专题07 二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题07 二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 压轴专练 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 方法总结 1. 紧扣定义：二元一次方程必须满足①含两个未知数；②含未知数项的次数为1；③是整式方程。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程（组）并求解。 解题技巧 1. 系数排查：务必确保含未知数项的系数（含参数）不等于0，常为易忽略点。 2. 化简先行：若方程含括号或分母，先化为最简整式形式，再对照定义列条件。 例1．（2026七年级下·全国·专题练习）已知是二元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】二元一次方程要求两个未知数的次数均为1． 此题考查的是对二元一次方程的定义理解，熟练掌握是解决此题的关键． 【详解】解：由题意可知， 方程中的次数为1，因此的次数 必须为1，即， 解得． 故答案为：3． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，未知数x和y的次数均为1，且y的系数不为0作答即可． 【详解】解；由二元一次方程的定义，得且， 解得：或且， 即． 故答案为：2． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 方法总结 1. 代入法：将已知解代入原方程，将二元方程转化为关于参数的一元方程（组）。 2. 整体构造：若求代数式值，不需单独求各参数，直接将代入后的等式组合变形整体得出。 解题技巧 1. 符号细心：代入时注意符号及系数，避免移项、合并时出现运算错误。 2. 整体代换：若求参数对称式（如m+n、mn），优先考虑两解代入后的方程整体相加减。 例2．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义；关键是将解代入方程求参数；将给定的解代入方程，通过求解一元一次方程得到的值. 【详解】解：将解代入方程， 得， 即， 解得， 故答案为：． 【变式2-1】（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入二元一次方程． 将方程的解代入二元一次方程，建立关于的方程并求解． 【详解】解：将代入方程得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·周测）已知是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，掌握将方程的解代入方程得到系数关系，再整体代入代数式求值是解题的关键． 将方程的解代入方程得到关系式，再代入代数式求值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东东营·期末）如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 故答案为：6． 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 方法总结 1. 代入转化：将已知解代入原方程组，将方程组转化为关于参数的方程（组）。 2. 整体构造：若求关于参数的对称式（如m+n、mn），将代入后的等式进行加减组合整体求解。 解题技巧 1. 解参分离：将代入后得到的方程先化简，再将参数项与常数项分离。 2. 视而不求：不必先求每个参数的具体值，通过整体恒等变形直接导出所求代数式的值。 例3．（25-26八年级上·全国·期末）若关于x，y的方程组的解为则a，b的值分别是 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组，得到关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入方程组， 得 解得 故答案为：，． 【变式3-1】（25-26八年级上·广东河源·月考）若是方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，求整式的值，将方程组的解代入原方程组，得到两个关于和的方程，然后将两个方程相加，即可求出的值． 【详解】将，代入方程组， 得， 将方程①和方程②相加，得， 即． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级下·全国·期末）已知是方程组的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 【详解】解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）若方程组的解是，则方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， 解得． 故答案为： 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 方法总结 1. 情况对应：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解），转化为系数比或常数比的关系。 2. 列式求解：利用 ≠ （唯一解）、 = ≠（无解）、三者相等（无数解）列方程（组）求参数。 解题技巧 1. 化为标准式：先将方程组整理成a1x+b1y=c1、 a2x+b2y=c2的标准形式。 2. 验证分母零：比例式求解时，注意分母含参数可能为零的情况，需分类讨论避免漏解。 例4．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知关于，的方程组的解满足，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握知识点是解题的关键． 将方程组中的两个方程相加，利用的值建立关于k的方程求解即可． 【详解】解： ①+②得： 即 ∵， ∴ 即 移项得： ∴． 故答案为：4． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据题意，得到，构建新的二元一次方程组求解得到，代入求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 【答案】 6 且 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 联立无关：若两个方程组有相同解，先解不含参的两个方程联立，求出公共解。 2. 代入含参：将公共解代入含参数的方程中，转化为关于参数的一元方程求解。 解题技巧 1. 优选无参：优先选择两个不含参数的方程联立，直接求出x、y的具体数值。 2. 整体代值：若求参数代数式，求出公共解后整体代入含参方程，避免重复解方程。 例5．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 【变式5-1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知关于、的方程组和方程组有相同的解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，乘方运算，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得，， 得，， ∴， 把代入③，可得，解得 ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·山东德州·月考）已知关于的方程组和的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据题意可得和，解得，则，解得，代入计算即可． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组可重新分配为和， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 解表参数：将方程组解用含参数的代数式表示。 2. 整数条件：根据x、y均为整数，结合整除性（倍数、因数）或范围讨论参数k的可能取值。 解题技巧 1. 分离整数：将解表达式分离为“整数部分 + 真分数部分”，将问题转化为分母整除分子。 2. 枚举验证：当参数为整数且在有限范围内时，可枚举所有可能值并回代检验x、y是否为整数。 例6．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可． 【详解】解：， ①②，得， ， 关于，的方程组的解是整数，是正整数， 或， 解得：或不是正整数，舍去）， 即． 故答案为：11． 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·课前预习）已知方程组，若方程组有非负整数解，则正整数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解，关键是参数的解方程组得到和的表达式，根据非负整数解的条件，从而确定正整数的可能取值。 【详解】解： 解方程组得：， ∵方程组有非负整数解， ∴的值为：或或， ∴的值为或或， ∴正整数的值为：或． 故答案为：或． 【变式6-2】（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的整数的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．先求出二元一次方程组的解，根据解为整数，求出的值，再进行计算即可．熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 【详解】解：解，得：， ∵解是整数，也是整数， ∴， ∴， 当时，，当时，，满足题意， ∴满足条件的整数的和为； 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， ①②得， 解得， 为整数，为整数， ， 的值为或． 故答案为：或． 【变式6-4】关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握解的定义． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得：， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 4．（2023七年级下·全国·专题练习）若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键． 由与互为相反数，可得，代入到方程组中得到、的值，进而可得的值． 【详解】解： 与互为相反数， ， 将代入中得：， 解得， ， 将，代入中得：， 解得， 故选：A． 5．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 6．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数，根据二元一次方程的定义，方程含有两个未知数x和y，且未知数的次数均为1，同时y的系数不能为零，由此可解． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，且， ，且， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于、的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知是方程组的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把代入，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于，的方程组与方程组同解，则 ， ． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 11．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程组的解求参数，先求出方程组的解，根据方程组的解为整数，为整数可得或或或或或，进而求出的值即可得到满足条件的所有整数，据此即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知关于的二元一次方程组（是常数），若不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，通过解方程组，用参数a表示 x 和 y，再代入代数式，令其含a的系数为零，从而求出k的值． 【详解】解： 得，解得 把代入①得，解得 ∴ ， ∵不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变， 解得 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林·月考）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． ． 14．（25-26八年级上·全国·周测）已知是关于x，y的二元一次方程组，求的值． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义由 求出答案后验证，代入求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的概念可知，． 由 ，解得或． 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）． 把代入中，解得，所以． 15．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 16．（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 的值为． 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 17．（24-25七年级上·湖南永州·月考）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二元一次方程（组）中含参数问题的六类综合题型 月录 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 压轴专练 典例详解 类型一、利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 方法总结 1. 紧扣定义：二元一次方程必须满足①含两个未知数；②含未知数项的次数为1；③是整式方程。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程（组）并求解。 解题技巧 1.系数排查：务必确保含未知数项的系数（含参数）不等于0，常为易忽略点。 2.化简先行：若方程含括号或分母，先化为最简整式形式，再对照定义列条件。 例1.(2026七年级下.全国.专题练习)已知xm-2+2y=0是二元一次方程，则m= 【变式1-1】(25-26八年级上江西鹰潭·月考)若(m-4)x+5ym--23=0是关于x,y的二元一次方程，则 m= 【变式1-2】(25-26八年级上陕西西安月考)已知方程2xm+(m+2)y=2是二元一次方程，则 m= 【变式1-3】(25-26八年级上四川成都月考)方程(m+2)x,3+y8=2是关于，y的二元一次方程，则 (m+n)2= 1/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 方法总结 1.代入法：将已知解代入原方程，将二元方程转化为关于参数的一元方程（组）。 2.整体构造：若求代数式值，不需单独求各参数，直接将代入后的等式组合变形整体得出。 解题技巧 1.符号细心：代入时注意符号及系数，避免移项、合并时出现运算错误。 2. 整体代换：若求参数对称式（如m+n、m),优先考虑两解代入后的方程整体相加减。 x=3 例2.(25-26八年级上贵州毕节期末)若关于x,y的二元一次方程x+2y=5有一组解是 则k的值 y=1 是 【变式2-1】(2026七年级下·北京·专题练习)己知 x=2 =m,是二元一次方程3x+2y=10的一个解，则m的 值为 x=2 【变式2-2】(25-26七年级下·全国周测)己知 是方程+=1的解，则代数式2a+b+2025的值 y=1 x=m 【变式2-3】(25-26七年级上山东东营期末)如果 是方程2x-3y=2020的一组解，那么代数式 y=n 2026-2m+3n= 类型三、已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 方法总结 1.代入转化：将已知解代入原方程组，将方程组转化为关于参数的方程（组）。 2.整体构造：若求关于参数的对称式（如m+n、mm),将代入后的等式进行加减组合整体求解。 解题技巧 1.解参分离：将代入后得到的方程先化简，再将参数项与常数项分离。 2. 视而不求：不必先求每个参数的具体值，通过整体恒等变形直接导出所求代数式的值。 例3.(25-26八年级上·全国期末)若关于x,y的方程组 x+y=7 (x+=-2的解为 x=3 则a,b的值分别是 y=11 a= ,b= 【变式3-1】(25-26八年级上·广东河源·月考)若 x=2 ax+by=4 的解，则a+b= y=-1 是方程组 bx+ay=1 x=2 【变式3-2】(25-26七年级下·全国期末)已知 x+2a=y-3 是方程组 3 101x+y=b的解，那么d的值为 2/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2a+3b=7 a=2 【变式3-3】(24-25七年级下·江苏苏州月考)若方程组 3a+4b=10 的解是 b=1' 则方程组 2(x+2)+3(y-1)=7 3(x+2)+4(y-1)=10的解是 类型四、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 方法总结 1.情况对应：根据方程组解的情况（唯一解、无解、无数解），转化为系数比或常数比的关系。 2. 列式求解：利用暖≠号：（唯一解）、是=品≠号（无解）、三者相等（无数解）列方程（组）求 参数。 解题技巧 1.化为标准式：先将方程组整理成41x+by=c1、a2x+b2y=c2的标准形式。 2.验证分母零：比例式求解时，注意分母含参数可能为零的情况，需分类讨论避免漏解。 例4.(25-26八年级上·四川成都期末)已知关于x,y的方程组 3x+2y=k+2 的解满足x+y=2,则k的 2x+3y=k 值为一、 4x+3y=10 【变式4-1】(25-26八年级上，全国·单元测试)若关于x,y的方程组 的解中x的值比y的 x-(k-1)y=-8 值的相反数大2，则k的值为一· 2x-2y=5 【变式4-2】(25-26八年级上山东青岛周测)已知关于x,y的方程组 -y=3无解，则k= x+y=6-a 【变式4-3】(25-26八年级上·安微宿州月考)己知关于x,y的二元一次方程组： bx-y=2a (1)若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为一： (2)若该方程组无解，则α，b需要满足的条件为一。 类型五、已知二元一次方程组的解为同解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 联立无关：若两个方程组有相同解，先解不含参的两个方程联立，求出公共解。 2.代入含参：将公共解代入含参数的方程中，转化为关于参数的一元方程求解。 解题技巧 1.优选无参：优先选择两个不含参数的方程联立，直接求出x、y的具体数值。 2.整体代值：若求参数代数式，求出公共解后整体代入含参方程，避免重复解方程。 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x-y=5 x+y=4 例5.（25-26七年级上湖南邵阳期末)已知关于x,y的方程组 和 有相同的解，那 ax+by =6 ax+2by=12 么2a+b值是 2x+5y=-6mbx+ay=-80 【变式5-1】(24-25七年级上四川眉山期中)己知关于x、y的方程组 bx-ay =2 3xr-5y=16方程 和 组有相同的解，那么(a+b)25的值为_一 【变式5-2】(24-25七年级下山东德州月考)己知关于x,y的方程组 2x+5y=-6m3x-5y=16 和 的解相同， ax-by=-4 bx+ay=-8 则(2a+b)25的值是一 【变式5-3】(25-26八年级上陕西咸阳期末)已知关于x、y的二元一次方程组 ax+by=-8 2x+y=0 的解相同，求a-b的值. 类型六、已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 方法总结 1. 解表参数：将方程组解用含参数的代数式表示。 2. 整数条件：根据x、y均为整数，结合整除性（倍数、因数）或范围讨论参数k的可能取值。 解题技巧 1.分离整数：将解表达式分离为“整数部分+真分数部分”，将问题转化为分母整除分子。 2.枚举验证：当参数为整数且在有限范围内时，可枚举所有可能值并回代检验x、y是否为整数。 2x-y=3 例6.(25-26七年级上安徽宣城月考)已知关于x,y的方程组 的解是整数，且Q是正整数，则 ax+y=10 a= 【变式6-1】(25-26八年级上全国·课前预习)已知方程组 x-y=2 x+y=6' 若方程组有非负整数解，则正整数 m的值是」 mx+y=3 【变式6-2】(25-26九年级上·重庆期中)若关于x,y的二元一次方程组 5x+3y=15 的解是整数，则满足 条件的整数m的和是」 x+2y-6=0 【变式6-3】(24-25七年级下·河北邯郸期中)已知关于x,y的方程组 x-2y+mx+5=0'若方程组的解 中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 nx+(n+1y=n+2 【变式6-4】关于x,y的方程组 (n是常数). x-2y+m.x=-5 (1)当n=1时，直接写出第一个方程x+2y=3的所有非负整数解； 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当n=1时，该方程组的解也满足x+y=2,求m: (3)当n=3时，如果方程组也有整数解，求整数m. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上山东菏泽期末)若方程mx-2y=3x+4是关于x,y的二元一次方程，则m满足() A.m≠-2 B.m≠0 c D.m≠4 2.(25-26八年级上陕西汉中期末)若r=2 y=-3 是关于x、y的二元一次方程ax+2y=-2的一个解，则a的 值为() A.1 B.2 C.-1 D.-2 x=1 3.(25-26八年级上安徽宿州期末)若 少=2是二元一次方程组 x+y=3 x+by=4 的解，则a+2b的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 x+2y=2a-1 4.(2023七年级下·全国.专题练习)若关于x,y的方程组 的解满足x与y互为相反数，则a x-y=6 的值是() A.-1 B.1 C.2 D.4 +y=5 5.(25-26七年级上安徽毫州期末)己知关于x,y的二元一次方程组 2x-少=0有正整数解，其中k为整 数，则-k2+1的值为() A.-8或0 B.-8或-4 C.-4 D.0 x+3y=4- 6.(25-26七年级上·安徽宣城期末)己知关于x,y的二元一次方程组 (x-y=3a “，给出下列结论： ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=-2; ②当a=2时，方程组的解也是方程x+y=3a-2的解； ③无论a取什么数，x+2y的值始终不变其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上陕西成阳·期末)已知x3+(a-2)y=5是关于x,y的二元一次方程，则a的值是 4x-3y=4k 8.(25-26八年级上·陕西西安期末)己知关于x、y的方程组 2x+y=1-k,若x-2y=1,则k的值为 x=1 ax+by=2025 9.(25-26八年级上陕西西安·月考)已知 y=-1 是方程组 的解，则(a+b)(a-b)的值 bx-ay=1 是 x-a=y 2x+y=5 10.(25-26七年级上湖南邵阳·期末)已知关于x,y的方程组 13x+2y= 。与方程组 x+=10同解，则 a=,b= 11.(24-25八年级上重庆期中)若关于x,y的方程组 [3x-2y=5的解为整数，则满足条件的所有整数m的 mx-2y=9 和为一 x+3y=-a+2 12.(25-26八年级上广东佛山期末)已知关于x,y的二元一次方程组 （a是常数)，若不论 x-4y=5a+7 a取什么实数，代数式c-y(k是常数)的值始终不变，则k的值为 三、解答题 13.(24-25七年级下·吉林月考)已知 x=2 是关于x,y的二元一次方程 2x+(m-y=2的解，求 y=1 nx+y=1 (m+刀2025的值. 14.(25-26八年级上·全国·周测)己 3x-少2=1，是关于x,y的二元一次方程组，求2m+扣的值. (m+1)x2m+m=-2 15.(25-26七年级上贵州铜仁月考)已知关于x、y的方程组{ x-y=2 和x+2=5 的解相同，求 ax+by=-1 2ax+3by=3 (3a+b)2025的值. x-2y=m 16.(25-26八年级上河南郑州月考)已知 是关于x、y的二元一次方程组。 x+y=4m-61 (1)①当m=3时，该方程组的解为； ②该方程组的解为 (用含m的式子表示). (②)若方程组的解也满足方程2x+3y=4,求m的值. 6/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x+y-9=0 17.（24-25七年级上湖南永州月考)已知关于x,y的方程组 3x-y+1y-6=0 (1)请直接写出方程3x+y-9=0的所有正整数解： (2)无论数m取何值，方程3x-y+my-6=0总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值 18.(24-25七年级下·江苏扬州期中)换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通 常把未知数或变数称为元.所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使得复杂问题简单化.换元的实质是转化，关键是构造元和设元。 2x+3+2x-3y=7 [m+”=7 3 例如解方程组 4 2x+3y+2x-3y=8 ，令m=2x+3y,n=2x-3y.原方程组化为 43 ,解得 m+=8 3 2 32 m=60 m=60 代入m=2x+3y,n=2x-3y,得 2x-3=-24,解得4：原方程组的解为 2x+3y=60 「x=9 (n=-24' 把 n=-24 x=9 y=14 x+y,x-y 11 (1)解方程组3 26 4(x+y)+3y=-5+3x [3×2+2-31=111 (2)解方程组 2+1+2×3y=86 ax+by=G的解是 =5”关于xy的方程组 x=9 (3)己知关于x、y的方程组 a,x2-4a,x-2b,y=9-4a的 ax+bay=c a2x2-4a2x-2b2y=c2-4a2 解是 7/7