1.1幂的乘除 同步培优讲义（6知识点+14大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（北师大版）

本讲义聚焦幂的乘除核心知识，以前置乘方意义为基础，系统梳理同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法法则的推导逻辑，延伸至零次幂、负整数指数幂及科学记数法，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料通过法则推导培养推理意识，14大题型含典例与跟随训练提升运算能力，易错点汇总与过关检测强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，形成“理解—应用—巩固”的闭环学习路径。

1.1幂的乘除同步讲义 （6知识点+14大题型+过关检测） 01 题型•解读 【题型1 同底数幂相乘】 5 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 5 【题型3 幂的乘方运算】 5 【题型4 幂的乘方的逆用】 5 【题型5 积的乘方】 6 【题型6 同底数幂的除法运算】 6 【题型7 零指数幂】 6 【题型8 负整数指数幂】 7 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 7 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 7 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 8 【题型12 积的乘方的逆用】 8 【题型13 同底数幂除法的逆用】 8 【题型14 幂的混合运算】 8 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的核心法则，能清晰阐述法则的推导逻辑（基于乘方的意义）。 · 能熟练运用4个核心法则进行单一运算，准确计算基础题型，杜绝符号、指数运算的基础错误。 · 牢记零次幂、负整数指数幂的规定，能直接运用规定进行简单计算。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接七上知识） 1. 乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，记作，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 例：（3个2相乘），（2个-3相乘）。 2. 注意：（任何数的1次幂都等于它本身）；当n为正整数时，表示n个a相乘，底数a可以是正数、负数、0（注意0的乘方特殊限制）。 知识点1：同底数幂的乘法（重点） 1. 法则推导（基于乘方意义） 探究：计算、（m、n为正整数）。 归纳法则：（m、n都是正整数）。 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 关键注意事项 · 前提：必须是“同底数幂”相乘，即底数a完全相同（符号、数字都要一致）。 · 易错点1：底数不同不能用此法则，如（底数2≠3），不能直接计算，需先算各自的乘方再相乘。 · 易错点2：符号处理：当底数为负数时，需注意负数的乘方符号规律，再运用法则，如。 · 拓展：多个同底数幂相乘，法则仍适用：（m、n、p为正整数）。 知识点2：幂的乘方（重点） 1. 法则推导（基于乘方意义和同底数幂乘法法则） 探究：计算、、（m、n为正整数）。 归纳法则：（m、n都是正整数）。 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 关键注意事项 · 区分：幂的乘方 vs 同底数幂的乘法，避免混淆。 · 对比：（同底数幂相乘，指数相加）；（幂的乘方，指数相乘）。 · 易错点：符号处理，当底数为负数时，先判断乘方的符号，再计算指数，如（负数的偶次幂为正）。 · 逆用：（用于求值，如已知，则）。 知识点3：积的乘方（重点） 1. 法则推导（基于乘方意义和乘法交换律、结合律） 探究：计算、、（n为正整数）。 归纳法则：（n为正整数）。 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 关键注意事项 · 拓展：多个因式的积的乘方，法则仍适用：（n为正整数）。 · 易错点1：漏乘因式的乘方，如，正确应为。 · 易错点2：符号处理，当因式为负数时，注意负数的乘方符号，如（负数的偶次幂为正）。 · 逆用：（用于化简、求值，如）。 知识点4：同底数幂的除法（重点+难点） 1. 法则推导（基于乘方意义和同底数幂乘法法则） 探究：计算、（a≠0，m、n为正整数，且m>n）。 （a≠0，避免分母为0） 归纳法则：（a≠0，m、n都是正整数，且m>n）。 文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 关键注意事项 · 前提1：同底数幂相除，底数a必须不为0（因为0的任何正整数次幂都是0，0不能作为除数）。 · 前提2：指数m>n（后续拓展到m≤n，引入零次幂、负整数指数幂）。 · 易错点1：底数不同不能用此法则，如，需先算各自的乘方再相除。 · 易错点2：符号处理，当底数为负数时，先判断符号，再计算指数，如。 · 拓展：多个同底数幂相除，法则仍适用：（a≠0，m、n、p为正整数，且m>n+p）。 知识点5： 零次幂与负整数指数幂（难点） 规定1（零次幂）：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）。 注意：无意义（因为0不能作为除数）。 规定2（负整数指数幂）：任何不等于0的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数，即（a≠0，p为正整数）。 拓展：（a≠0，p为正整数），如，。 知识点6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a´10-n 的形式，其中 n 是正整数，1£ a <10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 法则混淆：分不清“同底数幂相乘（指数相加）”和“幂的乘方（指数相乘）”，如≠，≠。 · 2. 符号错误：忽略底数为负数时的符号运算，如，，≠。 · 3. 积的乘方漏乘：如≠，需将每个因式都乘方。 · 4. 零次幂、负整数指数幂易错：忽略的前提是a≠0；负整数指数幂计算时，混淆倒数关系，如≠。 · 5. 底数不同强行用法则：如不能直接用同底数幂乘法法则，需先算乘方再计算[1]。 总结与方法技巧 1. 核心法则口诀（便于记忆）： 同底相乘，底数不变，指数相加；同底相除，底数不变，指数相减； 幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，各因式乘方，再相乘。 2. 解题思路：先判断运算类型（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方），再选择对应法则；先处理符号，再计算指数；遇到求值题，优先考虑法则逆用。 3. 核心素养提升：通过法则推导，培养逻辑推理能力；通过规范运算，养成严谨的运算习惯；通过实际应用，体会数学与生活的联系。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 【典例1】．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 跟随训练1-1．计算的结果是（     ） A． B． C．0 D．1 跟随训练1-2．若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 【典例2】．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 跟随训练2-1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 【题型3 幂的乘方运算】 【典例3】．已知，则的值为 ． 跟随训练3-1．计算： ． 跟随训练3-2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【典例4】．已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 跟随训练4-2．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【题型5 积的乘方】 【典例5】．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 跟随训练5-1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 跟随训练5-2．计算： (1)； (2)； (3) 【题型6 同底数幂的除法运算】 【典例6】．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 跟随训练6-1．已知，则的值为 ． 跟随训练6-2．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型7 零指数幂】 【典例7】．计算的结果是（    ）． A．7 B．1 C．2 D．3 跟随训练7-1．计算： ． 跟随训练7-2．计算： 【题型8 负整数指数幂】 【典例8】．若无意义，则是（    ） A． B． C．2 D．8 跟随训练8-1．计算： ． 跟随训练8-2．计算： (1)； (2)． 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】．截至2025年全国已超过18600间“AI自习室”在中学投入使用，为学生提供智能答疑与学习规划服务．将数据18600用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．2026年将实现省级低空安全监控平台全域覆盖，政策落地后三年内物流无人机市场规模有望破1800亿元．下列将“1800亿”用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 【典例10】．在化学实验中，研究人员发现一种新型纳米材料颗粒，其直径经测量为米．在数学中，对于微小长度的表示常采用科学记数法，请问该纳米材料颗粒的直径用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．嫦娥六号返回器携带月球样品安全着陆，标志着我国航天事业向前又迈出了一大步．嫦娥六号返回器在接近大气层时，飞行大约需要，数据用科学记数法表示为 ． 跟随训练10-2．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 【典例11】．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 跟随训练11-1．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 跟随训练11-2．下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型12 积的乘方的逆用】 【典例12】．已知正整数满足，则 ． 跟随训练12-1．若，，则（　　） A． B． C． D． 跟随训练12-2．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【题型13 同底数幂除法的逆用】 【典例13】．已知，，，则 ． 跟随训练13-1．若，，则 ． 跟随训练13-2．若，，，均为正整数，则 ．（用含，的代数式表示） 【题型14 幂的混合运算】 【典例14】．已知，化简，其结果为 ． 跟随训练14-1．若，则 ． 跟随训练14-2．计算： (1)； (2)； (3)． 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．假设2026年中央财政衔接推进乡村振兴补助资金1062亿元，将“1062亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（    ） A． B． C．3 D． 4．计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．，则有（     ） A．， B．， C．， D．， 7．若，则 ． 8．计算： ． 9．大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．在某高校团队设计的自动驾驶组件中，有一个直径为的电子元件．将数据“0.0005”用科学记数法可表示为 ． 10．若，则等于 ． 11．计算： ． 12．计算： ．（结果用幂的形式表示） 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知满足，求的值． 15．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 16．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ； (2)[说理]记．试说明； (3)[应用]若，求t的值． 17．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 18．【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1幂的乘除同步讲义 （6知识点+14大题型+过关检测） 01 题型•解读 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 2 【题型3 幂的乘方运算】 3 【题型4 幂的乘方的逆用】 4 【题型5 积的乘方】 5 【题型6 同底数幂的除法运算】 7 【题型7 零指数幂】 8 【题型8 负整数指数幂】 9 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 10 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 11 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 12 【题型12 积的乘方的逆用】 13 【题型13 同底数幂除法的逆用】 15 【题型14 幂的混合运算】 16 · 理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法的核心法则，能清晰阐述法则的推导逻辑（基于乘方的意义）。 · 能熟练运用4个核心法则进行单一运算，准确计算基础题型，杜绝符号、指数运算的基础错误。 · 牢记零次幂、负整数指数幂的规定，能直接运用规定进行简单计算。 03 知识•梳理 前置回顾（衔接七上知识） 1. 乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，记作，其中a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 例：（3个2相乘），（2个-3相乘）。 2. 注意：（任何数的1次幂都等于它本身）；当n为正整数时，表示n个a相乘，底数a可以是正数、负数、0（注意0的乘方特殊限制）。 知识点1：同底数幂的乘法（重点） 1. 法则推导（基于乘方意义） 探究：计算、（m、n为正整数）。 归纳法则：（m、n都是正整数）。 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 关键注意事项 · 前提：必须是“同底数幂”相乘，即底数a完全相同（符号、数字都要一致）。 · 易错点1：底数不同不能用此法则，如（底数2≠3），不能直接计算，需先算各自的乘方再相乘。 · 易错点2：符号处理：当底数为负数时，需注意负数的乘方符号规律，再运用法则，如。 · 拓展：多个同底数幂相乘，法则仍适用：（m、n、p为正整数）。 知识点2：幂的乘方（重点） 1. 法则推导（基于乘方意义和同底数幂乘法法则） 探究：计算、、（m、n为正整数）。 归纳法则：（m、n都是正整数）。 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 关键注意事项 · 区分：幂的乘方 vs 同底数幂的乘法，避免混淆。 · 对比：（同底数幂相乘，指数相加）；（幂的乘方，指数相乘）。 · 易错点：符号处理，当底数为负数时，先判断乘方的符号，再计算指数，如（负数的偶次幂为正）。 · 逆用：（用于求值，如已知，则）。 知识点3：积的乘方（重点） 1. 法则推导（基于乘方意义和乘法交换律、结合律） 探究：计算、、（n为正整数）。 归纳法则：（n为正整数）。 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 关键注意事项 · 拓展：多个因式的积的乘方，法则仍适用：（n为正整数）。 · 易错点1：漏乘因式的乘方，如，正确应为。 · 易错点2：符号处理，当因式为负数时，注意负数的乘方符号，如（负数的偶次幂为正）。 · 逆用：（用于化简、求值，如）。 知识点4：同底数幂的除法（重点+难点） 1. 法则推导（基于乘方意义和同底数幂乘法法则） 探究：计算、（a≠0，m、n为正整数，且m>n）。 （a≠0，避免分母为0） 归纳法则：（a≠0，m、n都是正整数，且m>n）。 文字表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 关键注意事项 · 前提1：同底数幂相除，底数a必须不为0（因为0的任何正整数次幂都是0，0不能作为除数）。 · 前提2：指数m>n（后续拓展到m≤n，引入零次幂、负整数指数幂）。 · 易错点1：底数不同不能用此法则，如，需先算各自的乘方再相除。 · 易错点2：符号处理，当底数为负数时，先判断符号，再计算指数，如。 · 拓展：多个同底数幂相除，法则仍适用：（a≠0，m、n、p为正整数，且m>n+p）。 知识点5： 零次幂与负整数指数幂（难点） 规定1（零次幂）：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）。 注意：无意义（因为0不能作为除数）。 规定2（负整数指数幂）：任何不等于0的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数，即（a≠0，p为正整数）。 拓展：（a≠0，p为正整数），如，。 知识点6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a´10-n 的形式，其中 n 是正整数，1£ a <10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 易错点汇总（高频考点，重点突破） · 1. 法则混淆：分不清“同底数幂相乘（指数相加）”和“幂的乘方（指数相乘）”，如≠，≠。 · 2. 符号错误：忽略底数为负数时的符号运算，如，，≠。 · 3. 积的乘方漏乘：如≠，需将每个因式都乘方。 · 4. 零次幂、负整数指数幂易错：忽略的前提是a≠0；负整数指数幂计算时，混淆倒数关系，如≠。 · 5. 底数不同强行用法则：如不能直接用同底数幂乘法法则，需先算乘方再计算[1]。 总结与方法技巧 1. 核心法则口诀（便于记忆）： 同底相乘，底数不变，指数相加；同底相除，底数不变，指数相减； 幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，各因式乘方，再相乘。 2. 解题思路：先判断运算类型（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方），再选择对应法则；先处理符号，再计算指数；遇到求值题，优先考虑法则逆用。 3. 核心素养提升：通过法则推导，培养逻辑推理能力；通过规范运算，养成严谨的运算习惯；通过实际应用，体会数学与生活的联系。 04 题型•汇总 【题型1 同底数幂相乘】 【典例1】．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，解题关键是将常数转化为同底数幂，熟练运用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则． 先将8转化为以2为底的幂，再运用同底数幂的乘法法则计算，最后匹配选项得到结果． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故选：D． 跟随训练1-1．计算的结果是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算及合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键． 先利用同底数幂乘法法则计算乘法部分，再合并同类项得出结果即可． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 则， 故选：C． 跟随训练1-2．若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 原式， 故选D． 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 【典例2】．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 跟随训练2-1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 跟随训练2-2．太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 【答案】km 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，根据光通过太阳系半径的时间，利用距离公式（距离 = 速度 × 时间）求出半径，再乘以2即可得到直径． 【详解】解：圆盘半径 ． 直径 ． 答：太阳系的直径为 ． 【题型3 幂的乘方运算】 【典例3】．已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘的运算法则，是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂的乘法法则合并指数，得到，从而指数相等，解方程得． 【详解】解：由， 将写成， ∴， ∴． ∵底数相等的幂相等， ∴指数相等， 即， 解得． 故答案为：3． 跟随训练3-1．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 跟随训练3-2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，运用对应运算法则逐步计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【典例4】．已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选：D． 跟随训练4-1．已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方逆用和同底数幂的乘法法则，关键是将转化为以为底的幂，再利用同底数幂乘法的逆运算求出的值，进而计算目标式子 【详解】解：∵，，， ∴， 即， ∴， 则； 故选：D． 跟随训练4-2．已知，，则的值为（   ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，需将转化为以2为底的幂，再利用同底数幂的除法性质计算即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即， ∵（同底数幂除法性质：）， 又∵， ∴原式． 故选：B． 【题型5 积的乘方】 【典例5】．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算性质，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据相关法则逐步计算即可． 【详解】解：   ． 故选：D． 跟随训练5-1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算规则，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据相关法则逐步计算即可. 【详解】解：， 故选：C． 跟随训练5-2．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方，根据逐一运算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型6 同底数幂的除法运算】 【典例6】．计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，运用同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：∴， 故选：B． 跟随训练6-1．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查同底数的除法和幂的乘方，先将25和125化为以5为底的幂，再利用同底数幂的除法法则和指数相等求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因此， 解得． 故答案为：1． 跟随训练6-2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （3）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【题型7 零指数幂】 【典例7】．计算的结果是（    ）． A．7 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂的运算，有理数的减法运算，掌握好相关知识是关键． 任何非零实数的零指数幂都等于1，化简后直接计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 跟随训练7-1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，掌握好有理数混合运算的法则是关键． 先将零指数幂化简，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：． 跟随训练7-2．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，零指数幂． 根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂的计算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【题型8 负整数指数幂】 【典例8】．若无意义，则是（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查负整数指数幂、求代数式的值，先根据该条件求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 跟随训练8-1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查负指数幂的运算，掌握好相关的运算法则是关键． 先计算负指数的幂，再取负值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 跟随训练8-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负指数幂，掌握好相关的运算法则是关键． （1）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）先将负指数幂和零指数幂化简，再按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】．截至2025年全国已超过18600间“AI自习室”在中学投入使用，为学生提供智能答疑与学习规划服务．将数据18600用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：18600用科学记数法表示为． 故选：D． 跟随训练9-1．我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式． 科学记数法的形式为，其中，为整数，确定的值要看把原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值时为正整数． 【详解】解：∵580亿， ∴， 故选：B． 跟随训练9-2．2026年将实现省级低空安全监控平台全域覆盖，政策落地后三年内物流无人机市场规模有望破1800亿元．下列将“1800亿”用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法； 根据科学记数法的形式为（其中，为整数）的规则进行判断即可． 【详解】解：∵将1800转变为，小数点向左移动了3位， ∴， ∴1800亿 故选：D． 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 【典例10】．在化学实验中，研究人员发现一种新型纳米材料颗粒，其直径经测量为米．在数学中，对于微小长度的表示常采用科学记数法，请问该纳米材料颗粒的直径用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为负整数），的绝对值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵原数为，左边第一个非零数字5前有6个0 ∴ ∴答案选A 跟随训练10-1．嫦娥六号返回器携带月球样品安全着陆，标志着我国航天事业向前又迈出了一大步．嫦娥六号返回器在接近大气层时，飞行大约需要，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 将原数表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故答案为：． 跟随训练10-2．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034．将数据0.0000034用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，需遵循科学记数法的形式（其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数），确定与的值是解题关键． 【详解】解：∵科学记数法表示绝对值较小的数的形式为，其中，为原数左边第一个非零数字前面的0的个数， ∴对于，，原数左边第一个非零数字3前面有6个0，即， ∴， 故选：A． 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 【典例11】．计算所得的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、有理数的乘方的意义、因式分解等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先逆用同底数幂的乘法，再根据有理数的乘方运算，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 故选D． 跟随训练11-1．若，，则的值为（     ） A．30 B．10 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 需利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将待求式转化为已知幂的乘积形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选A． 跟随训练11-2．下列对幂的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算法则，需根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”逐一验证选项的变形是否正确． 【详解】解：A、，则，变形正确，不符合题意； B、，则，变形不正确，符合题意； C、，则，变形正确，不符合题意； D、，，变形正确，不符合题意； 故选：B． 【题型12 积的乘方的逆用】 【典例12】．已知正整数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 跟随训练12-1．若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 跟随训练12-2．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．先将小数转化为分数，再利用积的乘方的逆运算简化计算，最后结合有理数的乘方性质得出结果． 【详解】解：原式 故选：D． 【题型13 同底数幂除法的逆用】 【典例13】．已知，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查幂的乘方和同底数幂的除法，根据幂的乘方的逆运算法则得到，再根据同底数幂的除法的逆运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：20． 跟随训练13-1．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．将已知条件中的幂转化为底数为3的形式，利用指数运算法则计算所求表达式． 【详解】解：由 ，得 ， 即 ， 由 ， 得 ， 则 ． 故答案为：． 跟随训练13-2．若，，，均为正整数，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用指数运算法则，将 分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【题型14 幂的混合运算】 【典例14】．已知，化简，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算是关键．先用积的乘方公式计算，然后用幂的乘方公式计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，结合零指数幂的计算，即可得到答案． 【详解】解： ． 跟随训练14-1．若，则 ． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 跟随训练14-2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及整式的加减运算． 解题的关键是严格遵循幂的运算规则，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） 05 过关•检测 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，需根据各法则计算后判断选项正误． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减，故，该选项不符合题意； B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，该选项符合题意； C、积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故，该选项不符合题意； D、幂的乘方，底数不变，指数相乘，故，该选项不符合题意； 故选：B． 2．假设2026年中央财政衔接推进乡村振兴补助资金1062亿元，将“1062亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，需明确科学记数法的形式为（其中，为整数），先将“1062亿”转化为具体数字，再转化为符合要求的科学记数法形式． 【详解】解：1062亿． 故选：B． 3．计算的结果为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．计算，结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】∵ ． 故选：D． 5．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题的关键是先根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算出的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵负整数指数幂法则：，零指数幂法则： ∴， ， ， ∵， ∴， 故选：B． 6．，则有（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则． 利用同底数幂相除，底数不变、指数相减的法则，结合等式两边相同字母指数相等求解m、n的值． 【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，， 解得，， 故选：B． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则：进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，关键是灵活应用运算法则进行计算；根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 9．大学生航模比赛吸引了各所高校的航模团队参加，比赛中各高校团队设计的飞机模型在创新性等方面得到了各界的认可．在某高校团队设计的自动驾驶组件中，有一个直径为的电子元件．将数据“0.0005”用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法表示为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 10．若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算，根据同底数幂的乘除法法则进行求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了乘方运算和零指数幂．先计算乘方和零指数幂，再求和即可． 【详解】解： 故答案为：2 12．计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，直接应用法则计算即可． 【详解】根据同底数幂的乘法法则，． 故答案为：． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查幂的运算、有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数的乘除运算法则计算即可； （2）先利用幂的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的乘除运算法则计算即可； （3）先计算括号内的幂的运算，再进行同底数幂的除法运算即可； （4）先分别计算绝对值、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行乘法和加减原式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 14．已知满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的计算应用，熟练使用其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，可化成同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法以及若（且），则的结论，熟练掌握幂的运算法则和整体代换思想是解题的关键． （1）先将等式左边的底数统一为2，再根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． （2）先提取公因式，将等式左边化简，再把等式右边的数转化为以2为底的幂，最后根据若（且），则的结论，列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ； (2)[说理]记．试说明； (3)[应用]若，求t的值． 【答案】(1)2； (2)见解析 (3)64． 【分析】本题考查了新定义运算与幂的运算性质，解题的关键是理解新定义等价于，并将其转化为熟悉的幂运算问题． （1）根据新定义，找到满足的值； （2）根据新定义将a，b，c转化为幂的形式，利用同底数幂乘法法则证明； （3）根据新定义将等式转化为幂的形式，利用幂的乘方与同底数幂乘法法则求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设，，， 则，，． ∵， ∴． ∵， 又， ∴． 答：的值为64． 17．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 18．【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）24，见解析；（3）6，理由见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $