1.3乘法公式同步培优讲义（3知识点+8大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材北师大版）

本讲义聚焦平方差公式、完全平方公式及混合运算核心知识点，以前置的多项式乘法法则为基础推导公式，通过规律探究归纳公式结构，再整合应用形成从基础到综合的学习支架。 资料突出数形结合特色，如用图形面积验证平方差公式培养几何直观，通过公式推导与变形训练发展推理意识和运算能力。典例与跟随训练结合，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

1.3乘法公式同步讲义 （3知识点+8大题型+过关检测） 【题型1 运用平方差公式进行运算】 5 【题型2 平方差公式与几何图形】 5 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 6 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 7 【题型5 整式乘法混合运算】 8 【题型6 多项式乘多项式—化简求值】 8 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 9 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 9 · 理解平方差公式、完全平方公式（和的平方、差的平方）的推导逻辑，能结合多项式与多项式相乘法则，说明公式的由来。 · 牢记两个乘法公式的结构特征，能准确写出公式的字母形式和文字表述，区分两个公式的适用场景。 · 能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行简单的计算，杜绝公式混淆、符号错误、漏项等基础问题。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接上节知识，推导公式的基础） 1. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例：。 2. 易错提醒：多项式相乘时，注意符号处理（同号得正，异号得负），避免漏乘项，最后需合并同类项。 3. 引入：在多项式相乘中，有两类特殊的式子相乘，结果具有固定的结构，我们将其总结为“乘法公式”，可快速简化计算。 知识点1：平方差公式（重点，特征鲜明，应用广泛） 1. 公式推导（基于多项式与多项式相乘法则） 探究：计算下列各式，观察结果的规律 （1）解：原式=； （2） 解：原式=； （3） 解：原式=。 归纳规律：两个数的和与这两个数的差相乘，积等于这两个数的平方差。 平方差公式（字母形式）：。 补充说明：公式中a、b可以是单独的数字、字母，也可以是一个整式（如中，a=2x，b=3）。 2. 公式的结构特征（关键，避免用错公式） · 左边：两个二项式相乘，这两个二项式的结构为“一项相同，一项互为相反数”（相同项为a，互为相反数的项为b和-b）。 · 右边：结果是一个二项式，等于“相同项的平方”减去“互为相反数项的平方”（注意：是a² - b²，不是b² - a²）。 · 核心识别点：左边两个二项式，只有符号不同的一项，其余项完全相同，即可用平方差公式。 3. 关键注意事项 · 符号处理：互为相反数的项，平方后符号均为正，右边一定是“相同项平方 - 相反项平方”，不能颠倒顺序（如，相同项是b）。 · 公式适用前提：左边必须是“和×差”的形式，若不是，不能强行套用（如，不是和差形式，不能用平方差公式）。 · 系数与指数：当a、b是含系数或指数的整式时，平方时要整体平方（如，不能漏平方系数）。 · 易错点：① 颠倒右边的顺序（如）；② 漏平方系数（如）；③ 非和差形式套用公式。 知识点2：完全平方公式（重点+难点，结构复杂，易错点多） 1. 公式推导（基于多项式与多项式相乘法则） 探究：计算下列各式，观察结果的规律 （1） 解：原式=； （2） 解：原式=。 归纳规律：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。 完全平方公式（字母形式）： 和的平方：； 差的平方：。 补充说明：与平方差公式类似，a、b可以是单独的数字、字母，也可以是一个整式；两个公式合称为“完全平方公式”。 2. 公式的结构特征（关键，区分平方差公式） · 左边：两个相同的二项式相乘（即一个二项式的平方），结构为（和的平方或差的平方）。 · 右边：结果是一个三项式，由三部分组成：① 第一个数的平方（a²）；② 两个数积的2倍（±2ab，和的平方取“+”，差的平方取“-”）；③ 第二个数的平方（b²）。 · 核心识别点：左边是“某个式子的平方”，右边一定是三项式；而平方差公式右边是二项式，可据此快速区分两个公式。 3. 关键注意事项（突破易错点） · 符号处理：差的平方公式中，中间项是“-2ab”，最后一项是“+b²”（负数的平方为正，切勿写成）。 · 中间项易错：切勿遗漏中间的“2ab”，避免出现、的错误（这是最常见的易错点）。 · 整体平方：当a、b是含系数或指数的整式时，要整体平方，包括系数和符号（如）。 · 公式变形：牢记常见变形，如、，方便后续化简求值。 · 区分公式：平方差公式右边是二项式（差），完全平方公式右边是三项式（和+积的2倍），根据左边结构和右边项数快速区分。 知识点3：乘法公式的混合运算与综合应用（重点，整合核心知识点） 1. 运算顺序（衔接整式乘法混合运算） 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），再算乘法公式运算，接着算整式的加减，最后合并同类项；有括号的先算括号里面的。 核心原则：能套用公式的优先套用公式（简化计算），不能套用公式的，按整式乘法法则计算。 2. 典型例题 例1（混合运算）：计算 解：原式=（分别套用平方差、完全平方公式） （合并同类项） 例2（综合应用，公式变形）：已知，，求的值。 解：由完全平方公式变形可知， 代入，，得：原式=。 例3（实际应用，面积计算）：一个正方形的边长为，另一个正方形的边长为，求两个正方形的面积差。 解：第一个正方形面积：； 第二个正方形面积：； 面积差：（或直接用平方差公式：）。 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 公式混淆：分不清平方差公式和完全平方公式，如用平方差公式计算，或用完全平方公式计算。 · 2. 完全平方公式易错：① 遗漏中间项2ab（如）；② 最后一项符号错误（如）；③ 系数漏平方。 · 3. 平方差公式易错：① 颠倒右边顺序（如）；② 非和差形式强行套用公式；③ 整体平方时漏算系数。 · 4. 混合运算易错：运算顺序混乱（如先算加减再算公式运算）；去括号时符号出错；合并同类项不彻底。 · 5. 公式变形易错：记错完全平方公式的变形形式（如），导致化简求值出错。 总结与方法技巧 1. 核心公式口诀（便于记忆，区分易错点） 平方差公式：和乘差，平方差，相同项平方减相反项平方； 完全平方公式：首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央，和加差减别忘光； 关键区分：平方差得二项，完全平方得三项，系数平方别漏算，符号正负看前方。 2. 解题思路 （1）套公式前先识别：看左边结构，判断用平方差公式（和×差）还是完全平方公式（式子的平方）； （2）套公式时要细心：注意符号、系数平方、中间项2ab，避免基础错误； （3）混合运算讲顺序：先乘方，再公式，后加减，括号优先算； （4）化简求值分两步：先化简（套用公式、合并同类项），再代入（代入数值计算，注意符号）。 3. 核心素养提升：通过推导乘法公式，体会“特殊到一般”的数学思想；通过公式的应用和变形，培养代数运算能力、逻辑推理能力；通过规范解题步骤，养成严谨细致的学习习惯，为后续整式的化简、因式分解学习奠定基础。 04 题型•汇总 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【典例1】．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 跟随训练1-1．计算： (1)； (2)． 跟随训练1-2．化简：． 【题型2 平方差公式与几何图形】 【典例2】．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 跟随训练2-1．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是 ． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是 ，对应的高是 （注意观察图①），所以平行四边形的面积是 ． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式： ，这就是平方差公式． 跟随训练2-2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【典例3】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．已知．求： (1)的值； (2)的值． 跟随训练3-2．先化简，再求值：，其中． 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例4】．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 跟随训练4-1．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 跟随训练4-2．某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 【题型5 整式乘法混合运算】 【典例5】．已知，则的值是 ． 跟随训练5-1．若实数满足，则 ． 跟随训练5-2．化简求值，其中． 【题型6 多项式乘多项式—化简求值】 【典例6】．先化简，再求值：，其中，． 跟随训练6-1．先化简，再求值：，其中，． 跟随训练6-2．已知，求代数式的值． 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 【典例7】．已知满足，则的值为 ． 跟随训练7-1．把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 跟随训练7-2．若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若满足，求的值． 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 【典例8】．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 跟随训练8-1．若代数式可以配方为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 跟随训练8-2．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 05 过关•检测 1．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 2．计算：（   ） A．1 B． C． D． 3．如图所示，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（） A． B． C． D． 4．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 6．如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 7．利用完全平方公式计算： ． 8．已知，则代数式的值为 ． 9．如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则 ．（填“”、“”或“”） 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为 ． 11．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 12．数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律 ． 13．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 14．先化简，再求值：，其中，． 15．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 16．【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 17．小颖利用某月的月历探究奥秘，先用如图1的“十字型”框架任意框住月历中的4个数(如图2阴影部分)，然后将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减．例如：___________，___________．他发现结果都是一个定值．他按照同样的方式在不同月份的月历中探究，发现都有同样的规律． (1)这个定值是___________； (2)请利用整式的运算证明这个规律． 18．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3乘法公式同步讲义 （3知识点+8大题型+过关检测） 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1 【题型2 平方差公式与几何图形】 2 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 5 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 7 【题型5 整式乘法混合运算】 10 【题型6 多项式乘多项式—化简求值】 11 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 13 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 15 · 理解平方差公式、完全平方公式（和的平方、差的平方）的推导逻辑，能结合多项式与多项式相乘法则，说明公式的由来。 · 牢记两个乘法公式的结构特征，能准确写出公式的字母形式和文字表述，区分两个公式的适用场景。 · 能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行简单的计算，杜绝公式混淆、符号错误、漏项等基础问题。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接上节知识，推导公式的基础） 1. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例：。 2. 易错提醒：多项式相乘时，注意符号处理（同号得正，异号得负），避免漏乘项，最后需合并同类项。 3. 引入：在多项式相乘中，有两类特殊的式子相乘，结果具有固定的结构，我们将其总结为“乘法公式”，可快速简化计算。 知识点1：平方差公式（重点，特征鲜明，应用广泛） 1. 公式推导（基于多项式与多项式相乘法则） 探究：计算下列各式，观察结果的规律 （1）解：原式=； （2） 解：原式=； （3） 解：原式=。 归纳规律：两个数的和与这两个数的差相乘，积等于这两个数的平方差。 平方差公式（字母形式）：。 补充说明：公式中a、b可以是单独的数字、字母，也可以是一个整式（如中，a=2x，b=3）。 2. 公式的结构特征（关键，避免用错公式） · 左边：两个二项式相乘，这两个二项式的结构为“一项相同，一项互为相反数”（相同项为a，互为相反数的项为b和-b）。 · 右边：结果是一个二项式，等于“相同项的平方”减去“互为相反数项的平方”（注意：是a² - b²，不是b² - a²）。 · 核心识别点：左边两个二项式，只有符号不同的一项，其余项完全相同，即可用平方差公式。 3. 关键注意事项 · 符号处理：互为相反数的项，平方后符号均为正，右边一定是“相同项平方 - 相反项平方”，不能颠倒顺序（如，相同项是b）。 · 公式适用前提：左边必须是“和×差”的形式，若不是，不能强行套用（如，不是和差形式，不能用平方差公式）。 · 系数与指数：当a、b是含系数或指数的整式时，平方时要整体平方（如，不能漏平方系数）。 · 易错点：① 颠倒右边的顺序（如）；② 漏平方系数（如）；③ 非和差形式套用公式。 知识点2：完全平方公式（重点+难点，结构复杂，易错点多） 1. 公式推导（基于多项式与多项式相乘法则） 探究：计算下列各式，观察结果的规律 （1） 解：原式=； （2） 解：原式=。 归纳规律：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的2倍。 完全平方公式（字母形式）： 和的平方：； 差的平方：。 补充说明：与平方差公式类似，a、b可以是单独的数字、字母，也可以是一个整式；两个公式合称为“完全平方公式”。 2. 公式的结构特征（关键，区分平方差公式） · 左边：两个相同的二项式相乘（即一个二项式的平方），结构为（和的平方或差的平方）。 · 右边：结果是一个三项式，由三部分组成：① 第一个数的平方（a²）；② 两个数积的2倍（±2ab，和的平方取“+”，差的平方取“-”）；③ 第二个数的平方（b²）。 · 核心识别点：左边是“某个式子的平方”，右边一定是三项式；而平方差公式右边是二项式，可据此快速区分两个公式。 3. 关键注意事项（突破易错点） · 符号处理：差的平方公式中，中间项是“-2ab”，最后一项是“+b²”（负数的平方为正，切勿写成）。 · 中间项易错：切勿遗漏中间的“2ab”，避免出现、的错误（这是最常见的易错点）。 · 整体平方：当a、b是含系数或指数的整式时，要整体平方，包括系数和符号（如）。 · 公式变形：牢记常见变形，如、，方便后续化简求值。 · 区分公式：平方差公式右边是二项式（差），完全平方公式右边是三项式（和+积的2倍），根据左边结构和右边项数快速区分。 知识点3：乘法公式的混合运算与综合应用（重点，整合核心知识点） 1. 运算顺序（衔接整式乘法混合运算） 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），再算乘法公式运算，接着算整式的加减，最后合并同类项；有括号的先算括号里面的。 核心原则：能套用公式的优先套用公式（简化计算），不能套用公式的，按整式乘法法则计算。 2. 典型例题 例1（混合运算）：计算 解：原式=（分别套用平方差、完全平方公式） （合并同类项） 例2（综合应用，公式变形）：已知，，求的值。 解：由完全平方公式变形可知， 代入，，得：原式=。 例3（实际应用，面积计算）：一个正方形的边长为，另一个正方形的边长为，求两个正方形的面积差。 解：第一个正方形面积：； 第二个正方形面积：； 面积差：（或直接用平方差公式：）。 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 公式混淆：分不清平方差公式和完全平方公式，如用平方差公式计算，或用完全平方公式计算。 · 2. 完全平方公式易错：① 遗漏中间项2ab（如）；② 最后一项符号错误（如）；③ 系数漏平方。 · 3. 平方差公式易错：① 颠倒右边顺序（如）；② 非和差形式强行套用公式；③ 整体平方时漏算系数。 · 4. 混合运算易错：运算顺序混乱（如先算加减再算公式运算）；去括号时符号出错；合并同类项不彻底。 · 5. 公式变形易错：记错完全平方公式的变形形式（如），导致化简求值出错。 总结与方法技巧 1. 核心公式口诀（便于记忆，区分易错点） 平方差公式：和乘差，平方差，相同项平方减相反项平方； 完全平方公式：首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央，和加差减别忘光； 关键区分：平方差得二项，完全平方得三项，系数平方别漏算，符号正负看前方。 2. 解题思路 （1）套公式前先识别：看左边结构，判断用平方差公式（和×差）还是完全平方公式（式子的平方）； （2）套公式时要细心：注意符号、系数平方、中间项2ab，避免基础错误； （3）混合运算讲顺序：先乘方，再公式，后加减，括号优先算； （4）化简求值分两步：先化简（套用公式、合并同类项），再代入（代入数值计算，注意符号）。 3. 核心素养提升：通过推导乘法公式，体会“特殊到一般”的数学思想；通过公式的应用和变形，培养代数运算能力、逻辑推理能力；通过规范解题步骤，养成严谨细致的学习习惯，为后续整式的化简、因式分解学习奠定基础。 04 题型•汇总 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【典例1】．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的识别，核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即满足的形式． 【详解】解：根据平方差公式的结构特征， ①，是完全平方公式，不符合平方差公式的结构； ②，符合平方差公式结构； ③，是完全平方公式的变形，不符合平方差公式结构； ④，式子中无相同项和互为相反数的项，不符合平方差公式结构； ⑤，符合平方差公式结构； ⑥，符合平方差公式结构； 综上，能用平方差公式计算的有②、⑤、⑥，共3个． 故选：A． 跟随训练1-1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式为，关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，将相同项作为公式中的，互为相反数的项作为公式中的，再套用公式计算． （1）观察到两个因式中是相同项，和是互为相反数的项，直接套用平方差公式计算即可； （2）先调整因式顺序，明确是相同项，和是互为相反数的项，再套用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 跟随训练1-2．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简，关键是利用运算法则进行计算；先根据积的乘方、平方差公式、单项式乘多项式运算法则展开各项，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【题型2 平方差公式与几何图形】 【典例2】．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 跟随训练2-1．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是 ． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是 ，对应的高是 （注意观察图①），所以平行四边形的面积是 ． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式： ，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 跟随训练2-2．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【典例3】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算法则和完全平方公式，根据相关法则逐一判断选项的计算正误即可． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 跟随训练3-1．已知．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式的变形，关键是灵活应用公式进行求解； （1）将代数式去括号后，整体代入求值即可； （2）将完全平方公式变形后，求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 跟随训练3-2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式的乘法，求代数式的值等知识，利用完全平方公式和多项式乘法法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例4】．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 即， ， ， 所需防滑瓷砖的面积为， 故选：B． 跟随训练4-1．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． （1）下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ①②③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为_____； 【解决问题】 （2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： ①若，求的值． ②若满足，求的值； 【拓展提升】 （3）如图丁，在线段上取一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若阴影部分的面积和为17，的面积为11，求的长度． 【答案】（1）①③②；（2）① 73，②185；（3） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值． （1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积即可解答； （2）①利用即可解答；②设，则，由公式即可解答； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，，即，，求出，进而得到，即可解答． 【详解】（1）解：图甲中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图乙中，由图可知，，也可以表示为， ∴，即， 图丙中，由图可知，，也可以表示为， ∴， ∴甲，乙，丙3个图形按顺序排列为①③②； 故答案为：①③②． （2）解：①∵，， ； ②设，则， 由公式，得， 即； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可得，，，即，， ， ， ，， ，即． 跟随训练4-2．某学校有两块空地，如图1、图2． (1)图1是一块边长为a的正方形空地，该校计划在正方形空地上留出宽为b的长方形空地作为步道，剩余部分作为草坪，请用两种方式表示草坪的面积：①_________；②__________． 由此可以验证的公式为③__________． (2)图2是一块多边形空地，该校在这块空地上规划出了正方形区域与正方形区域，计划在这两块区域种花，剩余部分种草．已知正方形与正方形的边长分别为p，q，面积分别是，，并且A，B，C三点在一条直线上，若，，求种草区域的总面积． 【答案】(1)，， (2)108 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）通过不同图形分割方式得到草坪面积的不同表达式，从而验证完全平方公式； （2）由题意可得：，，得到草区域的面积，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，两种方式表示草坪的面积：，， 由此可以验证的公式为， 故答案为：，，． （2）解：由题意得：，， ∴， ∴种草区域的面积， ∵，， ∴， 即种草区域面积和为108． 【题型5 整式乘法混合运算】 【典例5】．已知，则的值是 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 跟随训练5-1．若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的乘法，由已知等式通过代数变形对降次思想计算． 【详解】解：由， 可得，， 则， 故答案为：． 跟随训练5-2．化简求值，其中． 【答案】化简结果为，求值为 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果； 【详解】解： ． 当时，原式． 【题型6 多项式乘多项式—化简求值】 【典例6】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【分析】本题考查整式的混合运算和化简求值，涉及多项式乘多项式法则、平方差公式及合并同类项法则．关键是先通过整式运算将原式化简为最简形式，再代入已知的、的值计算结果． 【详解】解： ． 再代入，求值，原式． 跟随训练6-1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 跟随训练6-2．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，掌握运算法则是关键． 原式利用完全平方公式及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ， 原式 ． 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 【典例7】．已知满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式并灵活变形运用是解决问题的关键． 由平方得到，再与已知的相减，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， 即①， ∵②， ∴由②①得， 即， ∴， 故答案为：． 跟随训练7-1．把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题．例如：若，，求的值． 解：，，，， ，，得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)求代数式的最小值，并求出此时的，的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，得出，计算再把整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：， ， ， ， ． （3）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为2026， 此时，，解得：，． 当，时，有最小值，最小值为2026． 跟随训练7-2．若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若满足，求的值． 【答案】11 【分析】本题主要考查完全平方公式，多项式乘多项式，结合完全平方公式求得关于的等式是解题的关键． 设，，则，再利用完全平方公式可得，即可求解的值，进而可求解． 【详解】解：设，， 则，， 所以， 所以， 解得， 即． 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 【典例8】．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 跟随训练8-1．若代数式可以配方为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过展开完全平方式，对比对应项系数求出m和n的值，进而计算． 【详解】解：∵， ， 可得，， 解得，， ， 故选：B． 跟随训练8-2．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 05 过关•检测 1．计算：（   ） A． B．1 C．4048 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握该公式是解题的关键．将式子变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴原式 故选：B． 3．如图所示，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的几何推导方法是解题的关键．通过计算大正方形的面积和分割后四个小区域的面积之和，利用面积相等的关系来推导对应的乘法公式，从而选出正确选项． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为 ∵大正方形被分割为四个部分，面积分别为、、、， ∴四个部分的面积之和为 ∵大正方形的面积等于四个部分的面积之和， ∴ 故选：B． 4．我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了利用代数式的变形及完全平方公式的应用，通过代入具体的a的值，应用完全平方公式，不等式等知识验证结论是否正确．①将代入求出的值故①正确；②利用平方的非负性，即；可得，故②正确，③若，等式两边同时除以，再两边同时平方，即可得，故③错误，④根据完全平方公式可知，若为完全平方式，则，或，或，或，得到的值故④错误． 【详解】解：①当时，故①正确； ②， ， 恒成立，故②正确； ③若，则， 可得， ， ，即，但是两个非负数之和不可能是，故③错误； ④∵若为完全平方式， 则，或，或，或， ∴或或或，故④错误； 故正确的有①②，共2个． 故选：B． 5．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误。 通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 6．如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是8，故正确； 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 7．利用完全平方公式计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 8．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式及代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 由已知方程变形得出 ，再利用完全平方公式计算所求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴两边除以得，，即， ∴． 故答案为：． 9．如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】＞ 【分析】此题考查了整式的乘法公式和混合运算的应用，分别求出，，作差比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质与三角形面积计算，解题的关键是利用等积变换，将阴影部分面积之和转化为两个正方形面积和的一半，再结合已知条件求出线段的长度． 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ． ． ∵， ， ． ∴． ， ． 故答案为：10． 11．如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 12．数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律 ． 【答案】 【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式． 【详解】解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为， ∵， ∴一般规律为． 故答案为：． 13．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)400 (3)100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 14．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式；先根据乘法公式化简，再合并同类项，最后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式 15．（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）已知和的值，可利用完全平方公式的变形来求解． （2）已知和的值，可将两式展开后相减，消去和，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 16．【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 17．小颖利用某月的月历探究奥秘，先用如图1的“十字型”框架任意框住月历中的4个数(如图2阴影部分)，然后将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减．例如：___________，___________．他发现结果都是一个定值．他按照同样的方式在不同月份的月历中探究，发现都有同样的规律． (1)这个定值是___________； (2)请利用整式的运算证明这个规律． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】本题考查月历数字规律与整式的乘法运算，关键是利用月历中“同一行左右数相差1，同一列上下数相差7”的排列规律，通过设未知数表示出四个数，再通过整式运算验证结果为定值． （1）通过直接计算题目给出的两个示例算式，得到相同的结果，即可确定定值； （2）设十字型框架中间的数为，根据月历数字规律表示出、、、四个位置的数，再利用平方差公式展开计算两个乘积的差，验证结果为定值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：； （2）解：设月历中十字型框架中间的数为， 则位置的数为，位置的数为，位置的数为，位置的数为； ∴， 因此，无论取符合月历规则的任意整数，结果均为，即该规律成立． 18．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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