专题06 利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用等积法求三角形中某边上的高 类型二、利用等积法验证勾股定理 类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积 类型四、利用割补法求不规则图形的面积 压轴专练 典例详解 类型一、利用等积法求三角形中某边上的高 方法总结 1. 面积相等：同一三角形面积可用不同底和高表示，建立方程专×底×高1专×底2×高2 2.高未知时：若已知两边长及第三边上的高，可先求三角形面积，再反推所求高。 解题技巧 1.先求面积：优先用已知两边及夹角或三边（海伦公式）求出三角形面积。 2.设未知数列式：设所求高为，利用面积相等列一元一次方程求解。 例1.(25-26八年级上·江苏宿迁期中)已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的高 【变式1-1】(25-26八年级上江西景德镇·期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=5cm,BC=12cm, 则Rt△ABC斜边上的高CD的长为」 【变式1-2】(24-25八年级上·湖南长沙期末)如图，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，如果AB=2, AC=2V5,那么BD= B D 【变式1-3】(24-25八年级下陕西西安·月考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，腰长为4， 则其底边上的高是 1/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、利用等积法验证勾股定耳 方法总结 1. 图形构造：构造以直角三角形三边为边的正方形或图形（如弦图）。 2.面积相等：用两种不同方法计算整个图形的面积，得到等式，化简后即得α2+b2=c2。 解题技巧 1.选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”图形，面积分割清晰。 2. 代数化简：将面积等式展开后，两边消去相同项，保留平方项即得勾股定理。 例2.（25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在ABC中，∠C=90°，DA⊥AB,DE1AC,垂足分别 为A,E,且AB=AD (I)求证：CE=DE-BC; (2)若BC=Q,AC=b,AB=c,连接BD,CD,利用不同方法计算四边形ABCD的面积，证明勾股定理。 【变式2-1】(25-26八年级上·江苏南京·月考)第14届数学教育大会(1CME-14)会标如图1所示，会标中 心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方 形拼成的大正方形. ICME-I a 图1 图2 (1)请用图2验证勾股定理：c2=a2+b2; (2)如果满足等式a2+b2=c2的a,b,c是三个正整数，我们称a,b,c为勾股数.己知m,n是正整数且m>n.证 明2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾 股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边 上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植 棵青菜.（直接写出结果， 不必说明理由) 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-2】(25-26八年级上河南南阳·期末)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角 边长都为Q,较小的直角边长都为b,斜边长都为C),大正方形的面积可以表示为2，也可以表示为 4×b+(a-b)2,由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为@，b,斜边长为C,则 a2+b2=c2. C D 6 b B a 图1 图2 图3 (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (②)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原因， 由C到A的路现在己经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一条直线 上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH比原路CA少多少 千米？ (3)已知ABC中，AB=15,AC=13,AD为BC边上的高，且AD=12,请直接写出ABC的面积， 【变式2-3】(25-26八年级上·上海期末)回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已 被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一.历史上不同时代、不同国家 的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜。 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究.他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边 分别为α、b,斜边为c)拼成如图1所示的图形.从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积=4个小三 角形面积+小正方形面积，从而得到等式(a+b)}=4】ab+c2,化简证得勾股定理a2+b2=c. 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (1)如图1，若b=2a,那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于 (2)如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a=3,b=5,那么空白部分的面积等于 (3)如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为28，OC=2, 求该风车状图案的面积. 【迁移运用】如图4，用三张含60角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验 3/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 证过程，发现含60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ (4)请直接写出此等量关系式： (知识补充：如图5，含60角的直角三角形，对边y:斜边x=定值k.) a 60 图1 图2 图3 图4 图5 类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积 方法总结 1.勾股树构造：以直角三角形三边为边长向外作正方形，重复此过程形成“树”状图形。 2.面积递推：每个直角三角形所生三个正方形面积满足S大=S中+S小，各层面积之和有递推规律。 解题技巧 1,找基本单元：识别图形中的直角三角形及其三边上的正方形，面积关系即勾股定理。 2。分层求和：逐层计算各正方形面积，利用等比或等差规律求总面积。 例3.(25-26七年级上山东烟台期末)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以这个三角形的三条边为边 长向外作正方形，面积分别记为S、S2、S,若S,+S2-S=32,则阴影部分的面积为 【变式3-1】(25-26八年级上全国期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆.若 BC=5,AC=6,则图中阴影部分的面积为一· C 【变式3-2】(25-26八年级上·江苏盐城期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为一 4/13 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E 36 【变式3-3】(25-26八年级上全国期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边 向外作正方形ACDE、正方形CBHP、正方形BAFG,其面积分别为S、S2、S,则S、S2、S,之间的等量 关系为 _;分别以GH、PD、EF为边向外作正方形，其面积分别为S4S、S6,则S4S,、S之 间的等量关系为 Ss 类型四、利用割补法求不规则图形的面积 方法总结 1.分割法：将不规则图形分割成若干个规则图形（三角形、矩形、梯形等），分别求面积后相加。 2.补形法：将不规则图形补成一个规则图形，减去补上的部分面积即得原图形面积。 解题技巧 1.选择最优法：根据图形特点，选择分割或补形中计算量较小的方法。 2.坐标辅助：在网格或坐标系中，利用顶点坐标计算各规则图形的面积。 例4.(24-25八年级下·辽宁铁岭期中)问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、√10、 √3，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）， 再在网格中画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示这样不需求ABC的 高，而借用网格就能计算出它的面积。 图1 图2 5/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)ABC的面积=；AC边上的高= (2)在图2中画△DEF,DE、EF、DF三边的长分别为√2、√8、√1O ①判断三角形的形状，说明理由。 ②求这个三角形的面积， 【变式4-1】(25-26八年级上·重庆·月考)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公 -0 式，即三角形的三边长分别为Q,b,C,则其中三角形的面积S 此公式与古希 腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设p=a+b+c。 2 那么其三角形的面积 S=√p(p-a(p-b)(p-c,这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式. B 图1 图2 (I)如图1，若ABC的三边长依次为BC=a=5,AC=b=6,AB=c=7.请利用以上公式（任选一个）， 求该三角形的面积S: (2)如图2，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,求该四边形的面积. 【变式4-2】(24-25八年级上广东惠州月考)【问题背景】在ABC中，AB,BC,AC三边的边长分别 为√5，√0，√3，求这个三角形的面积.小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正 方形的边长为I),再在网格中画出格点ABC,如图1所示.这样不需求ABC的高，借助网格就能计算三 角形的面积 图1 (I)直接写出ABC的面积，S。ABc=_ (2)【思维拓展】若△A,B,C,三边的长分别为√5a,√17a,2√2a(a>0),请利用图2的正方形网格中画出 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △A,B,C(每个小正方形的边长为a),并直接写出△A,B,C的面积，S△48，G=-, 图2 (3)【探索创新】若△4，B,C,的三边长分别为Vm2+16n2，V9m2+4n2,2Vm2+n(m>0,n>0,且 m≠n),请直接写出△4，B,C2的面积，S。48,c=- 图3 【变式4-3】(25-26八年级上·江苏泰州月考)综合与实践： 材料（一）小明遇到一个问题：在ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为√5、√10、√3，求ABC 的面积.小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），在网格中 画出格点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算出ABC的面积.他 把这种解决问题的方法称为构图法.参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为1） 7/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F 图1 图2 图3 26 R 9 D 29 图4 备用图 ()小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是」 (2)图2是一个6×6的正方形网格.利用构图法在图2中画出格点△DEF,使DE=√3，EF=√20， DF=√29；直接写出aDEF的面积 (3)如图3，已知△POR,以PQ,PR为边向外作正方形POAF,正方形PRDE,连接EF,△PQR与PEF面 积之间的关系为； (4)请利用以上的解题方法求出图4中六边形花坛ABCDEF的面积（正方形PQEF面积为29；正方形ABRP 面积为26，正方形CDOR面积为9)为 压轴专练 一、单选题 1.（25-26八年级上·上海浦东新·期末)已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为() A.2.4 B.2.5 C.3 D.4 2.(2026八年级·全国.专题练习)将两个大小不同的含有45°角的三角板ABC和BDC按如图所示的方式放 8/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 置.已知AB=4√2，则四边形ABDC的面积为() A.24 B.24√2 C.48 D.48V2 3.(25-26八年级下·全国·课后作业)在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A,B,C三点均在正 方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是() B A.AB=25 B.∠BAC=90° C.SAABC =10 D.点A到直线BC的距离是2 4.(25-26八年级上·浙江湖州期末)“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解 决几何问题的重要工具.中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史.勾股定理 目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一，以下四幅图中，无法证明勾股定理 的是() b C CD. b 5.(25-26八年级上·四川宜宾期末)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是 由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD,连接AC,交DE于点P.如 图所示，若ScFp-S。AEp=4.5,AEED7,则正方形ABCD的面积为() 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E H B A.28 B.29 C.30 D.24 二、填空题 6.(25-26八年级上浙江湖州期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别为2,1,3,2，则最大的正方形E的面积为 B D A E 7.(25-26八年级上·上海浦东新期末)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线 AC的距离为 B 8.(25-26八年级下·全国课后作业)了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示，学 校计划在空地上种植草皮.经测量∠A=90°，AB=9m,DA=12m,BC=8m,CD=17m,则空地ABCD 的面积为 .m2. D 9.(25-26八年级上山西朔州·期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，以AB,AC,BC向外作正方形， 10/13 专题06 利用勾股定理解决与面积有关问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用等积法求三角形中某边上的高 类型二、利用等积法验证勾股定理 类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积 类型四、利用割补法求不规则图形的面积 压轴专练 类型一、利用等积法求三角形中某边上的高 方法总结 1. 面积相等：同一三角形面积可用不同底和高表示，建立方程 ×底1×高1=×底2×高2。 2. 高未知时：若已知两边长及第三边上的高，可先求三角形面积，再反推所求高。 解题技巧 1. 先求面积：优先用已知两边及夹角或三边（海伦公式）求出三角形面积。 2. 设未知数列式：设所求高为h，利用面积相等列一元一次方程求解。 例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知直角三角形的两条直角边的长分别为12和16，则斜边上的高为 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出斜边长，再通过面积相等求斜边上的高即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为12和16， ∴斜边长为， 设斜边上的高为h， 则， 解得． 故答案为：9.6． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在中，，若，则斜边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的高． 【详解】解：在中，，， ∴ 的面积为：， 设斜边上的高的长为，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ， ∵是斜边上的高， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式1-3】（24-25八年级下·陕西西安·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，腰长为4，则其底边上的高是 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先进行作图，分类讨论，再结合角所对的直角边等于斜边的一半的性质，且结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：①三角形是钝角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴底边上的高； ②三角形是锐角三角形时，如图2， ∵， ， ∴， ∴是等边三角形，， ∴底边上的高为， 综上所述，底边上的高是2或． 故答案为2或． 类型二、利用等积法验证勾股定理 方法总结 1. 图形构造：构造以直角三角形三边为边的正方形或图形（如弦图）。 2. 面积相等：用两种不同方法计算整个图形的面积，得到等式，化简后即得a2 + b2 = c2。 解题技巧 1. 选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”图形，面积分割清晰。 2. 代数化简：将面积等式展开后，两边消去相同项，保留平方项即得勾股定理。 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等积法证明勾股定理是解题的关键： （1）证明，得到，，再根据线段的和差关系即可得证； （2）根据和两种方法，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ． 在中，． ， ． 在和中， ． ，． ， ． （2）解：， ，，． ， ， ， 即． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)140 【分析】本题考查了勾股定理，勾股数、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， 或 ， ∴； （2）∵是正整数且， ∴均为正整数 ∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； （3）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 【变式2-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少千米 (3)24或84 【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据梯形的面积的表示方法计算即可； （2）设千米，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 类型三、“勾股树”及其拓展类型求面积 方法总结 1. 勾股树构造：以直角三角形三边为边长向外作正方形，重复此过程形成“树”状图形。 2. 面积递推：每个直角三角形所生三个正方形面积满足S大 = S中 + S小，各层面积之和有递推规律。 解题技巧 1. 找基本单元：识别图形中的直角三角形及其三边上的正方形，面积关系即勾股定理。 2. 分层求和：逐层计算各正方形面积，利用等比或等差规律求总面积。 例3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，中，，分别以这个三角形的三条边为边长向外作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理求图形面积，利用勾股定理将正方形面积的关系转化为线段长度的关系，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 观察图形，阴影部分面积等于． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由图可设半圆、半圆、半圆的面积分别为，由勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：由图可设半圆、半圆、半圆的面积分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为15． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为 ；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 利用勾股定理可得；过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，证明，即可用表示出，即可解答． 【详解】解：设中，，则， 根据题意可得， ， 如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点， 根据题意可得，即， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 根据勾股定理可得，即， 同理可得， ，， ， 根据勾股定理可得，即， 根据勾股定理可得， 即， ， 故答案为：；． 类型四、利用割补法求不规则图形的面积 方法总结 1. 分割法：将不规则图形分割成若干个规则图形（三角形、矩形、梯形等），分别求面积后相加。 2. 补形法：将不规则图形补成一个规则图形，减去补上的部分面积即得原图形面积。 解题技巧 1. 选择最优法：根据图形特点，选择分割或补形中计算量较小的方法。 2. 坐标辅助：在网格或坐标系中，利用顶点坐标计算各规则图形的面积。 例4．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）问题背景：在中，三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)的面积=______；边上的高=______． (2)在图2中画，三边的长分别为、、 ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 【答案】(1)， (2)画图见解析；①是直角三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． （1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积，根据等积法即可求得边上的高； （2）①根据题意即可画出图形，勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：； 设边上的高为h， 则， ∵ ∴ 故答案为：， （2）解：①画图如下：即为所求；    由图可知：，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②． 【变式4-1】（25-26八年级上·重庆·月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． (1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算． （1）利用题干给出的海伦公式即可求解； （2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答． 【详解】（1）解：选择海伦提出的公式， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图 ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即：， ∴该四边形的面积． 【变式4-2】（24-25八年级上·广东惠州·月考）【问题背景】在中，，，三边的边长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点，如图所示．这样不需求的高，借助网格就能计算三角形的面积． (1)直接写出的面积， ． (2)【思维拓展】若 三边的长分别为，，，请利用图的正方形网格中画出（每个小正方形的边长为），并直接写出的面积， ． (3)【探索创新】若 的三边长分别为，，（，，且），请直接写出的面积， ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据割补法求解即可； （2）根据 三边的长分别为，，，可得画出图形即可，然后根据割补法求面积即可； （3）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）∵， ∴如图：即为所作： ， 故答案为：； （3）根据题意可得： ， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）综合与实践： 材料（一）小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题（每个小正方形的边长为） (1)小明发现无论怎样画，这样的三角形形状大小都是一样的，这个结论的依据是______ (2)图2是一个的正方形网格．利用构图法在图中画出格点，使，，；直接写出的面积______ (3)如图，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，与面积之间的关系为______； (4)请利用以上的解题方法求出图中六边形花坛的面积（正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为）为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查全等三角形的判定方法及勾股定理与网格问题，熟练掌握网格特征及勾股定理是解题关键． （1）根据三边长一定，利用可证明三角形都全等即可得答案； （2）把、、表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理在网格中画出图形，用三角形所在长方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出的面积； （3）利用网格分别求出两个三角形的面积，比较即可得答案； （4）把、、表示为两个正整数的平方和的形式，利用勾股定理，把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，利用网格特征求出四个三角形的面积，再求四个三角形与三个正方形的面积和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，三边的长分别为、、，三边长一定， ∴根据，无论怎样画，这样的三角形都与全等， ∴这样的三角形形状大小都是一样的． 故答案为： （2）解：如图所示： 由勾股定理可知，，， ∴． 故答案为： （3）解：由图可知： ∴，， ∴． 故答案为： （4）解：∵正方形面积为；正方形面积为，正方形面积为9， ∴，，， ∴把图中六边形花坛在边长为的网格中画出，如图所示： ∴， ， ， ， ∴六边形花坛的面积． 故答案为： 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解． 根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为， ∵面积相等，即， 解得， 故选A． 2．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到，，，，然后通过勾股定理求出，四边形的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解：含有角的三角板和，， ，，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形的面积 ， 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 5．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为 ． 【答案】114 【分析】连接对角线分割成两个直角三角形．先在中用勾股定理求出 BD 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，最后分别计算两个三角形的面积并求和，得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接．在中，， ． ，，， ． 为直角三角形，且．． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，在中，，以，，向外作正方形，面积依次分别记为，，，若阴影部分面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，三角形的面积；由勾股定理结合正方形的面积可知，，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵在中，， 由勾股定理得，, 结合正方形的面积可知，即， 又∵阴影部分面积为12，阴影部分与以为边的正方形等底等高， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解含有的直角三角形，勾股定理的应用，解决本题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 先根据垂线段最短可得是点C到直线的最短距离，再根据特殊角可得，，再根据的长度，即可求解的长度，由此可解． 【详解】解：如图，作，垂足为E，交于P点，过P点作，垂足为Q，如图． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是点C到直线的最短距离， ∴就是的最小值， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 12．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【答案】(1)3 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得、是解题的关键． （1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边三角形的面积，结合勾股定理得出的，判断正误即可； （2）根据（1）的过程即可证明等边三角形、、之间的数量关系； （3）根据题意设出，，，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出来得到一个一元二次方程，再根据推断出m与a之间的关系，得到进而将看为一个整体进行求解即可． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． 【问题解决】 （1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理． （2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积． 【知识应用】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）1.2 【分析】本题考查了勾股定理的验证，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理解三角形的公式的应用． （1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可表示． （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积． （3）设，结合两个直角三角形由勾股定理列式求解x的值，再代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 梯形的面积为， ∴，即． （2）解：∵，，， 由勾股定理可得， ∵，， 满足，即， ∴阴影部分的面积为． （3）解：设千米，则千米， ∵，即， 在中，， 在中，， ∴，即， 整理可得， 解得， ∴千米， ∴（千米）， 则新修路的长为1.2千米． 故答案为：1.2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $