专题05 平移与旋转的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题05 平移与旋转的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平移的性质求解 类型二、利用平移解决实际问题 类型三、找旋转中心、旋转角、对应角 类型四、根据旋转的性质求解 类型五、旋转中的规律性问题 类型六、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 压轴专练 类型一、利用平移的性质求解 方法总结 1. 平移不变性：平移前后图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等。 2. 平移变换：图形上所有点沿相同方向移动相同距离，坐标变化规律为“左减右加x，上加下减y”。 解题技巧 1. 端点优先：只需求出关键点（如顶点）平移后的坐标，再连接得新图形。 2. 利用平行：平移后线段与原线段平行，可用斜率相等建立方程。 例1．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积 ．（结果化成最简形式） 【答案】/ 【分析】此题考查了平移的性质，首先得到，，求出，然后得到． 【详解】解：由平移得，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·周测）小温同学在美术课上将通过平移设计得到“一棵树”．已知底边上的高为，沿方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置．若下方树干的长为，则树的高度的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，根据题意计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， 由题意得：, ， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：由平移的性质可知，． ，， ∴， ∴三角形的面积为． 故答案为：． 类型二、利用平移解决实际问题 方法总结 1. 实际问题建模：将物体移动、图形变换等问题抽象为平移，确定平移方向与距离。 2. 运用性质求解：利用平移前后图形全等、对应点连线平行且相等的性质，求距离、路径或面积。 解题技巧 1. 找对应点：明确原图形上某点平移后的对应点位置，由此确定平移向量。 2. 化折为直：平移可将分散线段“拼接”成一条直线，便于求最短路径。 例2．（25-26七年级上·上海·期末）已知，直角梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为厘米．正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为秒，两个图形的重叠部分面积为平方厘米，则当时， ． 【答案】或/或 【分析】本题考查一元一次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段未进入正方形内部时，②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导即可得解． 【详解】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形： 依题意可知，，，， ∴， ∴，， ①当线段未进入正方形内部时，，，即， ∴， 此时重合部分是，， 此时无解； ②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，，，即， ∴， 则重合部分是直角梯形，， ∴， 解得； ③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，，，即，， ∴， 此时重合部分是五边形， ∴， 即此时无解； ④当点在线段的延长线上时，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是五边形， ∴， 此时无解； ⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是长方形，， ∴， 解得； ⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，，，即， ∴， 则此时重叠部分为线段或无重叠，无解； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【变式2-1】（25-26七年级上·上海·期末）某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总面积为，乙方案中小路总面积为，则 ．（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【分析】本题考查生活中的平移，熟练掌握平移的定义和性质是解题的关键． 将甲设计方案中的小路通过平移变为规则的图形即可求解． 【详解】解：如图，将甲中的一部分小路平移， 观察图形可得，平移后的甲方案中小路总面积和乙方案中小路总面积相等， 则甲乙方案中小路总面积相等，即． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【答案】400元 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为米，米， 即地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米， 故买地毯至少需要元． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 类型三、找旋转中心、旋转角、对应角 方法总结 1. 旋转中心：对应点连线的中垂线交点即为旋转中心（两组对应点确定）。 2. 旋转角：对应点与中心连线所成的角，且旋转角相等（同一方向）。 解题技巧 1. 两组对应点定中心：任选两组对应点，分别作它们连线的中垂线，交点即中心。 2. 方向一致性：所有对应点旋转方向相同（顺/逆时针），旋转角相等。 例3．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 类型四、根据旋转的性质求解 方法总结 1. 旋转不变性：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，对应点与中心连线所成角等于旋转角。 解题技巧 1. 找对应关系：先确定旋转前后的对应点、对应边，利用全等转移边角关系。 2. 用旋转角列方程：对应点与中心连线夹角即旋转角，常设未知数列方程求解。 例4．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后角度相等是解题的关键． 由旋转可得，进而可得． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ， ， ∴． 故选：D． 【变式4-1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，证明，推出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由旋转可知即为旋转角，再由在同一条直线上，，即可求出的大小． 【详解】解：∵在同一条直线上，， ， 即至少旋转了， 故选：B． 【变式4-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，角的和差关系，根据题意表示出是解题关键．设旋转角为，即，根据，结合角平分线的性质，以及角的和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：如图所示，设旋转角为，即， 则， 射线和分别平分和， ，， ，为恒定值， 在旋转的过程中，的大小将会始终不变． 故选：A． 类型五、旋转中的规律性问题 方法总结 1. 周期归纳：多次旋转（如每次旋转固定角度）后，图形位置呈周期性变化，找出周期长度。 2. 坐标递推：用旋转公式或坐标变换规律，写出第n次旋转后的坐标通项公式。 解题技巧 1. 列表找周期：列出前几次旋转后的坐标或位置，观察循环规律。 例5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转 次得到的，每次旋转的角度为 ． 【答案】 五 【分析】本题考查了图形旋转的性质知识点，掌握旋转次数与基本图案个数的关系以及周角等分的计算方法是解题的关键． 先观察图形确定基本图案的个数，旋转次数等于基本图案个数减1，每次旋转的角度等于周角除以基本图案个数． 【详解】解：∵该图形是由“基本图案”绕着点旋转构成的复合图形 ∴观察图形可知，该复合图形共由6个全等的“基本图案”组成 ∴旋转的次数为次 ∵这6个基本图案均匀分布在以点为中心的圆周上 ∴每次旋转的角度为 ． 故答案为：五； ． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 【变式5-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解． 【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 类型六、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 方法总结 1. 中心对称性质：关于中心对称的两个图形全等，对应点连线过对称中心且被平分。 2. 应用求解：利用全等转移边、角关系，用对称中心是中点求线段长度。 解题技巧 1. 找对称点：确定对称中心后，找出对应点，利用中点坐标公式或等量关系列方程。 2. 面积等分：中心对称图形面积被对称中心平分，常用来求部分面积。 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25八年级下·河北保定·月考）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 【变式6-2】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 【变式6-3】（25-26七年级上·上海·月考）已知长方形，，，边长为的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图1所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图2所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是________，面积相等的是________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；    ②三角形与三角形； ③三角形与三角形；    ④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】题考查了中心对称图形的性质，平移的性质，一元一次方程以及多项式的乘法与图形面积的应用； （1）根据长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上，观察图形，即可求解； （2）由（1）可得长方形与长方形的面积相等，根据已知列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）分点在上，根据（2）的方法计算即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称； ∴①②③中的两个三角形的面积相等， ∵①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又∵③三角形与三角形的面积相等， 则 四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 故答案为：①②③；①②③④． （2）解： 依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ∴， 解得：， （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ∴，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ∴， 解得：， ∴； 当在上时，如图， ∵，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ∴． 解得：． ∴． 综上所述，的值为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西河池·期末）如图，把绕点逆时针旋转得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的旋转，把绕点逆时针旋转得到，点与点是对应点，根据对应点与旋转中心的连线的夹角就是旋转角，可知． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，点与点是对应点， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质．由的面积比的面积大24，得到，由旋转的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵的面积比的面积大24， ∴， ∴， 即， ∵旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点 ，此时， ， ， ． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 7．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得，，，即得，再根据梯形的面积公式解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，，， ∴，， ∴四边形是直角梯形， ∵为中点， ∴， ∴， 解得， ∴平移距离为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，为的平分线，且．将四边形绕点逆时针旋转后，得到四边形，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义得到，由旋转的性质得到，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为的平分线，且， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方形的边与正方形的边重合，，．将长方形以秒的速度向右平移，当运动时间为 秒时，长方形与正方形重叠部分的面积为． 【答案】1.5或3.5 【分析】本题考查平移的性质，分重叠部分为长方形，面积为和重叠部分为长方形，面积为，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由题意，可知：，平移前 当重叠部分为长方形，面积为时， 则：， ∴，即平移距离为，此时运动时间为秒； 当重叠部分为长方形，面积为时， 则：， ∴，即平移距离为，此时运动时间为秒； 故答案为：1.5或3.5． 10．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过 秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】15或60 【分析】本题考查了一元一次方程的运用、旋转的性质等知识点，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一：如图：，，又，所以，故；情况二：如图：，，所以，故． 【详解】解：情况一，如图： ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得：； 情况二，如图： ∴， ， 又∵， ∴，解得：． 综上，在射线旋转一周的过程中，经过15或60秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：15或60． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，当点的对应点恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：4； （2）解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 13．（25-26七年级上·上海·期末）如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质和旋转的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；（3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得，，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 14．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 15．（25-26七年级上·上海松江·期末）图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【答案】（1）详见解析；（2）①三角形的面积是；②线段的长是6；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）①联结，根据旋转的性质，得出，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，，，即可求出线段的长； （3）根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，三角形即为所求． （2）①联结，如图2所示， ∵将三角形绕点旋转到三角形， ∴，，， ∵正方形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ． 又∵， ∴． 解得． 答：三角形的面积是． ②如图2，由①可知： ， ， ． 根据题意，得；，， ∴，． ∵， 又∵， ∴． 答：线段的长是6． （3）如图3所示： 16．（24-25七年级下·广东中山·月考）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点P的对应点为，连接．若三角形的周长为m，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)10 (3)1 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05平移与旋转的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平移的性质求解 类型二、利用平移解决实际问题 类型三、找旋转中心、旋转角、对应角 类型四、根据旅转的性质求解 类型五、旅转中的规律性问题 类型六、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 压轴专练 典例详解 类型一、利用平移的性质求解 方法总结 1. 平移不变性：平移前后图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等。 2.平移变换：图形上所有点沿相同方向移动相同距离，坐标变化规律为“左减右加x,上加下减y”。 解题技巧 1.端点优先：只需求出关键点（如顶点）平移后的坐标，再连接得新图形。 2.利用平行：平移后线段与原线段平行，可用斜率相等建立方程。 例1.(25-26七年级上河北唐山期末)如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿BC边推动其中一块， 使它平移到某一位置，已知AB=a,A'D=2,C'C=4,用含a的代数式表示四边形A'DCC'的面积 =·(结果化成最简形式) 【变式1-1】(25-26八年级下·全国周测)小温同学在美术课上将ABC通过平移设计得到一棵树”.已知 底边AB上的高CD为5cm,沿CD方向向下平移3Cm到△A,B,C,的位置，再经过相同的平移到△A,B,C的位 置.若下方树干EF的长为3cm,则树的高度CF的长为 cm. 1/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C A C: A B 【变式1-2】(25-26九年级上·山东济宁.期末)如图，将三角形ABC沿着射线BC向右平移得到三角形 DEF,连接AD,若AD=2CE,CF=2,则BC的长为 D 【变式1-3】(25-26七年级下.全国周测)如图，在三角形ABC中，AD1BC,垂足为D,AD=4.将三 角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形A'B'C',连接A'C.若BC'=10,B'C=3,则三角 形A'CC的面积为 A A B D B' C 类型二、利用平移解决实际问题 方法总结 1.实际问题建模：将物体移动、图形变换等问题抽象为平移，确定平移方向与距离。 2.运用性质求解：利用平移前后图形全等、对应点连线平行且相等的性质，求距离、路径或面积。 解题技巧 1. 找对应点：明确原图形上某点平移后的对应点位置，由此确定平移向量。 2.化折为直：平移可将分散线段“拼接”成一条直线，便于求最短路径。 例2.(25-26七年级上·上海期末)已知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米.正方 形的边长为13厘米，起始状态如图所示.若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米/秒的速度向右沿直线平 移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=72时，t=一， 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-1】(25-26七年级上·上海·期末)某公园内有一长方形花坛，现准备在花坛内修筑同样宽的两条小 路（阴影部分）供游客赏花，如图，有甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），甲方案中小路总 面积为S,乙方案中小路总面积为S2,则S_S2.(用“>”、“<”、“=”填空) 甲 乙 【变式2-2】(25-26八年级上·山东济宁.月考)某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地 毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元. 2.4m 5.6m 【变式2-3】(25-26八年级下·全国·课后作业)在图①中，将线段AA,向右平移1个单位长度得到B,B2与阴 影部分AAB,B;在图②中，将折线A,-A2-A向右平移1个单位长度得到折线B,-B2-B,与阴影部分 A,AAB,B,B,(4个图形中的长方形均相同，长为Q,宽为b). A B 41 草 A 地 地 A2 B2 A3 B3 图① 图② 图③ 图④ ()请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形. (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为S,S2,S,则S= S2= S3= (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草， 求草地的面积，并说明理由， 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、找旋转中心、旋转角、对应角 方法总结 1.旋转中心：对应点连线的中垂线交点即为旋转中心（两组对应点确定）。 2.旋转角：对应点与中心连线所成的角，且旋转角相等（同一方向）。 解题技巧 1. 两组对应点定中心：任选两组对应点，分别作它们连线的中垂线，交点即中心。 2.方向一致性：所有对应点旋转方向相同（顺/逆时针），旋转角相等。 例3.(25-26七年级上·河北唐山期末)如图，三角形ABC绕点A顺时针旋转得到三角形AEF, LBAC=25°，∠a=45°，则旋转角的度数是() A.20° B.25° C.65 D.70° 【变式3-1】(25-26八年级上山东威海期末)如图，在4×4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一 定角度，可得格点△M,N,P,则旋转中心是() D B A.点A B.点B C.点C D.点D 【变式3-2】(25-26九年级上·北京丰台期末)如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度 后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是() D A.点A B.点B C.点C D.点D 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-3】(25-26九年级上全国期末)如图，点A,B,C,D,0都在方格纸上，若aC0D是由 △AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为() A.30° B.45 C.90° D.1350 类型四、根据旋转的性质求解 方法总结 1.旋转不变性：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。 2.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，对应点与中心连线所成角等于旋转角。 解题技巧 1.找对应关系：先确定旋转前后的对应点、对应边，利用全等转移边角关系。 2.用旋转角列方程：对应点与中心连线夹角即旋转角，常设未知数列方程求解。 例4.(25-26九年级上·广东韶关期末)如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE, AB=AD,若∠CAE=54°，则∠BAD的度数为() E A.36° B.26 C.37° D.54° 【变式4-1】(25-26九年级上四川绵阳期末)如图，将ABC绕点A顺时针旋转，旋转角为α，得到 ADE,若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于() B A. B.90°-a C.a D.180°-a 【变式4-2】(25-26九年级上新疆巴州期末)如图，将ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AB'C', 且∠BAC=30°，点B,A,C在同一直线上，则ABC至少旋转了() 5/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 30 B A A.160° B.150 C.120° D.30° 【变式4-3】(25-26七年级上福建泉州期末)如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中60,45 角的顶点重合，AB与AD边重合，射线AP和AQ分别平分∠CAD和∠CAE.将三角板ADE绕点A逆时针 旋转，当AD与AC第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，∠PAQ的大小将会() A.始终不变 B.先减小再增大 C.不断增大 D.先增大再减小 类型五、旋转中的规律性问题 方法总结 1,周期归纳：多次旋转（如每次旋转固定角度）后，图形位置呈周期性变化，找出周期长度。 2.坐标递推：用旋转公式或坐标变换规律，写出第n次旋转后的坐标通项公式。 解题技巧 1.列表找周期：列出前几次旋转后的坐标或位置，观察循环规律。 例5.(25-26八年级下·全国·周测)如图，这个图形是由“基本图案”ABCDE绕着点D顺时针依次旋转 次得到的，每次旋转的角度为 【变式5-1】(24-25七年级下·全国·课后作业)学科素养·推理能力下面摆放的图案，从第2个起，每一个 都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第个箭头方向相同. (填序号) 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第1个 第2个第3个 第4个 第5个第6个 【变式5-2】(2025九年级上·全国.专题练习)如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=4,AB=5, 且AC在直线1上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P,将位置①的三角形绕点P顺时针旋转 到位置②，得到点P,.,按此规律继续旋转，直到得到点P02o为止，则AP20= B ① ② ③ A P 【变式5-3】(25-26九年级上·四川广安期末)已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚 动90°，如图③，再继续向右滚动90°.，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数 是 2 类型六、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 方法总结 1中心对称性质：关于中心对称的两个图形全等，对应点连线过对称中心且被平分。 2.应用求解：利用全等转移边、角关系，用对称中心是中点求线段长度。 解题技巧 1.找对称点：确定对称中心后，找出对应点，利用中点坐标公式或等量关系列方程。 2.面积等分：中心对称图形面积被对称中心平分，常用来求部分面积。 例6.(25-26八年级下·全国·课后作业)如下图，D是ABC的边BC的中点，连接AD并延长至点E,使 DE=AD,连接BE. 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若△ADC的面积为4，求aABE的面积. 【变式6-1】(24-25八年级下河北保定·月考)如图，ABC和aDEF关于点O成中心对称。 B (1)找出它们的对称中心0. (2)若∠ABC=35°，则∠DEF的度数为 (3)若AB=8,AC=5,BC=7,△DEF的周长为 【变式6-2】(25-26八年级上吉林长春·开学考试)如图，在长方形ABCD中，AB=4,BC=8.点P从点 A出发，沿折线AB-BC以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单 位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动.设点P的运动时间为t秒(t>0). B C (I)当点P在边BC上运动时，PB= (用含t的代数式表示)： (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当BQ=3PB时，求t的值； (④)若点P关于点B的中心对称点为点P,直接写出△PDP'的面积是△QDC面积的一半时t的值， 【变式6-3】(25-26七年级上·上海月考)已知长方形ABCD,AD=8,AB=6,边长为a(0<a<6)的正 方形EFGH的顶点E与点B重合，边EH、EF分别与AB、BC重合（如图1所示）.将正方形EFGH沿着 射线BC方向平移，设平移距离为x. D M-. H B(E)F E 图1 图2 备用图 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)当点H恰好落在线段BD上时，直线HG、EH分别与长方形ABCD的边交于点M、P、N(如图2所示). 下列编号①④中，两个图形能关于某点成中心对称的是 ,面积相等的是 ；(在横线上填入 相应的编号) ①三角形ABD与三角形CDB;②三角形HND与三角形DPH; ③三角形BEH与三角形HMB;④长方形AMHN与长方形HECP. (2)在(1)的条件下，当x=3时，求a的值； 3)在平移过程中，当正方形EFGH的顶点落在线段BD上时，求的值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上·广西河池期末)如图，把ABC绕点0逆时针旋转55°得到aA'B'C',则∠A0A'的度数 是() A.559 B.35 C.30° D.45° 2.(25-26九年级上·北京大兴·期末)如图，在正方形网格中，点P,Q和ABC,△DAE的顶点均在格点 上，将ABC绕旋转中心旋转得到△DEA,则旋转中心是() …D B A.点A B.点B C.点P D.点Q 3.(25-26七年级上·江苏南通·期末)如图，将一个直角三角形ABC沿着直角边CA所在的直线向右平移得 9/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 到直角三角形DEF，已知BC=a,CA=b,S边DEA= ab,则FA的长度为() 3 B.- D 2 A. B. b 3 D. 4.(25-26八年级上·河南南阳·期末)如图，将ABC绕点A旋转至ADE的位置，若点D恰好落在边BC上， DE与AC相交于点F,若AB=6,△AEF的面积比CDF的面积大24，则△ABD的面积为() D A.12 B.21 C.24 D.27 5.(25-26七年级上·江苏南通·期末)如图，锐角三角形ABC中，LBAC=45°，将三角形ABC沿着射线 BC方向平移得到三角形A'B'C'(平移后点A,B,C的对应点分别是点A,B,C),连接CA',若在整个 平移过程中，∠ACA'和LCA'B'的度数之间存在2倍关系，则∠ACA'不可能的值为() B A.15° B.30° C.45° D.90° 二、填空题 6.(25-26七年级下·全国·周测)如图，将ABC经过旋转得到ADE,则旋转中心是点」 此时， LB=Z_,BC=_ D B 3 A E 10/14