专题08概率初步(2)（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题08概率初步(2) 【题型01 列举随机实验的所有可能结果】...............................2 【题型02判断实验所得结果是否是等可能的】...........................5 【题型03 列举法求概率】.............................................7 【题型04 根据概率公式计算概率】.....................................9 【题型05 根据概率作判断】..........................................11 【题型06 已知概率求数量】..........................................14 【题型07 游戏的公平性】............................................16 【题型08 几何概率】................................................19 【题型09 概率在转盘抽奖中的应用】..................................21 【题型10 概率在比赛中的应用】......................................23 【题型11 概率的其他应用】..........................................25 【题型12 解答题6题】..............................................27 知识梳理 知识点01:基本概念 等可能结果 一次试验中，所有可能出现的结果个数有限，且每个结果发生的可能性大小相等。 等可能事件的概率公式 如果一个试验共有 n 种等可能结果，事件 A 包含其中 m 种结果， 则P(A)= 知识点02:概率的取值范围 不可能事件：P=0 必然事件：P=1 随机事件：0<P<1 知识点03:常见模型（直接套公式） 1.摸球 / 抽卡片 P(摸到某类球)​ 2.掷骰子 总结果：6 种 P(点数为k)​ 3.转盘 / 几何概率 P(落在某区域) 知识点04:解题关键步骤 1.先判断：结果是否等可能、是否有限 2.求总数 n：所有等可能结果数 3.求符合条件数 m：事件包含的结果数 4.代入：P 知识点05:易错点提醒 1.必须是等可能才能直接用 ​ 2.不要把 “类别数” 当成 “结果数” 3.结果总数与符合条件数要一一对应、不重不漏 【题型1.列举随机实验的所有可能结果】 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 【跟踪专练1】在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 【跟踪专练3】学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 【答案】 （或或） 2 【分析】本题考查事件的可能性，列举法的应用： （1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解； （2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解． 【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加， 活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加， 所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突， 可选A和C，或A 和D，B和D， 故他参加活动的方案可以为：（或或）； （2）参加活动最高可得积分：，第二可得， 所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或， 又因为H与F时间冲突， 所以他参加活动的方案只能是，共1种； 参加四个活动有一种方案获得29积分； 故答案为：2 故答案为：（或或）；2． 【题型2.判断实验所得结果是否是等可能的】 【典例】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 【跟踪专练1】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【分析】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 【点睛】考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考. 【跟踪专练3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 【题型3.列举法求概率】 【典例】某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法，熟练掌握列举法的应用是解题的关键． 通过列举所有等可能抽取结果数和恰好是1名男生和1名女生的结果数，运用概率公式求解即可． 【详解】解：从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人，所有可能的结果有： （男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种， 其中恰好是1名男生和1名女生的结果有：（男1，女）、（男2，女），共2种， 因此，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率为, 故答案为：． 【跟踪专练1】盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过列举法求概率，通过列举法列出所有摸球的等可能结果，再找出“一个红球、一个黄球”的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：设两个红球分别为红1、红2，两个黄球分别为黄1、黄2． ∵从四个球中随机摸出2个球的所有等可能结果为：(红1，红2)、(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)、(黄1，黄2)，共6种． 其中“一个红球、一个黄球”的结果有：(红1，黄1)、(红1，黄2)、(红2，黄1)、(红2，黄2)，共4种． ∴刚好是“一个红球、一个黄球”的概率为． 故选：D． 【跟踪专练2】从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 计算从中任取两个不同数的所有等可能性的结果数，再计算最大公约数不为1所有等可能性的结果数，即最大公约数为2、3、4的所有等可能性的结果数，然后作差求最大公约数为1的所有等可能性的结果数，最后利用概率公式求出最大公约数为1的概率即可． 【详解】解：从中任取两个不同的数，所有等可能性的结果数共有：（种）， 最大公约数为2的结果有：、、、、，共5种， 最大公约数为3的结果有：、、，共3种， 最大公约数为4的结果有：，共1种， ∴最大公约数不为1的结果数有：（种）， ∴最大公约数为1的结果数有：（种）， ∴从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为； 故答案为：． 【跟踪专练3】图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 【题型4.根据概率公式计算概率】 【典例】喜欢数学的小荷说“”（即：数学是我的菜！）从组成“”的所有字母中随机抽一个字母（不分大小写），抽中“i”的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了随机抽样的概率的求法，掌握概率公式是解题的关键． 计算“”四个单词的总字母数，以及字母“i”的出现次数，再求概率即可． 【详解】解：∵“”字母总数为，字母“i”仅出现1次， ∴概率为． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查随机事件概率的计算，根据概率公式事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数求解即可． 【详解】解：∵布袋中有2个红球，3个白球， ∴球的总个数为个， ∵从中随机摸出一个红球的可能结果数为2， ∴P(摸出红球) 故选：D． 【跟踪专练2】规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查概率公式求概率；由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有3种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有：1，2，3，共3种， ∴所组成的三位数为“上升数”的概率为 故答案为：． 【跟踪专练3】不透明的箱子内有分别标有号码1～6的球，每个号码球各2个，总共12个球．已知小颖先从箱子内摸出4个球且不将球放回箱子内，这4个球的号码分别是2，2，4，5．小李打算从此箱子内剩下的球中摸出1个球，若箱子内剩下的每个球被他摸出的可能性相等，则他摸出的球的号码与小颖已摸出的4个球中某一个球的号码相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定小颖摸球后剩余球的分布，再找出小李摸出与小颖已摸出号码相同的有利情况数。 【详解】解： 箱子中原有号球各个，总个球， 小颖摸出个球：， ∴ 剩余球：1号2个、3号2个、4号1个、5号1个、6号2个，共8个球. 小颖已摸出独特号码为2、4、5， 但剩余球中无2号球， 小李摸出匹配号码的球只能为4号或5号，共2个有利球. 总球数8个， ∴ 概率为. 故选：C. 【点睛】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【题型5.根据概率作判断】 【典例】一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 【答案】摸出红球 【分析】根据概率公式确定答案即可． 【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是． 故答案为：摸出红球． 【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【跟踪专练1】一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 【跟踪专练2】一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 红色 24 【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色； （2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红红，②黑黑，③红黑，④黑红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数黑球数的2倍，且球的个数为偶数，即可求解． 【详解】（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色． 故答案为：红色； （2）由题意，可知取两个球共有四种情况： ①红红，则乙盒中红球数加1， ②黑黑，则丙盒中黑球数加1， ③红黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1， ④黑红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1． 那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球， 乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球 乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球， 甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球， 至少有13个红球和3个黑球， 红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数， 此时明显不满足条件， 红球至少16个，黑球至少有8个， 袋中原来最少有个球． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． 【跟踪专练3】将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 【题型6.已知概率求数量】 【典例】已知在一个不透明的袋子里面装有红球和白球共25个，每个球除颜色外均相同，其中红球有n个．现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 故答案为：10． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则可估计的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【详解】解：由频率分布图可知，当统计的次数逐渐增大时，摸到蓝球的频率越稳定在0.6附近， 因此摸到蓝球的概率为0.6， 所以有， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此蓝球有6个， 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求情况数÷总情况数是解题的关键． 根据概率=所求情况数÷总情况数的公式，用总扇形数分别乘以红、蓝两种颜色对应的概率，计算出各自需要涂的扇形个数． 【详解】解：设个扇形涂上红色，个扇形涂上蓝色． 由P（指向红色扇形），P（指向蓝色扇形）， 得，， 解得，． 故答案为：4；3． 【跟踪专练3】在一暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，其中只有6个红球，每次搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回搅匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，则a的值可能是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 经检验，是原方程的根， 故选：C． 【题型7.游戏的公平性】 【典例】冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】此题考查了游戏的公平性问题，关键在于计算每个事件的概率来比较判断. 列表得出所有可能情况，分别找出两种获胜情况的次数，求出概率，在比较判定即可. 【详解】根据题意，列表如下： 由表可知，共有4种等可能的结果，其中掷出一对8的结果有2种，掷出一个8和一个9的结果有2种， 这个游戏公平． 【跟踪专练1】小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．通过列举掷两枚硬币的所有可能结果，计算三人获胜的概率，比较概率大小判断游戏对谁有利． 【详解】解：掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能结果为：正正、正反、反正、反反，共4种． ∵ 小明获胜需两枚正面朝上，有1种情况， ∴ P（小明获胜）． ∵ 小颖获胜需两枚反面朝上，有1种情况， ∴ P（小颖获胜）． ∵ 小凡获胜需一枚正面一枚反面，有2种情况， ∴ P（小凡获胜）． ∵， ∴游戏对小凡有利． 故选：C 【跟踪专练2】小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    【答案】不公平 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与拼成房子的情况，再利用概率公式求解即可求得小李赢与小王赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏是否公平． 【详解】解：设三张纸片分别用A，B，C表示 画树状图得：   共有6种等可能的结果，能拼成房子的有4种情况 ， 这个游戏不公平 故答案为：不公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，解题关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【跟踪专练3】有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【答案】A 【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案． 【详解】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意； 取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意； 取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意； 取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键． 【题型8.几何概率】 【典例】如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率的知识．根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】解：设正方形的边长为2，则圆的直径为2， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在一张半径为的圆形纸片中，画出7个同样大小的半径为的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为1个点）随机停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色区域的概率为 ． 【答案】 【分析】设小圆的半径为,得出大圆的半径是,根据圆的面积公式先求出7个小圆的面积和一个大圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设小圆的半径为，大圆的半径为，所以7个小圆的面积为，大圆的面积为，所以蚂蚁停留在涂有颜色区域的概率为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了概率，解决本题的关键是掌握概率的计算公式． 【跟踪专练3】以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何概率，根据概率公式求出每个选项的概率，相比即可得到答案． 【详解】解：．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ．指针落在阴影区域的概率为：， ∵， 则指针落在阴影区域的概率最小的是， 故选：B． 【题型9.概率在转盘抽奖中的应用】 【典例】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【跟踪专练1】在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 【答案】A 【分析】填在最高位即可． 【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选． 【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大． 【跟踪专练2】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 【跟踪专练3】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 【题型10.概率在比赛中的应用】 【典例】足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【跟踪专练1】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【跟踪专练2】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 【题型11.概率的其他应用】 【典例】投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数字．如果连续掷3600次，“掷出上面是5点”的频数约为 次． 【答案】600 【分析】本题考查了概率的基本应用，用频率估计频数，熟练掌握基础定义是解题关键； 根据投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为，再与次数相乘即可． 【详解】解：∵投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为， ∴“掷出上面是5点”的频数约为：（次）， 故答案为：600． 【跟踪专练1】“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的应用．掌握事件的所有情况的概率之和为1成为解题的关键． 根据事件的所有情况的概率之和为1解答即可． 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 【跟踪专练2】现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 【跟踪专练3】动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出所有动物的只数，根据动物活到各年龄阶段的概率求出相应的只数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为0.8x，活到30岁的只数为0.3x， 故现年20岁到这种动物活到30岁的概率为=． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的简单应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 解答题 1.小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 【答案】(1)种，列表见解析； (2)． 【分析】本题考查了列举随机试验的所有可能结果，概率公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （）直接用列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果即可； （）由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】（1）解：（1）列表如下： 红 红 黄 黄 红 红红 红黄 红黄 红 红红 红黄 红黄 黄 黄红 黄红 黄黄 黄 黄红 黄红 黄黄 所以摸球所有可能的结果共有种； （2）解：由（）得，两次摸出的球颜色相同的结果有种， 所以小明同学获得篮球的概率． 2．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 【答案】(1)不同意，理由见详解； (2)，； (3)0． 【分析】（1）根据白球和红球的个数即可判断； （2）分别用白球和红球的个数除以球的总个数即可得出答案； （3）摸到黄球是不可能事件，据此可得答案． 【详解】（1）不同意，因为白球的个数比红球的个数多，所以摸到白球的可能性大； （2）摸到白球的概率为，红球的概率为； （3）任意摸出一个球，摸到黄球的概率为0． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3．临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）由概率公式求出，即可得出； （2）列举法得出共有6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为， ∴， ∴， ∴； （2）解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种， ∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为． 4．在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： 摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300 摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100 摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 【答案】(1)5 (2)黑球7个，白球2个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据可估计摸出黑球的概率为0.33，再由概率公式求解即可； （2）设放进去黑球x个，根据题意可知摸出黑球的概率为二分之一，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数的增加，摸出黑球的频率稳定在0.33附近，故估计摸出黑球的概率为0.33， ∴黑色球的个数可能是个； （2）解：设放进去黑球x个， 由题意得，， 解得， 则， 答：放进去黑球7个，白球2个． 5．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 【答案】（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值 【分析】本题考查的是游戏规则的制定，只要符合石子散落的距离小的方案均可． 根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则． 【详解】解：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积； （2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长； （3）含5点的最小圆半径； （4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者； （5）连接任意两点线段长度中的最小值．（答案不唯一） 6．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08概率初步(2) 【题型01 列举随机实验的所有可能结果】...............................2 【题型02判断实验所得结果是否是等可能的】...........................3 【题型03 列举法求概率】.............................................4 【题型04 根据概率公式计算概率】.....................................5 【题型05 根据概率作判断】...........................................5 【题型06 已知概率求数量】...........................................6 【题型07 游戏的公平性】.............................................7 【题型08 几何概率】.................................................8 【题型09 概率在转盘抽奖中的应用】...................................9 【题型10 概率在比赛中的应用】.......................................9 【题型11 概率的其他应用】..........................................10 【题型12 解答题6题】..............................................11 知识梳理 知识点01:基本概念 等可能结果 一次试验中，所有可能出现的结果个数有限，且每个结果发生的可能性大小相等。 等可能事件的概率公式 如果一个试验共有 n 种等可能结果，事件 A 包含其中 m 种结果， 则P(A)= 知识点02:概率的取值范围 不可能事件：P=0 必然事件：P=1 随机事件：0<P<1 知识点03:常见模型（直接套公式） 1.摸球 / 抽卡片 P(摸到某类球)​ 2.掷骰子 总结果：6 种 P(点数为k)​ 3.转盘 / 几何概率 P(落在某区域) 知识点04:解题关键步骤 1.先判断：结果是否等可能、是否有限 2.求总数 n：所有等可能结果数 3.求符合条件数 m：事件包含的结果数 4.代入：P 知识点05:易错点提醒 1.必须是等可能才能直接用 ​ 2.不要把 “类别数” 当成 “结果数” 3.结果总数与符合条件数要一一对应、不重不漏 【题型1.列举随机实验的所有可能结果】 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【跟踪专练1】在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练3】学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分． 科学奇遇记 序号 主题活动 开始时间 结束时间 积分 A 科普实验 8:00 10:00 7 B 设计工坊 9:00 11:00 8 C 微观世界 10:30 11:50 5 D 机器人体验 11:30 13:30 9 E 温室生态展 13:00 14:40 7 F 人工智能展 14:00 16:45 8 G 梦幻剧场 15:00 17:30 5 H 创意荟 16:00 19:00 10 回答下列问题： （1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）； （2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种． 【题型2.判断实验所得结果是否是等可能的】 【典例】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【跟踪专练1】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【跟踪专练2】在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【跟踪专练3】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【题型3.列举法求概率】 【典例】某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是 ． 【跟踪专练1】盒子中有四个除颜色外一模一样的小球，其中两个红球，两个黄球．从中随机一次摸出2个球，刚好是“一个红球、一个黄球”的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为 ． 【跟踪专练3】图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【题型4.根据概率公式计算概率】 【典例】喜欢数学的小荷说“”（即：数学是我的菜！）从组成“”的所有字母中随机抽一个字母（不分大小写），抽中“i”的概率为 ． 【跟踪专练1】一个不透明布袋中有2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，摇匀后从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为 ． 【跟踪专练3】不透明的箱子内有分别标有号码1～6的球，每个号码球各2个，总共12个球．已知小颖先从箱子内摸出4个球且不将球放回箱子内，这4个球的号码分别是2，2，4，5．小李打算从此箱子内剩下的球中摸出1个球，若箱子内剩下的每个球被他摸出的可能性相等，则他摸出的球的号码与小颖已摸出的4个球中某一个球的号码相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【题型5.根据概率作判断】 【典例】一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 【跟踪专练1】一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【跟踪专练2】一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【跟踪专练3】将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型6.已知概率求数量】 【典例】已知在一个不透明的袋子里面装有红球和白球共25个，每个球除颜色外均相同，其中红球有n个．现从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则 ． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则可估计的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】如图所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成了12个相同的扇形，其中 个扇形涂上红色， 个扇形涂上蓝色，可以使得转动的转盘自由停止时，指针指向红、蓝两色扇形的概率分别为，． 【跟踪专练3】在一暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，其中只有6个红球，每次搅匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回搅匀，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，则a的值可能是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【题型7.游戏的公平性】 【典例】冰冰和雪雪做掷两个筹码的游戏，其中一个两面都写有8，另一个一面写有8，另一面写有9．游戏规则如下：两人各持一个筹码同时掷出，如果掷出一对8，雪雪获胜；如果掷出一个8和一个9，冰冰获胜．你认为这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 【跟踪专练1】小明、小颖和小凡都想去看第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（   ） A．游戏对小颖有利 B．游戏对小明有利 C．游戏对小凡有利 D．游戏对三人是公平的 【跟踪专练2】小李和小王在拼图游戏中，从如图三张纸片中任取两张，如拼成房子，则小李赢；否则，小王赢．你认为这个游戏公平吗？ （填“公平”或“不公平”）．    【跟踪专练3】有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（    ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜 B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜 C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜 D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜 【题型8.几何概率】 【典例】如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为 ． 【跟踪专练1】如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在一张半径为的圆形纸片中，画出7个同样大小的半径为的圆并涂上颜色．若一只蚂蚁（蚂蚁视为1个点）随机停留在该纸片上，则蚂蚁停留在涂有颜色区域的概率为 ． 【跟踪专练3】以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率最小，则对应的转盘是（　　） A． B． C． D． 【题型9.概率在转盘抽奖中的应用】 【典例】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ． 【跟踪专练1】在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（    ） A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格 【跟踪专练2】如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【跟踪专练3】如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型10.概率在比赛中的应用】 【典例】足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【跟踪专练1】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得 元；乙得 元． 【跟踪专练2】体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【题型11.概率的其他应用】 【典例】投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数字．如果连续掷3600次，“掷出上面是5点”的频数约为 次． 【跟踪专练1】“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【跟踪专练3】动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，活到岁的概率为，现在有一只岁的动物，它活到岁的概率是(　　) A． B． C． D． 解答题 1.小明参加浙江省城市篮球联赛（浙）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有个红球和个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球．若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件． (1)用适当的方法列举摸球所有可能的结果． (2)求出小明同学获得篮球的概率． 2．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)任意摸出一个球，摸到白球和摸到红球的概率各是多少？ (3)任意摸出一个球，摸到黄球的概率呢？ 3．临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表： 每箱混入“红酥梨”个数/个 0 1 2 箱数/箱 1 m n 若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为 (1)求m和n的值； (2)小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率． 4．在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： 摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300 摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100 摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 5．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法． 6．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $