1.2整式的乘法同步培优讲义（4知识点+10大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材北师大版）

本讲义聚焦整式乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式及混合运算四大内容，以前置的幂的运算法则和整式分类为基础支架，构建从基础到综合的知识脉络。 资料特色在于法则推导注重逻辑推理，通过乘法分配律与幂的运算转化复杂问题，10大题型涵盖计算、面积应用、规律探究等，培养运算能力与几何直观，易错点汇总及过关检测助力学生查漏补缺，课中辅助教学高效，课后强化巩固知识盲点。

1.2整式的乘法同步讲义 （4知识点+10大题型+过关检测） 【题型1 计算单项式乘单项式】 1 【题型2 计算单项式乘多项式】 2 【题型3 单项式乘多项式的应用】 3 【题型4 计算多项式乘多项式】 5 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 7 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 9 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 11 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 13 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 14 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 16 · 理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的核心法则，能结合乘法分配律、幂的运算法则，阐述法则的推导逻辑。 · 能熟练运用三种整式乘法法则进行单一运算，准确计算基础题型，杜绝符号、指数运算及乘法分配律应用的基础错误。 · 牢记整式乘法的运算顺序，能区分整式乘法与幂的运算的不同，避免法则混淆。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接上节知识） 1. 幂的核心运算法则（整式乘法的基础）： 同底数幂相乘：（m、n为正整数）； 幂的乘方：（m、n为正整数）； 积的乘方：（n为正整数）。 2. 整式的分类：单项式（由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式）、多项式（几个单项式的和）。 知识点1：单项式与单项式相乘（重点，整式乘法的基础） 1. 法则推导（基于幂的运算法则和乘法交换律、结合律） 探究：计算、。 （将系数相乘，同底数幂分别相乘）； 。 归纳法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2. 关键注意事项 · 系数相乘：注意符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值的乘积；若有多个系数，先确定符号，再将所有系数相乘。 · 同底数幂相乘：遵循“底数不变，指数相加”的法则，不同底数的幂不能直接相乘（如，无法再化简）。 · 单独字母处理：只在一个单项式中出现的字母，要连同它的指数一起写在积中，不能遗漏。 · 易错点：系数相乘时符号出错；同底数幂相乘时指数相加出错（如≠）；遗漏单独出现的字母。 知识点2：单项式与多项式相乘（重点，核心是乘法分配律） 1. 法则推导（基于乘法分配律和单项式与单项式相乘法则） 探究：计算、。 类比乘法分配律，将单项式看作m，多项式的每一项看作a、b： ； 。 归纳法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（口诀：单乘多，遍乘每一项，符号跟着走，积后再相加） 2. 关键注意事项 · 乘法分配律的应用：必须用单项式乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项（尤其是常数项）。 · 符号处理：单项式与多项式的每一项相乘时，要注意单项式的符号与多项式各项的符号，遵循“同号得正，异号得负”。 · 后续运算：相乘后得到的各项，若有同类项，要及时合并同类项（北师大版教材要求，化简至最简形式）。 · 易错点：漏乘多项式中的常数项（如≠）；符号出错（如负单项式乘负项，结果符号出错）。 知识点3：多项式与多项式相乘（重点+难点） 1. 法则推导（基于乘法分配律，转化为单项式与多项式相乘） 探究：计算、。 第一步：将其中一个多项式看作一个整体，应用乘法分配律，转化为单项式与多项式相乘； 第二步：再应用单项式与多项式相乘法则，展开计算，最后合并同类项。 ； 。 归纳法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（口诀：多乘多，逐项来相乘，符号要注意，同类项合并） 2. 关键注意事项 · 逐项相乘：必须用第一个多项式的每一项，分别去乘第二个多项式的每一项，避免漏乘（可借助“十字相乘雏形”检查，不遗漏项）。 · 符号处理：每一项相乘时，注意两项的符号，遵循“同号得正，异号得负”，尤其注意负项的符号。 · 项数规律：两个多项式相乘，积的项数最多为两个多项式项数的乘积（若有同类项，合并后项数会减少）。 · 易错点：漏乘项（如≠）；符号出错；同类项合并出错。 · 特殊提醒：多项式与多项式相乘，结果要化为最简形式（合并所有同类项）。 知识点4：整式乘法的混合运算（重点，整合所有法则） 1. 运算顺序 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），再算单项式与单项式相乘，接着算单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，最后合并同类项。 核心原则：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。 2. 典型例题 例1：计算 解：原式=（先算幂的乘方、积的乘方，再用分配律展开） （去括号，注意符号，无同类项，无需合并） 例2：计算 解：原式=（先算两个乘法，展开多项式相乘） （合并同类项，化为最简） 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 单项式相乘易错：系数符号出错；同底数幂相乘指数相加出错；遗漏单独出现的字母。 · 2. 单项式乘多项式易错：漏乘多项式的常数项；符号处理错误；相乘后忘记合并同类项。 · 3. 多项式乘多项式易错：漏乘项（尤其是两个负项相乘）；符号出错；同类项合并不彻底。 · 4. 混合运算易错：运算顺序混乱（先算乘法再算乘方）；去括号时符号出错；幂的运算法则与整式乘法法则混淆。 · 5. 特殊易错：将整式乘法与整式加法混淆（如，不能用同底数幂相乘法则算成）。 总结与方法技巧 1. 核心法则口诀（便于记忆）： 单乘单：系数相乘，同底幂相加，单独字母不遗漏； 单乘多：遍乘每一项，符号跟着走，积后再相加； 多乘多：逐项来相乘，符号要注意，同类项合并； 混合算：先乘方，再乘除，最后加减，括号优先算。 2. 解题思路： （1）先判断运算类型，选择对应法则；（2）先处理符号，再计算系数和指数；（3）每一步运算后，检查是否有漏乘、符号错误；（4）最终结果必须化为最简形式（合并所有同类项）。 3. 核心素养提升：通过整式乘法的推导和运算，培养代数运算能力、逻辑推理能力；通过规范解题步骤，养成严谨细致的学习习惯；体会“转化”思想（将多项式相乘转化为单项式相乘，将复杂运算转化为简单运算）。 【题型1 计算单项式乘单项式】 【典例1】．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，需运用单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加． 【详解】解： 故选：B． 跟随训练1-1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 跟随训练1-2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型2 计算单项式乘多项式】 【典例2】．已知，则代数式 ． 【答案】4 【分析】本题考查代数式的值问题，掌握代数式的求值方法，会利用整体代入法则求值是解题关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 跟随训练2-1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 跟随训练2-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 【典例3】．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法的应用，根据长方体的表面积公式，计算长、宽、高的两两乘积的和，再乘以2并化简即可． 【详解】解：长方体的表面积公式为 ，其中，，， 计算： ， ， ， 则， 表面积， 故答案为：． 跟随训练3-1．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 跟随训练3-2．如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为 ．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 【题型4 计算多项式乘多项式】 【典例4】．要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含项的系数为1，进而得出答案． 【详解】解： ， 的展开式中项系数为1， ， 解得：． 故选：D． 跟随训练4-1．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则及多项式相等的条件，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数，建立方程求解和的值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，， 故选：C． 跟随训练4-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 【典例5】．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果． 【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为： ； 故答案为：． 跟随训练5-1．如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，以及代数式求值等知识． 根据种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积表示出种植蔬菜的部分的面积，再代入求出面积，再根据面积乘以每平方米的费用计算即可． 【详解】解：种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积， 即： ， 当时， ， 所以这块菜地种植蔬菜需要的成本是元． 故选：B． 跟随训练5-2．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【典例6】．下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握整式乘法的运算法则是关键． 根据整式乘法的运算法则计算各选项结果，与题干中的多项式对比即可． 【详解】解：多项式乘多项式法则为， 计算各选项： 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，不符合题意． 故选：B． 跟随训练6-1．若，则（   ） A．1 B．-1 C．-5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，代数式求值，根据多项式乘多项式的运算法则把所给等式的左边展开，进而得到m、n的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 跟随训练6-2．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例7】．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 跟随训练7-1．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 跟随训练7-2．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例8】．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 跟随训练8-1．要使成立，则 ， ． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 【详解】解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 跟随训练8-2．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例9】．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 跟随训练9-1．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 跟随训练9-2．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 跟随训练10-1．【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了整式乘法的计算能力．根据题中“三乘”对应的展开式进行代入求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴m的值是24， 故选：D． 跟随训练10-2．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算． 根据单项式乘法、同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐一计算，即可判断． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 2．下列计算错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：，与选项A结果一致，故计算正确； ，而选项B给出的结果为，两者不相等，故计算错误； ，与选项C结果一致，故计算正确； ，与选项D结果一致，故计算正确； 故选：B． 3．若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法与不含某项的条件，关键是先展开多项式，再令目标项的系数为0，从而求解参数值． 【详解】解：先展开多项式：， 因为展开式中不含项，所以一次项的系数为，即： 解得：. 故选：C． 4．若，则常数n的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法，运用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边同类项系数相等求解常数n的值. 【详解】∵ ； 又∵， ∴， 根据等式两边同类项系数相等，得． 故选：A． 5．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，利用多项式乘以多项式的法则求出长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：， 故需用6张甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别为、的长方形， ∵甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张， ∴乙种纸片缺1张； 故选C． 6．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 【答案】B 【分析】本题主要考查整式乘法的规律探究，依题意得，求得的余数．结合一个星期天，利用所给规律求得天的余数，即可获得答案． 【详解】解：∵，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… ∴展开后系数分别为1，3，… ∴展开后系数分别为1，4，… ∴展开后系数分别为1，10，… ∵， 依题意，， ∵， ∴的余数为2，即的余数为2， ∴今天是星期三，则经过天后是星期五． 故选：B． 7．已知的展开式中不含和项，则 ， ． 【答案】 3 9 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及多项式的相关概念，关键知识点是：多项式中不含某一项，则该项的系数为0．先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据展开式中不含和项，分别令这两项的系数为0，得到关于、的方程，解方程即可求出、的值． 【详解】解：． ∵展开式中不含和项， ∴项的系数，项的系数， 解得，； 故答案为：，． 8．如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为 ．（用含或的式子表示） 【答案】b 【分析】本题考查了平方差公式的几何解释．熟练掌握长方形面积公式，平方差公式，根据题意正确拼接图形，是解题的关键．把长方形沿折叠，得到，根据长方形性质和面积公式，平方差公式可得，由，即得． 【详解】解：如图，把长方形沿折叠，得到， ∵长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是找到阴影部分的面积与大长方形面积的关系；设小正方形边长为，大正方形边长为，利用小正方形和大正方形的面积比，得到，代入阴影部分的面积与大长方形的面积即可. 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ∵小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为， ∴，， 即：， ∵，， ∴． 故答案为：． 10．定义：，例如．若，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查整式的乘法，理解定义运算法则是解答的关键． 根据定义运算规则，将转化为，然后展开多项式，比较系数得到a和c的值，最后计算． 【详解】解：由定义， 得， 与比较，得，， 所以， 故答案为：11． 11．已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0是解题的关键． 运用多项式乘以多项式，再合并同类项，由无关项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：展开 ， 得， ∵展开式中不含x的一次项， ∴， 解得，， 故答案为：8 ． 12．观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为 （提示：） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 【详解】解：根据规律可得 故答案为：． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式与多项式的乘法法则进行计算即可； （2）先算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了单项式乘多项式、合并同类项，关键是运用运算法则进行计算； （1）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先算单项式乘多项式再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 上式； （2）解：原式 ， 当，时， 上式． 15．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是先根据二阶行列式的定义将所求行列式转化为整式的减法运算，再利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开并化简，最后代入的值计算． 【详解】解：根据二阶行列式的定义， ， 当时，原式． 16．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 【答案】(1)（答案不唯一），符合规律 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握新定义运算规则． （1）根据规则列出算式进行计算即可； （2）根据规则列出代数式，然后利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一），符合规律； （2）解：方框中的左上角的数为，则其他3个数为， 方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减， 列式得，， ， ， 结果为7，所以有同样的规律． 17．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)绿化面积是平方米． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解题的关键． （1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时，原式（平方米)． 答：绿化面积是平方米． 18．综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． 【类比应用】 （1）任务一：观察图2，完成填空：①若，，则_________． ②_________（_________）_________． 【综合应用】 （2）任务二：①由图3，可以得到等式：______________． ②若实数a，b，c满足：，；求的值． ③若实数a，b，c满足：，；求的值． 【答案】（1）①16；②，，；（2）①；②14；③16 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积，能够利用面积相等的思想推导公式并熟练运用是解题关键． （1）①利用长方形的面积公式求解即可； ②用两种不同的方法表示图2的面积即可求解； （2）①用两种不同的方法表示图3的面积即可求解； ②将，代入①中的等式求解即可； ③首先由求出，然后得到，然后结合求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②； （2）①； ②∵，，， ∴， ∴； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2整式的乘法同步讲义 （4知识点+10大题型+过关检测） 【题型1 计算单项式乘单项式】 1 【题型2 计算单项式乘多项式】 2 【题型3 单项式乘多项式的应用】 3 【题型4 计算多项式乘多项式】 5 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 7 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 9 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 11 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 13 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 14 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 16 · 理解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的核心法则，能结合乘法分配律、幂的运算法则，阐述法则的推导逻辑。 · 能熟练运用三种整式乘法法则进行单一运算，准确计算基础题型，杜绝符号、指数运算及乘法分配律应用的基础错误。 · 牢记整式乘法的运算顺序，能区分整式乘法与幂的运算的不同，避免法则混淆。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接上节知识） 1. 幂的核心运算法则（整式乘法的基础）： 同底数幂相乘：（m、n为正整数）； 幂的乘方：（m、n为正整数）； 积的乘方：（n为正整数）。 2. 整式的分类：单项式（由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式）、多项式（几个单项式的和）。 知识点1：单项式与单项式相乘（重点，整式乘法的基础） 1. 法则推导（基于幂的运算法则和乘法交换律、结合律） 探究：计算、。 （将系数相乘，同底数幂分别相乘）； 。 归纳法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2. 关键注意事项 · 系数相乘：注意符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值的乘积；若有多个系数，先确定符号，再将所有系数相乘。 · 同底数幂相乘：遵循“底数不变，指数相加”的法则，不同底数的幂不能直接相乘（如，无法再化简）。 · 单独字母处理：只在一个单项式中出现的字母，要连同它的指数一起写在积中，不能遗漏。 · 易错点：系数相乘时符号出错；同底数幂相乘时指数相加出错（如≠）；遗漏单独出现的字母。 知识点2：单项式与多项式相乘（重点，核心是乘法分配律） 1. 法则推导（基于乘法分配律和单项式与单项式相乘法则） 探究：计算、。 类比乘法分配律，将单项式看作m，多项式的每一项看作a、b： ； 。 归纳法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（口诀：单乘多，遍乘每一项，符号跟着走，积后再相加） 2. 关键注意事项 · 乘法分配律的应用：必须用单项式乘多项式的每一项，不能漏乘任何一项（尤其是常数项）。 · 符号处理：单项式与多项式的每一项相乘时，要注意单项式的符号与多项式各项的符号，遵循“同号得正，异号得负”。 · 后续运算：相乘后得到的各项，若有同类项，要及时合并同类项（北师大版教材要求，化简至最简形式）。 · 易错点：漏乘多项式中的常数项（如≠）；符号出错（如负单项式乘负项，结果符号出错）。 知识点3：多项式与多项式相乘（重点+难点） 1. 法则推导（基于乘法分配律，转化为单项式与多项式相乘） 探究：计算、。 第一步：将其中一个多项式看作一个整体，应用乘法分配律，转化为单项式与多项式相乘； 第二步：再应用单项式与多项式相乘法则，展开计算，最后合并同类项。 ； 。 归纳法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（口诀：多乘多，逐项来相乘，符号要注意，同类项合并） 2. 关键注意事项 · 逐项相乘：必须用第一个多项式的每一项，分别去乘第二个多项式的每一项，避免漏乘（可借助“十字相乘雏形”检查，不遗漏项）。 · 符号处理：每一项相乘时，注意两项的符号，遵循“同号得正，异号得负”，尤其注意负项的符号。 · 项数规律：两个多项式相乘，积的项数最多为两个多项式项数的乘积（若有同类项，合并后项数会减少）。 · 易错点：漏乘项（如≠）；符号出错；同类项合并出错。 · 特殊提醒：多项式与多项式相乘，结果要化为最简形式（合并所有同类项）。 知识点4：整式乘法的混合运算（重点，整合所有法则） 1. 运算顺序 先算幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方），再算单项式与单项式相乘，接着算单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，最后合并同类项。 核心原则：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的。 2. 典型例题 例1：计算 解：原式=（先算幂的乘方、积的乘方，再用分配律展开） （去括号，注意符号，无同类项，无需合并） 例2：计算 解：原式=（先算两个乘法，展开多项式相乘） （合并同类项，化为最简） 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 单项式相乘易错：系数符号出错；同底数幂相乘指数相加出错；遗漏单独出现的字母。 · 2. 单项式乘多项式易错：漏乘多项式的常数项；符号处理错误；相乘后忘记合并同类项。 · 3. 多项式乘多项式易错：漏乘项（尤其是两个负项相乘）；符号出错；同类项合并不彻底。 · 4. 混合运算易错：运算顺序混乱（先算乘法再算乘方）；去括号时符号出错；幂的运算法则与整式乘法法则混淆。 · 5. 特殊易错：将整式乘法与整式加法混淆（如，不能用同底数幂相乘法则算成）。 总结与方法技巧 1. 核心法则口诀（便于记忆）： 单乘单：系数相乘，同底幂相加，单独字母不遗漏； 单乘多：遍乘每一项，符号跟着走，积后再相加； 多乘多：逐项来相乘，符号要注意，同类项合并； 混合算：先乘方，再乘除，最后加减，括号优先算。 2. 解题思路： （1）先判断运算类型，选择对应法则；（2）先处理符号，再计算系数和指数；（3）每一步运算后，检查是否有漏乘、符号错误；（4）最终结果必须化为最简形式（合并所有同类项）。 3. 核心素养提升：通过整式乘法的推导和运算，培养代数运算能力、逻辑推理能力；通过规范解题步骤，养成严谨细致的学习习惯；体会“转化”思想（将多项式相乘转化为单项式相乘，将复杂运算转化为简单运算）。 【题型1 计算单项式乘单项式】 【典例1】．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．计算：． 跟随训练1-2．计算： ． 【题型2 计算单项式乘多项式】 【典例2】．已知，则代数式 ． 跟随训练2-1．计算 (1)； (2)． 跟随训练2-2．计算： (1)； (2)． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 【典例3】．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是 ． 跟随训练3-1．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为 ．（用含有m和n的式子表示） 【题型4 计算多项式乘多项式】 【典例4】．要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 跟随训练4-1．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 跟随训练4-2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 【典例5】．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为 ． 跟随训练5-1．如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 跟随训练5-2．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【典例6】．下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 跟随训练6-1．若，则（   ） A．1 B．-1 C．-5 D． 跟随训练6-2．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例7】．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练7-1．如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 跟随训练7-2．小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例8】．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 跟随训练8-1．要使成立，则 ， ． 跟随训练8-2．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例9】．若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 跟随训练9-1．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 跟随训练9-2．定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 跟随训练10-1．【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 跟随训练10-2．“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 05 过关•检测 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是( ) A． B． C． D． 3．若的展开式中不含项，则实数的值为（    ） A．0 B． C． D．2 4．若，则常数n的值为（    ） A． B．2 C． D．6 5．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 6．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1： ，系数分别为1，2，1；… 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过天后是（　　） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期天 7．已知的展开式中不含和项，则 ， ． 8．如图，为利用图形面积说明平方差公式，先构造面积为的长方形，再过上的裁切点作这条边的垂线，若沿着这条垂线将这个长方形裁开，两部分能拼接成面积为的图形，则裁切点到的距离为 ．（用含或的式子表示） 9．如图，大长方形地面是由两个相同的长方形和两个相同的大正方形以及两个相同的小正方形地砖铺成的（既不重叠也无缝隙）．小正方形地砖的面积和大正方形地砖的面积之比为，若阴影部分的面积为，则大长方形的面积可以表示为 ． 10．定义：，例如．若，则的值为 ． 11．已知展开式中不含x的一次项，则m的取值为 ． 12．观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为 （提示：） 13．计算： (1)； (2)． 14．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 15．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 16．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 17．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 18．综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． 【类比应用】 （1）任务一：观察图2，完成填空：①若，，则_________． ②_________（_________）_________． 【综合应用】 （2）任务二：①由图3，可以得到等式：______________． ②若实数a，b，c满足：，；求的值． ③若实数a，b，c满足：，；求的值． 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