专题08 平行四边形的性质和判定的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题08 平行四边形的性质和判定的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线互相平分）。 2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相平分”。 例1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则 ． 【变式1-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是 ． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为 ． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是内任意一点．若的面积是6，则涂色部分的面积是 ．    【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为 ． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是 ． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 ． 【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性质。 2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。 例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 方法总结 1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。 2. 依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步骤。 解题技巧 1. 先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。 2. 对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。 例7．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，，作出中边上的高； (2)在图2中，过点作的平行线． 【变式7-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍； (2)在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段． 【变式7-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在边上找一点O，使平分的面积； (2)如图2，分别在边上找点P，M，N，作 【变式7-3】（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，．若，，则的长为 ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 12．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点E在内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点A，D作，． (1)求证：． (2)设的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平行四边形的性质和判定的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 类型二、利用平行四边形的性质求面积 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 类型五、利用平行四边形的性质证明 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 压轴专练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 方法总结 1. 性质对应：明确问题所求（角或线段），选择平行四边形对应性质（如对角相等、对边相等、对角线互相平分）。 2. 构建方程：根据选定的性质，将已知量和未知量建立等量关系，列出方程求解。 解题技巧 1. 标注已知：在图形上清晰标注已知条件，便于直观发现关系。 2. 性质联用：求角度常联用“对角相等”与“邻角互补”；求线段常联用“对边相等”与“对角线互相平分”。 例1．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，若，，，则 ． 【答案】/23度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质证明三角形全等推导出对应边相等关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：4 ． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含度角的直角三角形，平行线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 通过平行四边形的性质，结合角平分线的定义可得到，由等角对等边得到，最后根据在直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ，． 平分， ， ， ， ． ， ． 又， ，， ． 故答案为：． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 方法总结 1. 公式应用：平行四边形面积 = 底 × 对应高，需确保底和高互相垂直对应。 2. 割补转化：将平行四边形通过割补法转化为矩形或三角形，利用其面积公式间接求解。 解题技巧 1. 确定对应：明确所选底边，并找到（或计算）该底边上的高。 2. 等积变换：利用“同底等高”或“等底等高”模型，将未知面积转化为已知图形的面积。 例2．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，四边形是平行四边形，若平行四边形的面积是，则阴影部分的面积 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再证得，可得，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ， ， 阴影部分的面积等于． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，点E是内任意一点．若的面积是6，则涂色部分的面积是 ．    【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式=底×高．过E作，交BC于M，交于N，的面积+的面积平行四边形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：过E作，交BC于M，交于N，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴ 平行四边形的面积 ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：3． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为 ． 【答案】/10平方厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等高三角形，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质得出、、、、是等高三角形，设等高三角形的高为，进而推出阴影部分面积和空白部分面积相等，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 、、、、是等高三角形， 设等高三角形的高为， 则，， ， 四边形的面积是， ， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，的面积是32，点E，G在上，点F，H在上，且，，点M，N在上，点P在上，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，根据平行四边形的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：16． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 方法总结 1. 分类讨论：根据动点位置（在线段上、延长线上等），画出所有可能情形的平行四边形示意图。 2. 性质建等量：利用平行四边形对边平行且相等，建立关于动点坐标或线段长的方程。 解题技巧 1. 参照系选择：以图形中已知定点为参照，用含t的式子表示动点坐标或线段长。 2. 排除增解：解方程后需检验结果是否满足动点运动范围（如在线段上），舍去不合题意的解。 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可知当点M与重合时，的值最小，即为的长．再结合平行四边形的性质，含的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交直线于点H，连接交直线于点，连接， ∴，，， ∴当点M与重合时，的值最小，即为的长． ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式3-2】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【变式3-3】（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 方法总结 1. 逐项分析：对每个结论单独分析，判断其是否由已知条件结合平行四边形性质必然推出。 2. 反例排查：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊平行四边形（如矩形、菱形）进行检验。 解题技巧 1. 性质链推理：系统梳理“边、角、对角线”三条线索的性质及其推论，形成推理链条。 2. 图形直观法：准确画出一般平行四边形（非特殊）示意图，结合测量估算快速排除明显错误结论。 例4．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】①根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定； ②利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断； ③利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可； ④利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 【变式4-2】（2025·河北唐山·二模）如图，在正六边形中，是对角线上的两点．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的条件的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．①连接交于点，证出由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明由全等三角形的性质得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明与全等，则可得出结论；④证明，得出，根据得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论． 【详解】解：连接交于点， ①正六边形， ， 和是等边三角形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，故②符合题意； ③，，， 与不一定全等，不能得出四边形是平行四边形，故③不符合题意； ④，，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故④符合题意， 则符合题意得有3个， 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 类型五、利用平行四边形的性质证明 方法总结 1. 性质选择：根据待证结论（边相等、角相等、线平行等），选用平行四边形对应的边、角、对角线性质。 2. 逻辑递推：从已知条件出发，结合所选性质，逐步推导出目标结论，形成完整证明链。 解题技巧 1. 标注关键：在图上明确标出已知的等边、等角或平行关系，为推理提供直观线索。 2. 灵活转化：若直接性质不足，可先证三角形全等或利用“对边平行”得出角相等，为后续证明铺路。 例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【变式5-3】（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 方法总结 1. 先判后用：先依据已知条件（如一组对边平行且相等）判定四边形是平行四边形。 2. 再用性质：在判定为平行四边形的基础上，应用其性质（对边相等、对角相等）进行求解。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择条件最直接、步骤最少的判定定理（如“两组对边分别相等”）。 2. 性质联用：求解时综合运用多条性质（如对边平行与对角线互相平分结合）建立方程。 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上一点，，连接，，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握利用中位线定理判定平行四边形，结合等腰三角形性质和勾股定理计算边长是解题的关键． （1）利用三角形中位线定理得与的关系，结合，证明与平行且相等，判定平行四边形 （2）结合平行四边形性质和角度条件推导出，再由得到与的数量关系，在直角三角形中用勾股定理求，进而得的长． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ，，即． ， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形，， ，． ， ． ， ， ， ． 在中，，， ， （负值已舍去）， ． 【变式6-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． （2）利用平行四边形的性质求面积即可． 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：为平行四边形， ，． ， ． ∴四边形是平行四边形． （2）解：当E为中点时，的面积的面积． ， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积． ∴四边形的面积． 【变式6-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在中，是的中点，延长至，使得，连接，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （）证明是的中位线, 得，即，再由平行四边形的判定即可得出结论； （）由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形，则，，，，然后由勾股定理求出，故，． 【详解】（1）证明： ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（）可知，是的中位线，四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 类型七、与平行四边形的性质与判定有关的作图 方法总结 1. 依性质作图：利用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，作平行线或截取等长线段。 2. 依判定构图：以满足平行四边形判定条件（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等）为目标设计步骤。 解题技巧 1. 先定一组对边：通常先作出一条边，再作其平行且相等的对边。 2. 对角线中点法：利用对角线互相平分，先定对角线中点，再确定顶点。 例7．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，点为的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）： (1)在图1中，，作出中边上的高； (2)在图2中，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形底边上的高垂直平分底边和三角形三条中线交于一点、平行四边形对角线相互平分是解答本题的关键． （1）作出中边上的高；即找到的中点即可，连接，交于点，由平行四边形性质可知，，连接并延长交于，容易证明，从而可得，即是中点， （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，连接并延长交延长线于，可得平行四边形，由此即可解题． 【详解】（1）解：如图，为所求， （2）解：如图，为所求， 【变式7-1】（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形中，点E是边上一点．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． (1)在图（1）中，，作一个三角形，使其面积为的两倍； (2)在图（2）中，E为的中点，在作一点F，使线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，即为所求，平行四边形得到，则等高，而，故； （2）连接交于点，连接并延长交即为点，根据平行四边形得到，，继而可证明，则，那么可证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：在图1中，即为所求； （2）解：如图，点即为所求： 【变式7-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在边上找一点O，使平分的面积； (2)如图2，分别在边上找点P，M，N，作 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−复杂作图，平行四边形的判定与性质． 结合平行四边形的性质，连接BD交于点O，则点O即为所求； 结合平行四边形的判定与性质，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接即可． 【详解】（1）如图1，连接交于点O， 则点O即为所求． （2）如图2，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接， 则即为所求． 【变式7-3】（2025·浙江衢州·三模）数学课上，老师提出一个问题：在平行四边形的边上取一点P，使得是以为底边的为等腰三角形．小明同学按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N；②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E：③以点E为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点F；④连接并延长，交于点P． (1)通过作图可以得到的依据是______； (2)小聪同学表示他可以借助无刻度直尺和圆规用另外一种方法作出点P，请在图2中完成作图，要求保留作图痕迹； (3)如图3，小聪同学继续用无刻度直尺和圆规作了射线，发现恰好经过点P，此时小聪同学发现，，都是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据作图过程和三角形全等的判定方法可得答案； （2）作线段的垂直平分线交于点P，即可得到； （3）分①当时，②当时，③当时三种情况，利用等腰三角形的性质，结合平行线的性质和三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）解：由作图过程可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，点P，即为所求作： （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据作图痕迹，平分，设，则， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，则， 由，， 解得， ∴； ②当时，， 由得， 解得， ∴； ③当时，，则， 由得，则，不符合题意， 综上，的度数为或． 类型八、利用平行四边形的判定和性质证明 方法总结 1. 判定为先：根据已知条件，选择恰当的判定定理证明四边形是平行四边形。 2. 性质导出：利用平行四边形的性质，推导出所需结论（如边相等、角相等、线段平行）。 解题技巧 1. 判定优选：优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”等简捷判定方法。 2. 数形互化：将图形中的等量、平行关系转化为代数方程，或利用全等三角形辅助判定与证明。 例8．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题． （1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出； （3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级下·全国·周测）【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解． 先由平行四边形性质得到，结合平行线性质、角平分线定义得到，进而由等腰三角形的性质得到，再数形结合得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上一点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，，，．若，，则的长为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及等腰直角三角形的边长关系是解题的关键． 先根据平行且等于判定四边形为平行四边形，得出；再通过构造等腰直角三角形求出的长度，最后在直角三角形中用勾股定理计算，从而得到的长度． 【详解】解：∵且， ∴四边形是平行四边形， , 过作于， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ， ， 在中，， 故． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）图①是四连杆平开窗铰链，图②是其示意图．已知，，，．当时，窗户为完全开启状态，此时点A到点E的距离为 cm． 【答案】28 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，通过勾股定理可求出，最后再根据线段的和与差即可求解． 【详解】解：，， ∴四边形为平行四边形， ． ， ． 在中，，， ， ，即点到点的距离为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角得到，连接．当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】1或或 【分析】分三种情况讨论，①点在上，则是等边三角形，可证明，则是等腰三角形，根据勾股定理即可得到结论，②点在上，可证明，则是等腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；③是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，可证明，再推导出，则，所以，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：①如图 1，当点在上时， 由旋转得， ， ∴是等边三角形， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ∵， ， ； ②如图 2，当点在上时， ， ， ， ∴是等腰三角形， 即当是等腰三角形，时，； ③如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， 过点A作， 则，， ， ， ； 综上所述，或或， 故答案为：1或或． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点E在内部，连接AE，BE，CE，DE，分别过点A，D作，． (1)求证：． (2)设的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，进而推出角的互补关系；再结合、的条件，得到对应角相等，最后用角边角判定三角形全等． （2）求的值，先利用平行四边形内点的面积性质：点在平行四边形内部时，；再结合（1）中的结论，得，从而将四边形的面积转化为，进而求出面积比值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，同理可得， 在和中： ∴． （2）解：∵点在内部， ∴， 由（1）知，， ∴． ∵的面积为，四边形的面积为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形内的面积转化，掌握平行四边形的边与角的性质、全等三角形的判定、利用全等转化面积是解题的关键． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，垂足分别为，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等角推出与平行，再通过垂直条件和已知边相等，证明三角形全等得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明； （2）利用平行四边形的性质得到边的长度，结合的直角三角形性质，求出相关线段长度，再用勾股定理计算． 【详解】（1）证明：， ， ． ，， ． 在和中： ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，． ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、角的直角三角形性质与勾股定理的应用，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，及直角三角形中角对的直角边为斜边的一半是解题的关键． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线，相交于点，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长（用含的代数式表示）． (2)当四边形是平行四边形时，求的值． (3)当点在线段的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形对角线平分、对边平行的性质，证明与全等，得出，再结合的长度，用减去表示出； （2）根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合的条件，列的方程求解； （3）由垂直平分线的性质得，先通过勾股定理算出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求 ． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 由题意得， ． ， ． （2）解：， 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 故当四边形是平行四边形时，的值为． （3）解：如图，过点作垂直平分分别交，于点，． ，， ， ． ， ， 易得． 是的垂直平分线， ，． 由勾股定理，得， 即， （负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质与勾股定理的应用，掌握平行四边形的边与对角线性质、全等三角形的判定方法，及垂直平分线和勾股定理的综合应用是解题的关键． 17．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，利用可证； （2）根据，可得，又因为，则可得四边形为平行四边形； （3）可证是的垂直平分线，则，根据等腰三角形三线合一可知，再由平行线的性质可求． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， 同理可证， ． 又， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， ， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）作，根据矩形的性质求出，，然后用勾股定理计算； （2）由垂直平分线性质得，结合直角三角形，用勾股定理列含的方程，求解得； （3）根据平行四边形“对边相等”，列的绝对值方程，分类讨论的位置解出； （4）由对称性质、平行线性质推得等腰三角形，结合，分类讨论的位置，列方程求． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $