专题03 平面直角坐标系中规律及新定义型问题（4大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题03 平面直角坐标系中规律及新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 1 题型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 5 题型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 8 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 1．（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点，第2次从点出发按乙方式运动到点，第3次从点出发再按甲方式运动到点，第4次从点出发再按乙方式运动到点，…．依此运动规律，则经过第26次运动后，动点P所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探究，动点P经过第26次运动后，按甲方式运动了13次，按乙方式运动了13次，再根据甲、乙的运动方式分别计算点的横、纵坐标，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，动点P经过第26次运动后，按甲方式运动了13次，按乙方式运动了13次， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标是． 故选D． 2．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照的顺序，每个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加．利用规律求解即可． 【详解】解：根据题意及题图可知，第1次运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点， 第8次运动到点， 易知点的运动每4次位置循环1次，每循环1次向右移动4个单位， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点． ， 点的坐标是． 故选：A. 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为，，，，如图所示．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个单位长度．记，在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，如此继续，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据点运动的方向和距离找出相遇点的坐标的变化规律，设点，在长方形上运动秒时第一次相遇，可列方程，可知两个点每相遇一次，由规律可知点，相遇次是一个循环，第次相遇是第个循环中的第次相遇，从而可得点的坐标． 【详解】解：由，，，，可知，， 长方形的周长为， 设点，在长方形上运动秒时第一次相遇， 则， 解得：， 即点，在长方形上每运动秒相遇一次， 第一次相遇时点运动秒，运动的路程为个单位长度， 点的坐标是， 由运动规律可知，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 第次相遇的位置恰好是点， 点，相遇次是一个循环， ， 第次相遇是第个循环中的第次相遇， 点的坐标是． 故选：A． 4．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键． 根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意得，经过1秒时，两点在边的点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边上的点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点， ……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2025次相遇点与第五次相遇点重合，即， 故选：C． 题型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 5．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，根据题意，可以画出相应的图形，推出前六次小球碰到球桌边时小球的位置，进而得到规律：从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，，据此求出2026除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是， ……, 以此类推可知，从第一次碰撞开始，每六次碰撞为一个循环，小球的位置依次为，，，，，， ∵， ∴小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是． 故选：D． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，按此规律，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律问题，由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加，点到点刚刚好经过四次循环，据此解答即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，从开始，每四个点一次循环，其中点为每次循环的起点， 由坐标变化规律可知，每经过一次循环，起点的横坐标减，纵坐标加， ∵，即点到点刚刚好经过四次循环， 又∵， ∴，即， 故选：． 7．（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】解：由题意可得，， 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为， 横坐标为． 故选：C． 题型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 9．（24-25七年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段上，按照的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是学会探究规律的方法．探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：第1秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第2秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第3秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第4秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第5秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第6秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第7秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第8秒时，，此时在轴的正半轴上，， 即点的坐标每8秒一个循环， ∴第1314秒时； 故选：D． 10．（2024九年级·全国·竞赛）在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转30°得到点，延长到，使得；再将点绕点按逆时针方向旋转30°得到点，然后延长到，使得；…；如此操作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．也考查了规律型问题的解决方法．根据题意，每转一圈需要（个）点， 点与点一样，也在轴正半轴上，据此即可求解． 【详解】解：， 每转一圈需要（个）点， 点与点一样，也在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 11．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“旋转点”．已知点的坐标为，点是点的旋转点，点是点的旋转点，…，以此类推．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律，根据题意得到规律是解决问题的关键． 通过计算前几个点的坐标，发现点列得规律是：每4个点循环一次，再由即可求解． 【详解】解：， 则，，，，……， 的坐标规律是：每4个点循环一次， ， 点的坐标与相同，为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题考查规律型：点的坐标、旋转，解题的关键是每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，根据可知，顶点在旋转次后的横坐标为，纵坐标为． 【详解】 由题意得，旋转第次至图①位置，点的坐标为， 旋转第次至图②位置，点的坐标为， 旋转第次至图③位置，点的坐标为， 旋转第次, 点的坐标为, 即每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加， ， ∴顶点在旋转次后的横坐标为纵坐标为， ∴顶点在旋转次后的坐标为． 故答案为: ． 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 13．（25-26八年级上·山西晋中·期末）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过次笛卡尔变换后得到的点的坐标为(   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索，关键是通过计算前几次变换的坐标，找到变换的周期，再利用周期确定第次变换后的坐标． 【详解】解：已知点的坐标为，根据“笛卡尔变换”规则，依次计算前几次变换后的坐标： ， ， ， ， …… 可见每次变换后回到初始坐标． ∵， ∴第次变换后的坐标与第次变换后的坐标相同． 故选：A． 14．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” (1)点的“长距”为______； (2)若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7， ∴点到轴的距离为， 则点到轴的距离， 又∵点在第三象限， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 15．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)的“长距”为____________；的“长距”为____________． (2)若是“完美点”，求的值； (3)若的长距为5，且在第三象限内，的坐标为，试说明：点是“完美点”． 【答案】(1)4；3 (2)2或3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义可得，求出答案； （3）先根据的“长距”是5，求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点A到x轴的距离数4，到y轴的距离是2， ∴点的“长距”为4； ∵点B到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴的“长距”为3 故答案为：4；3 （2）解：∵是“完美点”， ∴， 解得：或2； （3）解：∵的长距为5，且在第三象限内， ∴， 解得：， ∵的坐标为， ∴点D坐标为， ∴点D到x轴和y轴距离均为8，即点D到x轴和y轴距离相等， 故点D是“完美点”． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴经过一次变换为：， 经过二次变换为：， 经过三次变换为：， 经过四次变换为：， ∴变换周期为4， ∵， ∴． 故选D． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，则第2027次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标规律探索，根据题意归纳出规律为点的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1,0,2,0，进而求解即可． 【详解】解：第一次运动后的坐标为， 第二次运动后的坐标为， 第三次运动后的坐标为， 第四次运动后的坐标为， 第五次运动后的坐标为， ⋯， ∴可以得出规律为点的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1,0,2,0， ∵， ∴第2027次运动到点， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题．根据题意可得每6次一循环，再由，即可求解． 【详解】解：如图， 根据反射角等于入射角画图，得：光线从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到， ∴每6次一循环， ∵， ∴点的坐标与点相同，即． 故选：D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第2026秒时，点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标规律探索，根据旋转的性质分别求出第时，点A的对应点的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴点A在第一象限的角平分线上， ∵叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，…， ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵， ∴点与点重合， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、…的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为，按此规律进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据题意，依次求出点，，，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 由此可见，点的坐标可表示为，点的坐标可表示为 当时， 点的坐标为， 所以点的坐标为 故答案为：． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为 ； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 12 或 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“完美点”定义，求出点A的一对“完美点”的坐标，利用重合条件列方程求解； （2）根据“完美点”的定义可得或，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，则点的一对“完美点”的坐标分别为，， ∵点的一对“完美点”重合， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵点B的一个“完美点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______（用含的代数式表示）； (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)； (2)小正方形675个，大正方形675个． 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2025米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形（个），大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 8．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，，观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2，即可解答； （2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为1，横坐标为．据此可得答案；由可知从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴，，， 观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2， ∴在轴上， ∴， ∴； （2）解：观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现， ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． ， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 【答案】(1)点 (2)， (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解； （2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可； （3）设点，得点，求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的“2系友好点”， ∴的坐标为， 点； （2）解：的“系友好点”的坐标为， ， 解得， ； （3）解：设点，其中， 点，即点， 轴， ， 又， ， 解得． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 12．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平面直角坐标系中规律及新定义型问题 目录， A题型建模·专项突破 题型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 题型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题… .5 题型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 .8 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题… 10 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、平面直角坐标系中动点规律移动问题 1.(25-26七年级上·山东济宁.期末)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运 动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度.在平 面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点，第2次从点出发按乙方式运 动到点B,第3次从点乃出发再按甲方式运动到点B,第4次从点B出发再按乙方式运动到点P,·依 此运动规律，则经过第26次运动后，动点P所在位置P,。的坐标是() 34 1 P 5-4-3-2-1012345六 乃 2 3 A.（-10,-11 B.（-11,-12 C.-12,-12 D.-13,-13 2.(25-26七年级下·全国·期中)如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示的方向，从原点出发， 第1次运动到点P(1,,第2次运动到点P2(2,0),第3次运动到点P(3,-2),第4次运动到点P(4,0), 按这样的运动规律，点P2s的坐标是() (1.1) (5.1) (9.1) (2,0) (6.0 (10,0 4.0) 8.0 72,0)主 (3,-2) (7,-2) (11,-2) A.（2025,1 B.（2025,-2 C.（2023,1 D.2023,-2 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上山东聊城期末)在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A-2,1, B(-2,-1),C(1,-1,D(1,1,如图所示.点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单 位长度；点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度.记P,Q在长方形边上第 一次相遇时的点为M1,第二次相遇时的点为M2,第三次相遇时的点为M3,·,如此继续，则点Mo26的坐 标为() A.(1,0) B.（-2,-1 C.-2,1 D.(1,-1 4.(25-26八年级上江西九江期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-2)、 D(1,-2),动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形ABCD的边做环绕运动；另一 动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形CBAD的边做环绕运动，则第2025次相 遇点的坐标是() D A.（-1,0 B.（-1,-2) C.1,-2) D.(1,0 题型二、平面直角坐标系中图形规律对称问题 5.(25-26八年级上·安徽毫州期末)如图，小球起始时位于(3,0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹 如图所示.如果小球起始时位于(1,0)处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是 (0,1,那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置是() 12 5 678 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3,4) B.(5,4 C.(7,0 D.(8,1) 6.(25-26八年级上·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点 P(0,-4,P2-1,-3,P1,-3,P（2,-2),P-2,-2,P（-3,-1,按此规律，则点P的坐标是() Y 6 5 4 P P 6-5-43-2-19123456x P Ps , P +4Y 5 6 A.（-9,5 B.(9,5 C.（-8,4) D.8,4) 7.(25-26八年级上·重庆巴南期末)如图，在平面直角坐标系中，△A,A,4,△AA4,△AAA,, △A,A4,…都是等边三角形，且点A,4,A,A,A坐标分别是A(3,0),A(2,0),A,(4,0),A,(1,0 ,A,(5,0),依据图形所反映的规律，则A,的坐标是() A八A A.（7,0 B.(6,0) c.（-1,0 D.（-2,0 8.(24-25七年级下广东广州期中)如图，在平面直角坐标系中，动点A从(1,0)出发，向上运动1个单位 长度到达点B(1,,分裂为两个点，分别向左、右运动到点C(0,2),D(2,2),此时称动点A完成第一次跳 跃，再分别从C,D点出发，每个点重复上面的运动，到达点G(-1,4),H(1,4),(3,4),此时称动点A 完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是() 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 3石 2 D BA -4-3-2-10 1 234567x A.(2023,4046)B.（2024,22023） C.2025,4048) D.（2025,22024） 题型三、平面直角坐标系中图形规律旋转问题 9.(24-25七年级下·北京·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为4,0).线段OA以每秒旋 转90°的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度， 在线段OA上，按照0→A→0→A.的路线循环运动，则第1314秒时点P的坐标为() y 3 2 1 A -2-10 1234x -1 -2 A.(0,1 B.(0,2) C.（-1,0 D.-2,0 10.(2024九年级·全国·竞赛)在平面直角坐标系中，将点A(1,0)绕原点0按逆时针方向旋转30°得到点A ,延长0A,到A,使得OA2=20A,;再将点4绕点0按逆时针方向旋转30°得到点A,然后延长OA到A, 使得OA4=20A;…；如此操作下去，则点Ao16的坐标为() A.（22016,0 B.(2108,0 C.（-2,0 D.(0,2） 11.(25-26八年级上四川成都期中)在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们把点P'(y,-x)叫做点P的 “旋转点”.已知点A的坐标为2，)，点A是点A的旋转点，点A是点A的旋转点，，以此类推.则点 A024的坐标为一 12.(25-26九年级上广东珠海期末)如图，矩形0ABC起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为A1,0),C(0,2) ，将矩形OABC绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋 转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次.则顶点A在旋转2023次后的坐标为」 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 13.(25-26八年级上山西晋中期末)法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”.在 平面直角坐标系中，我们定义点P(a,b)的“笛卡尔变换”为：P→P(b+1,-a+1).已知点A的坐标为(2,0 ，则经过2026次笛卡尔变换后得到的点A26的坐标为() A.(0,0 B.(1,1 C.(2,0 D.1,-1) 14.(25-26八年级上江苏南京·月考)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较 大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点” (1)点A-4,6)的“长距”为： (2)若C(-3,2b-1)的长距为7，且点C在第三象限内，点D的坐标为9+2b,-3),请判断点D是否为“角平分 线点”，并说明理由. 15.(25-26八年级上·江西九江·期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较 大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”， (1)A2,4)的“长距”为 ；B(-3,2)的“长距”为 (2)若M(5-2a,-1是“完美点”，求a的值； (3)若C(-4,3b-2)的长距为5，且C在第三象限内，D的坐标为(6-2b,-8),试说明：点D是“完美点”. 16.(25-26八年级上江苏扬州月考)在平面直角坐标系中，P(,b)是第一象限内一点，给出如下定义： 名名和%-名两个值中的最大值叫做点P的领斜系数化 a (1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k的值： (2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,且a+b=3,求点P的坐标. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.（25-26八年级上·安微蚌埠·月考)法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”.在 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 平面直角坐标系中，我们定义点P(a,b)的“笛卡尔变换”为：P→P(b+l,-a+1).已知点A的坐标为(2,0 ,则经过2025次笛卡尔变换后得到的点A25的坐标为() A.(0,1 B.(1,1 C.（2,0 D.1,-1 2.(25-26九年级上河南南阳·期末)如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 (1,1),第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3.2)，…，按这样的运动规律，则第2027次运动到点() (3,2) (7,2) (11,2) (1,1) (5,1) (9,1) (2,0) (4,0)(6,0) (8,0)(10,0)(12,0) A.2027,0 B.（2025,2) C.2027,2 D.2026,0 3.(25-26九年级上河南驻马店·期中)如图，弹性小球从点P(0,)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到 正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P(-2,0),第 2次碰到正方形的边时的点为.，第次碰到正方形的边时的点为Pn,则点P2的坐标是() B A.(0,1 B.（-2,4) C.（-2,0 D.(0,3) 二、填空题 4.(25-26八年级上·江苏盐城期末)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得 到更好地利用，如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水 平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为A(5,5),在 段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动90°，则第2026秒时，点A的对应点A26的坐标为」 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 5.（25-26八年级上·四川成都期中)如图，四边形A0BC是正方形，曲线CPPPP叫做“正方形的渐开线”， 其中弧CP、弧PP、弧BB、弧E、的圆心依次按点A、O、B、C循环，点A的坐标为1，O),按此规 律进行下去，则点P25的坐标为一 P P2 6.(25-26八年级上·安徽宿州·期中)对于平面直角坐标系中的任意一点P(x,y),给出如下定义：记=-x ,b=x-y,那么我们把点M(a,b与点N(b,称为点P的一对“完美点”.例如，点P(-l,2)的一对“完美点” 是点1，-3与点(-3,1). (1)若点A(6,y)的一对“完美点”重合，则y的值为 (2)若点B的一个“完美点”的坐标为-2,9)，则点B的坐标为 三、解答题 7.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中)如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成， 将护栏的图案放在平面直角坐标系中，己知小正方形的边长为1米，则点A的坐标为2,2)，点4的坐标为 (5,2). (1)点A的坐标为，点A,的坐标为 (用含n的代数式表示)： (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上·江西景德镇·期末)在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)和点Q(m,n,若满足： n=2b-1则称点P的美好点”为点0.例如，点(2，的美好点是(4，. (m=2a (1)①点P(-2,3的“美好点”坐标是 ②若点P的“美好点”为(7，-3)，则点P的坐标是多少？ (2)若点P(a,a+3)的“美好点”位于x轴上，求a的值， 9.(25-26八年级上，安微合肥期中)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、 向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示. A A3 Aa A7 As Au (I)写出点A,A,A2,An的坐标(n是正整数)： (2)写出Ao2s的坐标，并指出蚂蚁由点A24到点A025的移动方向. 10.(24-25八年级上辽宁朝阳·期末)对于平面直角坐标系x0y中的点P(a,b),若点p的坐标为 a+kb,b+a (其中k为常数，k≠0)，则称点P为点P的“k系友好点”；例如：P(3,2)的3系友好点”为 P343x22》 即P':9,3 请完成下列各题： (1)求点P(-2,1)的“2系友好点”P的坐标为_； (2)若点P(6,3)的“k系友好点”P的坐标为(-3，n),求k和n的值； (3)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系友好点”为点P,若在△OPP'中，PP'=2OP,求k的值 11.(2425七年级下·安徽合肥期中)如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点A(0,1)出发，按照一 定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点A(2,0),第2次移动到点A,(3,2),第3次移动到 点A(5,1，第4次移动到点A46,3), 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 0 A (1)第5次移动到点4的坐标为 第12次移动到点A2的坐标为 (2)第2n次移动到点A,的坐标为 第2n+1次移动到点A2m+1的坐标为 ；(用含自然数 的代数式表示) (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母A及下标表示出该点，并写出其坐标。 12.(24-25八年级上·安微六安期中)如图，在平面直角坐标系中，第一次将△0AB变换成△0A,B,第二 次将△OA,B,变换成△OA,B2,第三次将△OA,B2变换成△OAB,;已知变换过程中各点坐标分别为A1,3), A2,3),A24,3,A8,3,B(2,0),B4,0),B28,0),B16,0. A B B2 (I)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA,B,变换成△OA,B4,则A的坐标为 B的坐标为，△OAB,的面积为 (②)按以上规律将△0AB进行n次变换得到△OA B,则A,的坐标为 B的坐标为 (3)△OA B的面积为 9/9