专题05 平面直角坐标系性质的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05平面直角坐标系性质的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 类型二、已知点所在的象限求参数 类型三、求点到坐标轴的距离 类型四、根据已知，点的坐标建立平面直角坐标系 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 类型六、求点在平面直角坐标系中的变换后坐标 类型七、平面直角坐标系中的变换作图 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 压轴专练 典例详解 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 方法总结 1.坐标定号：根据参数范围确定点坐标：，y)中x与y的正负号。 2.对照象限：第一象限(+，+)；第二象限(，+)；第三象限(，)：第四象限(+，)。 解题技巧 1.参数范围优先：先求出参数的取值范围，再判断坐标的符号。 2.边界检验：注意坐标轴上点(x=0或y0)不属于任何象限，需单独说明。 例1.(25-26八年级上广东佛山期末)若A3,m2+1是平面直角坐标系中的一点，则点A在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1-1】(25-26八年级上·河南平顶山期末)点M(2a,-4a+3)不可能在哪个象限() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式1-2】(25-26七年级上·山东济南期末)在平面直角坐标系中，已知点P(a+2,3a-1)在y轴上，则点 Qa,a+5)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】(2026八年级下·河北专题练习)若点P(x,y)满足x+y=0,则点P在() A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.坐标轴上 D.第二、四象限或原点上 类型二、已知点所在的象限求参数 方法总结 1.符号条件：根据象限确定坐标的符号范围（第一象限x>0,y>0:第二象限x<0,y>0;第三象限x <0,y<0;第四象限x>0,y<0)。 2.列不等式组：由坐标的符号要求，列出关于参数的不等式组并求解。 解题技巧 1.等号排除：注意象限内坐标均为非零实数，不等式不能包含等号（◇0或<0）。 2.数轴综合：将多个不等式解集在数轴上表示，取公共部分即为参数范围。 例2.(25-26八年级上·安徽合肥期末)点M(2a-6,a+2)在y轴上，则a= 【变式2-1】(25-26八年级上·山东潍坊月考)若点P(m+1,6-2m)在第二象限，则m的取值范围是 【变式2-2】(2026八年级下·河北专题练习)若点P(m+1,m-在x轴上，则m的值为 【变式2-3】(25-26七年级上山东淄博期末)平面直角坐标系中，点P(m+3,m-1)在第四象限且到x轴的 距离为1，则点P的坐标为 类型三、求点到坐标轴的距离 方法总结 1.点到x轴距离：y(纵坐标的绝对值)。 2.点到y轴距离：（横坐标的绝对值）。 解题技巧 1.取绝对值：无论点在何位置，距离总是非负数，直接取坐标的绝对值。 2.避免符号错：计算时先写出坐标，再分别加绝对值符号，不要代入符号计算。 例3.(25-26八年级上江苏南京·期末)在平面直角坐标系中，点P(5,-12)到x轴的距离为 【变式3-1】(25-26八年级下，全国课后作业)已知点A(3,-6),则点A到x轴的距离为」 ,到y轴 的距离为 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】(2026八年级上·陕西西安专题练习)已知点P(2a-3,6-α)在第一、三象限的角平分线上，则 a=- 【变式3-3】(25-26七年级下·全国·周测)P(a,-2+2)是第三象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离 之差为5，则点P的坐标为 类型四、根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 方法总结 1.定原点：通常选择已知点中的一个作为原点，或根据方便原则确定原点位置。 2.定轴定向：过原点作两条互相垂直的数轴，确定正方向（通常右为x轴正、上为y轴正）及单位长度 并标出其他点的坐标。 解题技巧 1.利用对称性：若己知点有对称关系，可将对称轴设为坐标轴，简化计算。 2.单位统一：确保所有点的坐标单位长度一致，避免比例失调导致坐标错误。 例4.（25-26八年级上·河南平顶山期中)如图，己知长方形ABCD的长与宽分别为6,4，建立适当的平面 直角坐标系，写出各个顶点的坐标： B D (①)如果以点C为坐标原点，分别以CD,CB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐 标分别为C(0,0),A),B(),D(): (2)如果以点A为坐标原点，分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐 标分别为A0,0),B(),C(,D: (3)你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标. 【变式4-1】(25-26八年级上·全国·随堂练习)如图是某公园的平面示意图，以中心广场所在的位置为坐标 原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系， 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y 北 音乐 湖心亭 牡丹园 市心产场 望春亭 游乐园 (1)写出其他五个景点的坐标： (2)请你另外建立适当的平面直角坐标系，并写出湖心亭、游乐园的坐标. 【变式4-2】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，在3×3的正方形网格中有四个格点（网格线交点）A, B,C,D.以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两 个点关于一条坐标轴对称. D (1)请在网格中建立平面直角坐标系. (2)①原点是格点 ②格点A,B,C,D中，关于坐标轴对称的两点是 (3)若格点A到x轴的距离为2，则格点D关于y轴对称的点的坐标为 【变式4-3】(24-25七年级下·福建厦门期中)如图，点A,B,C,D,E,F,G为正方形网格图中的7个 格点.建立平面直角坐标系，使点B,G的坐标分别为(-3，-2)和(-2,3). (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (②)写出图中七个点中在第四象限的点及其坐标： 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)正方形ABFG的边长是 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 方法总结 1.象限特征：根据坐标符号确定点所在象限（第一象限(+，+）；第二象限(，+)；第三象限(，)；第四 象限(+，))。 2.特殊位置：坐标轴上点特征：x轴点(a,0),y轴点(0，b);原点(0,0)。 解题技巧 1. 符号优先：先判断参数范围确定坐标符号，再定位象限。 2.等号排除：象限内坐标不含0，轴上的点不含等号(x=0或y=0)。 例5.（25-26七年级下全国周测)在平面直角坐标系中，点M的坐标为m-2,2m-7),点N的坐标为 (n,3). (I)若M在x轴上，求m的值； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值； (3)若MN∥y轴，点M在点N的上方，且MN=2,求的值. 【变式5-1】(25-26八年级上浙江金华期末)己知点P(a-1,6+2a,解答下列问题： (I)若点P在y轴上，求a的值， (2)若点Q5,10),且P0∥x轴，求线段P9的长. 【变式5-2】(25-26八年级上浙江杭州期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为2m-6,m+2). (1)若将点P向下平移6个单位得到点Q,此时P,Q两点关于x轴对称，求点P的坐标. (2)若点P在第二象限，且点P到x轴和y轴的距离之和为6，求m的值。 【变式5-3】(25-26八年级上河北石家庄·月考)已知点M(3a-2,a+6. (1)若点M在x轴上，请求出点M的坐标； (2)若点M在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等，请求出点M的坐标； (3)当a=1时，若MN∥y轴，且MN=2,写出点N的坐标. 类型六、求点在平面直角坐标系中的变换后坐标 方法总结 5/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.平移变换：x=x士a(左减右加)，y=y士b(上加下减)。 2.旋转变换(90°、180°)：绕原点旋转90°：(xy)→(y,x)或y,x)(视顺逆时针)；旋转180°： (x,y)。 解题技巧 1.先转后移：若先移后转易混淆，建议先旋转再平移，按顺序分步操作。 2.画图辅助：画出点及旋转方向，直观判断新坐标的符号变化。 例6.(25-26八年级上·江苏泰州期末)在平面直角坐标系中，已知点Aα，2)关于x轴的对称点B的坐标为 (-3,b,则a+b的值为一 【变式6-1】(25-26八年级上山东威海期末)在平面直角坐标系中，点A2,1),点B(3,-1),平移线段 AB,使点A落在点A,(-2,2)处，则点B的对应点B的坐标为 【变式6-2】(25-26九年级上山东泰安期末)在平面直角坐标系中，将点ML,2)绕原点逆时针旋转90°， 得到的对应点M'的坐标是 【变式6-3】(25-26八年级上江苏南京期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A-3,1、B(-2,4)、 C(1,)、D(4,0).若线段CD绕点P旋转后能与线段AB重合，则点P的坐标为 24 类型七、平面直角坐标系中的变换作图 方法总结 1.平移作图：将图形各顶点按平移方向与距离移动，连接对应点。 2.旋转作图：确定旋转中心、方向和角度，作各顶点对应点，再连接。 解题技巧 1.顶点优先：只需确定各顶点变换后的坐标，再依次连线即可。 2.旋转辅助：旋转时可用量角器或三角板辅助，确保角度准确。 例7.(25-26九年级上·河南洛阳期末)如图所示的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，请在所给直 角坐标系中按要求画图和解答下列问题： 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)请画出ABC关于坐标原点O成中心对称的△A,B,C,; (2)若ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB,C2,写出点C,的坐标； (3)若将ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A(1,0),B,3,-1,C,2,-3),则旋转中心的坐 标为 【变式7-1】(25-26八年级上江苏泰州期末)如图，在平面直角坐标系中，A(3,4),B(4,2),C(1,1. 5-4-321912345六 (1)画出ABC关于y轴的对称图形△A,B,C; (2)画出△A,B,C,沿y轴向下平移5个单位长度后得到的△A,B,C2; (3)若线段BC上有一点M(a,b)经过上述两次变换，则对应的点M'的坐标是 【变式7-2】(25-26九年级上江西上饶期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点的坐标分别是 A-1,1,B-4,2,C-3,4). 7/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 4 3 2 A 543219 12345x 12 3 (I)将ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△AB,C: (2)平移ABC,若A的对应点4的坐标为3,3)，画出平移后的△4，B,C2: (3)若将△4，B,C2绕某一点旋转可以得到△AB,C,，请直接写出旋转中心的坐标为 【变式7-3】(25-26八年级上，安微安庆期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC各顶点的坐标分别为 A-2,-2),B(-4,-1,C-4,-4). 4 3 2 X 5 4-3-2-1. 01 2345 A-2 A (1)画出ABC向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的△AB,C; (2)作出点A关于x轴的对称点.若把点A向右平移Q个单位长度后落在△A,B,C的内部（不包括顶点和边 界)，请写出满足条件的a的取值范围 ； (3)在x轴上画出点P,使PA+PB的值最小， 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 方法总结 1. 规则图形：直接套用面积公式（如三角形底×高：2、矩形长×宽）。 2.不规则图形：采用割补法（分割成规则图形求和）或围补法（补成规则图形求差）。 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题技巧 1.坐标定底高：在坐标系中，优先选平行于坐标轴的边为底，高即纵（横）坐标差绝对值。 2. 铅垂高法：三角形面积也可用“水平宽×铅垂高：2”（过顶点作x轴垂线分割）。 例8.(24-25七年级下江西宜春期末)如图1，在平面直角坐标系中，0为原点，已知A(0,a,B(b,n, 且a,b满足关系式：√a-3+(b-2)2=0,其中n>0,连接AB,OB VA D 图1 图2 (1)填空：a=,b= ,三角形AOB的面积是 (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接AC,延长AB与x轴相交于点D. ①当三角形AOC的面积与三角形AOB的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形OBD的面积等于三角形AOB面积的一半，三角形ACD的面积等于12，求点B,C,D的坐标. 【变式8-1】(25-26八年级上·湖北荆州月考)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,6),点B在x轴的负半 轴上，AOB的面积等于18. A B 图1 图2 (I)求点B的坐标： (②)如图1，点P从点A出发，沿y轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为t,试用含t 的式子表示Sp(SP表示△BOP的面积)，并直接写出t的取值范围； (3)如图2，若点P在AO上，点Q在BO上，AQ与BP交于点C,过点B作BH⊥AQ交直线AQ于点H,交 y轴于点D,当△BHC的面积等于△OHC的面积时，求点D的坐标. 【变式8-2】(24-25七年级下·重庆·月考)如图，在平面直角坐标系中，长方形0ABC的顶点A、C分别在x 轴、y轴上，CB∥x轴，AB⊥x轴，点B的坐标为(a,b),且a=√b-6+V12-2b+12 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A (I)请直接写出点A、B、C的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的aOPC的面 积是长方形0ABC面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间： (3)在(2)的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q,连接P2,使△CPQ的面积与长方形 OABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】(24-25七年级下湖北宜昌期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知A(8,4),Ca,0),过点 A作AB⊥x轴，垂足为点B,点B,C分别在原点两侧，且B,C两点间的距离等于10个单位长度. D B B主 (图1) (图2) (备用图) (1)填空：a= ,点B的坐标为 E点M,使三角形4OM的面积是三角形ABC的面积的，若存 点M的坐标；若不存在，请说明理由。 (3)如图2，过点A作AD⊥y轴，垂足为点D,线段BD上有一点Em,n,且m,n满足m-n=5,点E到 x轴的距离为1，点F在y轴负半轴上，连接EF交x轴于H点，当三角形EBH面积与三角形FOH的面积 相等时，求F点的坐标， (4)P,Q为两动点，其中点P从A点出发以每秒3个单位长度的速度沿AB→B0运动，到达O点停止运动； 同时点Q从B点出发以每秒1个单位长度的速度沿着BO向O点运动，到达O点停止运动.设运动时间为t, 当P点在BO（含B,O两个端点)上时，若存在t值，使A,P,Q三点构成的三角形面积为3，请直接写 出所有符合条件的t值. 10/14 专题05 平面直角坐标系性质的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 类型二、已知点所在的象限求参数 类型三、求点到坐标轴的距离 类型四、根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 类型六、求点在平面直角坐标系中的变换后坐标 类型七、平面直角坐标系中的变换作图 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 压轴专练 类型一、含参数问题中判断点所在的象限 方法总结 1. 坐标定号：根据参数范围确定点坐标(x, y) 中x与y的正负号。 2. 对照象限：第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)。 解题技巧 1. 参数范围优先：先求出参数的取值范围，再判断坐标的符号。 2. 边界检验：注意坐标轴上点(x=0或y=0)不属于任何象限，需单独说明。 例1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）若是平面直角坐标系中的一点，则点A在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标符号判断象限，横坐标为正，纵坐标恒为正，故点在第一象限． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第一象限． 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）点不可能在哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是判断点所在的象限，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特点． 通过分析点与的关系，判断点可能出现的象限． 【详解】解：若，则，， 时，，此时点在第一象限； 时，，此时点在第四象限； 若，则，，， 此时点在第二象限； 综上，点不可能在第三象限． 故选：． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点P在y轴上，其横坐标为0，求出a的值，再代入点Q的坐标，根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴横坐标， 解得， ∴点Q的坐标为，即． ∵横坐标，纵坐标， ∴点Q在第二象限． 故选：B． 【变式1-3】（2026八年级下·河北·专题练习）若点满足，则点在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．坐标轴上 D．第二、四象限或原点上 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标符号特征，由已知可得，再根据不同象限及原点的坐标特征判断点的位置即可求解，熟记各象限内点的坐标符号特征是解的关键． 【详解】解：∵， ∴ ①当时，，此时点为原点； ②当时，，此时点的横坐标为正数，纵坐标为负数，在第四象限； ③当时，，此时点的横坐标为负数，纵坐标为正数，在第二象限； 综上，点在第二、四象限或原点上， 故选：． 类型二、已知点所在的象限求参数 方法总结 1. 符号条件：根据象限确定坐标的符号范围（第一象限x>0,y>0；第二象限x<0,y>0；第三象限x<0,y<0；第四象限x>0,y<0）。 2. 列不等式组：由坐标的符号要求，列出关于参数的不等式组并求解。 解题技巧 1. 等号排除：注意象限内坐标均为非零实数，不等式不能包含等号(>0 或<0）。 2. 数轴综合：将多个不等式解集在数轴上表示，取公共部分即为参数范围。 例2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）点在轴上，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 根据y轴上的点横坐标为0，可得，进行计算即可解答． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得 ． 故答案为：3 【变式2-1】（25-26八年级上·山东潍坊·月考）若点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【变式2-2】（2026八年级下·河北·专题练习）若点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点纵坐标为列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东淄博·期末）平面直角坐标系中，点在第四象限且到轴的距离为1，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离． 根据点在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，且到轴的距离为纵坐标的绝对值，结合给定条件列方程求解，进而可求点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴且， 即， 又∵点到轴的距离为1， ∴， 解得：（舍去）或， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 类型三、求点到坐标轴的距离 方法总结 1. 点到 x 轴距离：|y|（纵坐标的绝对值）。 2. 点到 y 轴距离：|x|（横坐标的绝对值）。 解题技巧 1. 取绝对值：无论点在何位置，距离总是非负数，直接取坐标的绝对值。 2. 避免符号错：计算时先写出坐标，再分别加绝对值符号，不要代入符号计算。 例3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值． 【详解】解：点的纵坐标为， ， 点到轴的距离为． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，则点A到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值． 根据平面直角坐标系中点的坐标几何意义进行解答即可． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：，． 【变式3-2】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，角平分线的性质．点在第一、三象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等，据此列出方程求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， 点到坐标轴的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级下·全国·周测）是第三象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之差为5，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征、点到坐标轴的距离公式、绝对值方程的解法，掌握第三象限点横纵坐标均为负，点到坐标轴的距离等于对应坐标的绝对值是解题的关键． 根据第三象限点的坐标特征，横纵坐标均为负，利用点到坐标轴的距离公式列方程求解． 【详解】解：∵ 点在第三象限 ∴且， 由解得， 故的取值范围为 ∵点到轴的距离为 ，到轴的距离为 ∴当时，到y轴的距离为，到轴的距离为 ∵两距离之差为5 ∴，即 ∴或 解得或 ∵ ∴舍去，取 ∴点的坐标为，即 故答案为：． 类型四、根据已知点的坐标建立平面直角坐标系 方法总结 1. 定原点：通常选择已知点中的一个作为原点，或根据方便原则确定原点位置。 2. 定轴定向：过原点作两条互相垂直的数轴，确定正方向（通常右为x轴正、上为y轴正）及单位长度，并标出其他点的坐标。 解题技巧 1. 利用对称性：若已知点有对称关系，可将对称轴设为坐标轴，简化计算。 2. 单位统一：确保所有点的坐标单位长度一致，避免比例失调导致坐标错误。 例4．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，已知长方形的长与宽分别为6，4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标： (1)如果以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，； (2)如果以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为； (3)你还有其他不同的方案吗？请写出一种方案和各顶点坐标． 【答案】(1)；； (2)；； (3)能，方案见解析， 【分析】本题考查了图形顶点坐标．熟练掌握矩形性质，根据矩形特点建立适当坐标系，写出矩形顶点坐标，是解题的关键． （1）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点A、B、D的坐标． （2）根据题意，建立相应的直角坐标系，表示出点B、C、D的坐标． （3）合理建立直角坐标系，表示出点A、B、C、D的坐标． 【详解】（1）解：以点C为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则各个顶点的坐标分别为，. 故答案为：；；． （2）解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 故答案为：；；． （3）解：以点D为坐标原点，分别以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则各个顶点的坐标分别为． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是某公园的平面示意图，以中心广场所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系． (1)写出其他五个景点的坐标； (2)请你另外建立适当的平面直角坐标系，并写出湖心亭、游乐园的坐标． 【答案】(1)湖心亭，望春亭，音乐台，牡丹园，游乐园 (2)见解析，湖心亭，游乐园 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标的定义，以原点为基准，通过点在水平和垂直方向上的位置来确定其坐标． （）确定各点坐标：对于每个景点，通过观察其在轴和轴上的投影位置(即距离原点的水平和垂直单位长度，以及方向正负)，确定有序数对(横坐标，纵坐标)； （）重新设定原点 和单位长度(或坐标轴方向)，再按上 述方法确定湖心亭和游乐园的新坐标， 体现坐标系建立的灵活性； 【详解】（1）解：湖心亭，望春亭，音乐台，牡丹园，游乐园． （2）建立平面直角坐标系如图．湖心亭，游乐园．（答案不唯一） 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中有四个格点（网格线交点）A，B，C，D．以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称． (1)请在网格中建立平面直角坐标系． (2)①原点是格点________； ②格点A，B，C，D中，关于坐标轴对称的两点是________． (3)若格点A到x轴的距离为2，则格点D关于y轴对称的点的坐标为________． 【答案】(1) (2)①B  ②A和C (3) 【分析】本题主要考查的是坐标与图形的性质，依据轴对称图形的性质和等腰直角三角形的性质确定出原点的位置和点的位置是解题的关键． （1）以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案； （2）①由（1）可得原点是格点；②由（1）可得点和点关于轴对称； （3）根据格点到轴的距离为，得到格点的坐标，即可求出格点关于轴对称的点的坐标． 【详解】（1）解：当以点为原点时，设每个小正方形的边长均为时，则，，那么点和点关于轴对称，如图所示： （2）解：①由（1）可得原点是格点； ②由（1）可得点和点关于轴对称，所以关于坐标轴对称的两点是点和点； 故答案为：① ②和． （3）解：若格点到轴的距离为，那么每个小正方形的边长均为， 则格点的坐标为：，格点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，G的坐标分别为和． (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)写出图中七个点中在第四象限的点及其坐标； (3)正方形的边长是__________． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，平面直角坐标系中的坐标，勾股定理． （1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的平面直角坐标系结合图形即可得解； （3）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵点B，G的坐标分别为和， ∴建立平面直角坐标系如图： ； （2）解：由图可得：在第四象限的点的坐标为，． （3）由勾股定理得：正方形的边长是， 故答案为：． 类型五、平面直角坐标系中点的特征求解 方法总结 1. 象限特征：根据坐标符号确定点所在象限（第一象限(+,+)；第二象限(-,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-))。 2. 特殊位置：坐标轴上点特征：x轴点(a,0)，y轴点(0,b)；原点(0,0)。 解题技巧 1. 符号优先：先判断参数范围确定坐标符号，再定位象限。 2. 等号排除：象限内坐标不含0，轴上的点不含等号（x=0或y=0）。 例5．（25-26七年级下·全国·周测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)若在轴上，求的值； (2)若点到轴、轴的距离相等，求的值； (3)若轴，点在点的上方，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了坐标与距离，熟练掌握点坐标的特点是解题的关键； （1）（2）根据题干所给的点M的位置特征，得出方程，求得m的值； （3）根据平行得出点M与点N横坐标相同，再结合及点M在点N的上方即可求得n的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． （2）解：点到轴、轴的距离相等， ， 即或， 解得或， （3）解：轴，且，点在点的上方， ，， 解得， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知点，解答下列问题： (1)若点在轴上，求的值． (2)若点，且轴，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是运用平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题． （1）根据“轴上的点横坐标为0”列式计算即可求解； （2）根据“轴时，纵坐标相等” 列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴 上， ∴， 解得， （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． ∴的长为 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可； （2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵，两点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴和轴的距离之和为6， ∴， 解得：． 【变式5-3】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知点． (1)若点在轴上，请求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，请求出点的坐标； (3)当时，若轴，且，写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距离相等的点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标为0求解即可； （2）根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组求出的取值范围，再根据点到轴、轴的距离相等建立方程求解即可； （3）先求出点坐标，根据轴得到横坐标相等，再由即求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴、轴的距离相等 ∴ ∴ ∴，， ∴； （3）解：当时，， ∴ ∵，轴， ∴或， ∴或 类型六、求点在平面直角坐标系中的变换后坐标 方法总结 1. 平移变换：x' = x a（左减右加），y' = y b（上加下减）。 2. 旋转变换（90°、180°）：绕原点旋转90°：(x,y) (-y,x)\) 或(y,-x)（视顺逆时针）；旋转180°：(-x,-y)。 解题技巧 1. 先转后移：若先移后转易混淆，建议先旋转再平移，按顺序分步操作。 2. 画图辅助：画出点及旋转方向，直观判断新坐标的符号变化。 例6．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点B的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形——轴对称变换，根据关于x轴的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数求解a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点B的坐标为， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角． 根据题意画出图形，再利用旋转的性质得到条件证明，即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点， ∵， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 类型七、平面直角坐标系中的变换作图 方法总结 1. 平移作图：将图形各顶点按平移方向与距离移动，连接对应点。 2. 旋转作图：确定旋转中心、方向和角度，作各顶点对应点，再连接。 解题技巧 1. 顶点优先：只需确定各顶点变换后的坐标，再依次连线即可。 2. 旋转辅助：旋转时可用量角器或三角板辅助，确保角度准确。 例7．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)请画出关于坐标原点成中心对称的； (2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____； (3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示： （2）解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为：； （3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为： 【变式7-1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)画出沿y轴向下平移5个单位长度后得到的； (3)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，掌握轴对称变换和平移变换的性质是解题的关键． （1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移5个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据轴对称和平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：点经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． (1)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； (2)作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部(不包括顶点和边界)，请写出满足条件的的取值范围______； (3)在轴上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、关于轴对称的点的坐标特征、平移后点的位置范围以及最短路径问题． （1）根据“上加下减纵坐标，右加左减横坐标”的平移规则，计算出各顶点平移后的坐标，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再写出平移后点的坐标，结合的顶点坐标分析该点在内部时横坐标的范围，进而求解的取值范围； （3）利用将军饮马模型，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，依据是两点之间线段最短． 【详解】（1）解：根据平移规则：向上平移4个单位则纵坐标加4，向右平移5个单位则横坐标加5． 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 顺次连接、、，得到如图所示： （2）解：点关于轴的对称点； 将向右平移个单位长度后得到的点坐标为； 要使该点落在的内部(不包括顶点和边界)，观察的顶点坐标、、： 当纵坐标为2时，内部的点横坐标需满足，解得； 故答案为：． （3）解：作点关于轴的对称点；连接，与轴交于点，点即为所求． 类型八、在平面直角坐标系中求图形的面积 方法总结 1. 规则图形：直接套用面积公式（如三角形底×高÷2、矩形长×宽）。 2. 不规则图形：采用割补法（分割成规则图形求和）或围补法（补成规则图形求差）。 解题技巧 1. 坐标定底高：在坐标系中，优先选平行于坐标轴的边为底，高即纵（横）坐标差绝对值。 2. 铅垂高法：三角形面积也可用“水平宽×铅垂高÷2”（过顶点作x轴垂线分割）。 例8．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)①；②，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； （2）解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北荆州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴的负半轴上，的面积等于18． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴负方向运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为，试用含的式子表示（表示的面积），并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点C，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质． （1）先求出，根据三角形面积公式求出，最后根据点B在x轴的负半轴上即可求出点的坐标； （2）分点P在上、点P在的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算即可； （3）过点作于，根据三角形面积公式求出，证明，，得到，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：， 点B在x轴的负半轴上， 点B的坐标为； （2）解：当点P在上时， 当点P在的延长线上时， ∴ （3）解：过点作于， ， ， ， ， 在和中， （）， ， ， ， 在和中， （）， ， 点D的坐标为． 【变式8-2】（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点分别在x轴、y轴上，轴，轴，点B的坐标为，且 (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点P从原点O出发，沿x轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，在运动过程中形成的的面积是长方形面积的时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，点P停止运动后，在y轴上是否存在一点Q，连接，使的面积与长方形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由算术平方根的性质求出，，得出，，即可得出答案； （2）设点的运动时间为，则，由面积关系得出，得出即可； （3）由（2）得，①当点在点的上方时，由面积关系得出，求出，则，得出；②当点在点的下方时，由面积关系得出，求出，则，得出即可． 【详解】（1）， ，， ， ， 轴，轴， ，， ； （2）设点的运动时间为，则，如图1所示： ，， ， ， 解得：， 点的运动时间为； （3）存在；理由如下： 由（2）得：， ①当点在点的上方时，如图2所示： ， ， ， ， ； ②当点在点的下方时，如图3所示： ， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为：或． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴，垂足为点．点B，C分别在原点两侧，且B，C两点间的距离等于10个单位长度． (1)填空：_____，点的坐标为_____； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且m，n满足，点到轴的距离为1，点在轴负半轴上，连接交轴于点，当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． (4)P，Q为两动点，其中点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，到达点停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿着向点运动，到达点停止运动．设运动时间为，当点在（含B，O两个端点）上时，若存在值，使A，P，Q三点构成的三角形面积为3，请直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、三角形的面积公式、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据三角形的面积公式即可求解； （3）由题意得，根据点的坐标特征求出的值，由得到，再利用三角形面积公式求出的长，即可求出点的坐标； （4）分2种情况讨论：①当时；②当时，分别表示出的长，再利用三角形面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴综上所述，，点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：存在， 由题意得：， ∴， 解得， ∴或； （3）解：轴，， ， 点到轴的距离为1，在第一象限， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得：，， 则点运动的时间为秒，点运动到点的时间为秒，点运动的时间为8秒， ①当时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：； 综上，当在上时，取或时，三角形的面积为3． 一、单选题 1．（2026八年级下·河北·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．点在x轴上 B．点到x轴的距离是 C．点在y轴上 D．点既在x轴上，也在y轴上 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征及点到坐标轴的距离定义．根据坐标轴上点的坐标特征及点到坐标轴的距离定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、点在y轴上，故本选项错误，不符合题意； B、点到x轴的距离是1，故本选项错误，不符合题意； C、点在x轴上，故本选项错误，不符合题意； D、点既在x轴上，也在y轴上，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．（2026八年级下·河北·专题练习）已知点在第四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据第四象限内点的横坐标大于0、纵坐标小于0的性质，列不等式组求解的取值范围，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解可得， 解可得， 故m的取值范围是， 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，代数求值，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标特征． 根据y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点B的坐标，根据坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点B在第二象限． 故选：B． 4．（25-26九年级上·全国·期末）已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的特点，有理数的乘方运算，根据点关于原点对称，则横坐标、纵坐标均为相反数，根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴（横纵坐标均互为相反数）， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质．先根据旋转性质确定线段长度与角度关系，再构造等腰直角三角形，利用边角关系求出点到坐标轴的距离，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，∵三角板绕原点顺时针旋转得到， ∴，． ∵， ∴． 过点作于，则， 在中，，， ∴，即为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标为； 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）点不可能在第 象限． 【答案】二/2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．直接利用四个象限内点的坐标特点分析得出答案即可． 【详解】解：假设点在第一象限，则，解得， 故点可能在第一象限； 假设点在第二象限，则，不等式组无解， 故点不可能在第二象限； 假设点在第三象限，则，解得， 故点可能在第三象限； 假设点在第四象限，则，解得， 故点可能在第四象限． 故答案为：二． 7．（25-26九年级上·广东惠州·期末）已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 2026 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握“两点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数”这一性质． 根据关于原点对称的坐标性质，得到与互为相反数，与互为相反数；求出、的值后，计算mn的乘积． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称， ∴ ． ∴ ． 故答案为：2026． 8．（25-26九年级上·陕西延安·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图，这是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，且点的坐标分别为，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：根据点的坐标分别为，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴当放入白子的位置在点处时，是中心对称图形． 故答案为： 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴正半轴上的点，且．P是第一象限内一点，连接，，且，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质．先判断得到点在线段的垂直平分线上，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ∴， ∴， 由两点之间线段最短知此时的值最小， ∵点与点关于直线对称， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，，则满足的点D的纵坐标是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了坐标与图形，将各点描在平面直角坐标系中，先计算的面积，再根据，并结合，计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将、、描在平面直角坐标系中如图所示： ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴则满足的点D的纵坐标是3或， 故答案为：3或 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东泰安·期末）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4： (3)点在第二、四象限的角平分线上； (4)点到轴的距离为3． 【答案】(1)点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)点的坐标是 (4)点或． 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据x轴上的点的纵坐标为0得到，求出，进而求解即可； （2）根据题意得到，求出，进而求解即可； （3）根据题意得到，求出，进而求解即可； （4）根据题意得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， ， 点的坐标是； （2）解：点的横坐标比纵坐标小4， ， ， ，， 点的坐标是； （3）解：点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ，， 点的坐标是； （4）解：点到轴的距离为3 ∴ 或． 当时，点， 当时，点． 12．（25-26八年级上·安徽池州·期末）在平面直角坐标系中，已知点和点 (1)若轴，求的值； (2)若将点向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到点，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据横坐标相等，构建方程求解； （2）利用平移变换的规律，构建方程组求解． 【详解】（1）解：轴， ， ． （2）解：将点向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到点的坐标为，   ， ，． 13．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，其中点，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点顺时针旋转得到的，其中点，，的对应点分别为点，，； (3)直接写出点的坐标________，点的坐标________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握平移和旋转的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据图形直接写出点、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3）解：由图可得，点的坐标，点的坐标． 14．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，，点A的坐标为 (1)填空：点B的坐标为 ； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若在y轴上是否存在点Q，使得的面积与的面积相等，请求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，梯形的面积，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行于x轴的直线上的点的特征求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）当时，，的面积为，过M作于N，设交y轴于C，连接，，分别求出，，则可判断Q不在线段上，设，分两种情况讨论：①当Q在C的上方时，②当Q在N下方时，利用割补法表示出的面积，从而构建关于n的方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为，且B在A的右侧， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵在第三象限，，点A的坐标为，轴， ∴的面积为； （3）解：当时，，的面积为， 过M作轴于N，设交y轴于C，连接，，如图所示： 则，， ∴Q不在线段上， 设， ①当Q在C的上方时，如图，过Q作轴，过B作于E，过M作于F， 则，，，， ∴， 解得， ∴； 当Q在N下方时，如图，过Q作轴，过B作于E，过M作于F， 则，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，当Q的坐标为或时，的面积与的面积相等． 15．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与探究 【问题背景】 一节数学课上，刘老师提出这样一个问题： 平面直角坐标系中，满足． 【初步探究】 （1）求A，B两点的坐标； 【深入研究】 （2）将线段平移得到，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．如图1，连接交于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值； 【学以致用】 （3）如图2，在平面直角坐标系中，，点是坐标平面内的动点，若满足，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）1；（3），且 【分析】本题考查平面直角坐标系，点的平移，三角形面积，梯形面积； （1）由，，可得a、b的值，即可求出A，B两点的坐标； （2）设，由平移的性质得，由可得，即可求出； （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N，由可得，，，即，利用可得当时，或，所以当时，且点F与点不能重合所以且． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴，解得：， ∴． （2）设， ∵将线段平移得到，． ∴由平移的性质得， 过D作轴于P， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． （3）设直线交直线于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线于M，N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴，且． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $