，求m的值； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值； (3)若MN∥y轴，点M在点N的上方，且MN=2,求n的值. 【变式5-1】(25-26八年级上浙江金华期末)己知点P(a-1,6+2a,解答下列问题： (I)若点P在y轴上，求a的值， (2)若点Q5,10),且P0∥x轴，求线段P2的长. 【变式5-2】(25-26八年级上浙江杭州期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为2m-6,m+2). (1)若将点P向下平移6个单位得到点Q,此时P,Q两点关于x轴对称，求点P的坐标. (2)若点P在第二象限，且点P到x轴和y轴的距离之和为6，求m的值， 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-3】(25-26八年级上河北石家庄·月考)已知点M(3a-2,a+6). (1)若点M在x轴上，请求出点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，请求出点M的坐标； (3)当a=1时，若MN∥y轴，且MN=2,写出点N的坐标。 类型六、求点在平面直角坐标系中的平移后坐标 方法总结 1.平移规则：点左右平移改变x坐标（左减右加），上下平移改变y坐标（上加下减）。 2.坐标计算：新坐标(，y)=c士a,y士b),其中a为水平平移量，b为垂直平移量。 解题技巧 1. 分清方向：明确平移方向与距离，左、下为减，右、上为加。 2.分步进行：连续平移时，按顺序一步步计算坐标，避免混淆。 例6.(25-26八年级上·江苏苏州期末)将点P(2,-1)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， 得到点P,则点P的坐标为 【变式6-1】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，将ABC向下平移n(n>0)个单位长度得到 △A'B'C',若点B的坐标为-2,1)，则点B的对应点B的坐标为 【变式6-2】(25-26八年级下·全国周测)如图，点A,B的坐标分别为(2,0)，(0,1).若将线段AB平移至 AB,则a+b的值为」 B1(a,2) B(0,1) A(3,b) 0 A(2,0) 【变式6-3】(25-26八年级下.全国·课后作业)如图，已知点A-4,0),B(-L,0).将线段AB平移后得到线 段CD,点A的对应点D恰好落在y轴上，且四边形ABCD的面积为9，则点C的坐标为 5/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 类型七、平面直角坐标系中的平移作图 方法总结 1.顶点变换：将图形各顶点按平移规则（左减右加x,上加下减y)求出新坐标。 2.连接成图：在新坐标系中描出各顶点新位置，按原图形顺序连接，即得平移后图形。 解题技巧 1.选关键点：优先变换图形的顶点，再连接成图，避免逐点变换的繁琐。 2。保持形状：平移不改变图形形状、大小和方向，连接时保持原顶点顺序。 例7.(25-26八年级上·浙江舟山·期末)已知ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. B 3 -5-4-3-2-1012345x 2 3 -4 -5 (1)请写出A,B,C三个点的坐标： (2)将ABC进行左右平移，使点A落在y轴上.请画出平移后的△A'B'C',并写出平移的过程. 【变式7-1】(25-26八年级上山东东营·期末)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1.格 点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、B坐标分别是(-4,5)，-2,1) (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将ABC平移至△DEF,使得A,B,C的对应点依次是D,E,F,若D(1,3),请在网格中画出aDEF; 6/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若(a,b)是ABC内一点.则点P在aDEF内的对应点坐标P的坐标是 【变式7-2】(25-26八年级上安徽合肥月考)如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移得到 △A'B'C', (1)分别写出点A,A的坐标：A-,A-: (②)请说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的； (3)若点M(m,n+I是△ABC内部的一点，平移后的对应点M'的坐标为-1，m-2),求m和n的值 【变式7-3】(24-25七年级下·辽宁大连·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，ABC三个顶点都在网格 点上 -5-43219【23456 ()写出点A的坐标为一，点B的坐标为，点C的坐标为一： (2)点C到x轴的距离为- (3)将ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A'B'C',其中点A,B,C分别为 点A,B,C的对应点.请在所给坐标系中画出△A'B'C'; (4若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为P'(x,y),用含x,y的式子表示点P的坐标为一： (⑤)求△A'B'C'的面积. 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 方法总结 1.规则图形：直接套用面积公式（如三角形底×高÷2、矩形长×宽）。 2.不规则图形：采用割补法（分割成规则图形求和）或围补法（补成规则图形求差）。 解题技巧 1.坐标定底高：在坐标系中，优先选平行于坐标轴的边为底，高即纵（横）坐标差绝对值。 2.铅垂高法：三角形面积也可用“水平宽×铅垂高：2”（过顶点作x轴垂线分割）。 例8.(24-25七年级下·江西宜春期末)如图1，在平面直角坐标系中，0为原点，已知A0,a),B(b,n, 且a,b满足关系式：√a-3+(b-2)=0,其中n>0,连接AB,OB. 图1 图2 (I)填空：a=,b=,三角形A0B的面积是 (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接AC,延长AB与x轴相交于点D. ①当三角形AOC的面积与三角形AOB的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形OBD的面积等于三角形AOB面积的一半，三角形ACD的面积等于12，求点B,C,D的坐标. 【变式8-1】(24-25七年级下·重庆·月考)如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x 轴、y轴上，CB∥x轴，AB⊥x轴，点B的坐标为(a,b),且a=√b-6+V12-2b+12 A (I)请直接写出点A、B、C的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的△OPC的面 积是长方形OABC面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间： (3)在(2)的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q,连接P9,使△CPQ的面积与长方形 OABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式8-2】(24-25七年级下湖北宜昌期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知A(8,4),Ca,0),过点 A作AB⊥x轴，垂足为点B.点B,C分别在原点两侧，且B,C两点间的距离等于10个单位长度. VA D E co B H B B (图1) (图2) (备用图) (1)填空：a= ,点B的坐标为 ②在X轴上是否存在一点M,俊三角形40M的面积是三角形4BC的面积的号，若存在，求出符合条件的 点M的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D,线段BD上有一点Em,n),且m,n满足m-n=5,点E到 x轴的距离为1，点F在y轴负半轴上，连接EF交x轴于H点，当三角形EBH面积与三角形FOH的面积 相等时，求F点的坐标. (4)P,Q为两动点，其中点P从A点出发以每秒3个单位长度的速度沿AB→B0运动，到达O点停止运动： 同时点Q从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿着BO向O点运动，到达0点停止运动.设运动时间为t, 当P点在BO(含B,O两个端点)上时，若存在t值，使A,P,Q三点构成的三角形面积为3，请直接写 出所有符合条件的t值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上河南平顶山期末)下列结论正确的是() A.点P(-2024,2025)在第四象限 B.点M在第一象限，它到x轴，y轴的距离分别为4,3，则点M的坐标为4,3) C.平面直角坐标系中，点P(x,)位于坐标轴上，那么y=0 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.己知点P(-4,6),Q(-3,6,则直线PQ∥y轴 2.(25-26九年级上·山西临汾期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,1)，点B的坐标为2,0) ,则点C的坐标是() B A.(3,-2 B.（-3,-2 C.（-1,2) D.(1,-2) 3.(25-26八年级上江苏期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,3、B(2,1)、 C(4,2),将ABC向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△A'B'C',则点B的坐标为() 3-2-1O1234x A.(5,3 B.(5,1 C.（-1,3) D.(-1,- 4.(25-26八年级上陕西西安周测)己知点(8-2m,3m-2)在第二、四象限的角平分线上，则m的值(） A.-6 B.-6或2 C.2 D.6或-2 5.(24-25九年级上山东青岛期末)如图，在直角坐标系中，矩形0ABC的顶点0位于坐标原点，点A、 C坐标分别为(-4,0)和(0,6).若矩形0A'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形0A'B'C'的面积等于矩形 1 018C面积的6，则点B的对应点B的坐标是（） B 6 A -4 A.（-1,1.5 B.1,-1.5 10/13