专题03 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

专题03 分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 类型一、解分式方程 1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1．（25-26八年级上·全国·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解：方程两边乘，得， ， ， 经检验，时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘，得， ， ， ， 经检验，时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 【变式1-1】（25-26八年级上·重庆南川·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘以，移项，合并同类项，化系数为1，最后再检验即可． （2）方程两边同时乘以，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，最后再检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 移项得： 合并同类项得： 化系数为1得： 当时，， 故原分式方程的解为：； （2）解： 方程两边同时乘以得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 化系数为得1： 当时，， 故原分式方程无解． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得： 移项并合并同类项可得： 解得： 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母可得： 去括号可得： 移项并合并同类项可得： 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【变式1-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先两边同时乘以，转化为一元一次方程后求解并检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴该方程无解． （2）解：， 去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴该方程的解为． 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出"小明"或"小红"是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照**"去分母、解整式方程、检验"**的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 例2．对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式2-1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【变式2-2】佳佳计算分式方程的过程如下： 解方程： 去分母，得             第①步 移项，得              第②步 合并同类项，得              第③步 系数化1，得                     第④步 经检验，是该分式方程的解． (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①， 则正确的是：去分母得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是该分式方程的解． 【变式2-3】解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【答案】（1）二，等式的性质2；（2）三，去括号时忘记变号；（3）；（4）见解析 【分析】本题考查解分式方程．根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可． 【详解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变， 故答案为：二，等式的性质2； （2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了， 故答案为：三，去括号时忘记变号； （3）， ， ， ， 解得：， 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解； （4）最后一步忘记检验 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解． 类型三、已知分式方程的增根求参数 1. 确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选"。 这一步是解题的关键前提。 2. 代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3. 结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3．关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 【变式3-1】若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】当 时，方程会产生增根． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 【变式3-3】若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是  0x = 非零数  的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮"已知增根求参数"是一样的。 例4．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 【变式4-1】如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 【变式4-2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 【变式4-3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的"先解方程，后代入"思路。 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： - 情况一：转化后的整式方程本身无解。 - 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解 > 0 或解 < 0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 例5．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 【变式5-1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式5-2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 【变式5-3】已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，再求b． （2）先表示分式方程的解，再求范围． 【详解】（1） 方程两边同乘得：． ∴． 方程无解， ， ． ∴． ∴． 故答案为：． （2）由（1）知：． ∴． 方程的解是非负数． ∴． ∴． ， ∴ ． ∴． ∴且 故答案为：且． 类型六、分式方程中的规律探究问题 1. 解前几个方程，找规律：题目通常会给你 n=1, n=2, n=3... 时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号 n 放在一起观察。 2. 猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号 n 之间有什么联系。 试着用含 n 的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3. 验证规律的正确性：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 来验证一下。 把 n 值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 例6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 【变式6-1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式6-2】（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 类型七、分式方程中的新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3. 求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解的有效性，避免出现增根。 例7．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式7-2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）新定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”．若不是，打“”． ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ， 解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤．解分式方程，得到解x关于k的表达式，根据解为非负数且分母不为零，得到k的取值范围． 【详解】解：， 两边乘以，得， 解得， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴k的取值范围是且， 故选：D． 4．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·福建厦门·期末）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 将分式方程两边通分后交叉相乘，化为整式方程求解，并检验分母是否为零． 【详解】解： ， ， ， ， ， 检验：当时，分母且， 故原方程的解为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）关于x的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件． 先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴有增根， ∴代入，得， 解得，． 故答案为：4． 8．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）关于的方程的解为正数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到，再根据解为正数且方程不能有增根，列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， ∵关于的方程的解为正数， ∴， ∴； 又∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， 综上所述，且， 故答案为：且． 10．（24-25八年级上·湖南张家界·期中）观察下列等式的规律，并回答下列问题： ； ； ； 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，分析等式特点得到规律，应用规律到方程是解决本题的关键．先根据上面的规律化简方程，解分式方程求出解，检验得结论． 【详解】解：， ， ， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东聊城·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： ， 去分母得：， 解得， 检验，当时，， 原分式方程的解是； （2）解：， 去分母得：， 解得， 检验：当时，最简公分母， 原分式方程无解． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）小珍解方程过程如下： 解：去分母，得……第一步 去括号，得 ……第二步 合并同类项，得……第三步 解得 ……第四步 检验：当时， 不是分式方程的根，原分式方程无解．……第五步 (1)你认为小珍从第______步出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)，过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．注意：解分式方程，最后需要检验，避免出现增根． （1）根据解题过程逐步判断解答； （2）根据解分式方程的步骤写出正确的解答过程即可． 【详解】（1）解：小珍从第一步出现错误，去分母时，方程右边没有乘以公分母， 故答案为：第一步 （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 13．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 14．（25-26八年级上·河北沧州·月考）计算 （1）解下列方程，直接填空： ①的解为　　　； ②的解为　　　； ③的解为　　　； ④的解为　　　； ...... 归纳 （2）请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解； 总结 （3）请用一个含正整数n的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解． 【答案】（1）①0，②1，③2，④3；（2），；（3）， 【分析】本题考查了分式方程的求解及规律探究． （1）根据解分式方程的法则分别进行求解即可； （2）观察上述方程及解的规律可得到第⑥个方程并求解即可； （3）根据上述规律，第n个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【详解】解：（1）①方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ②方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ③方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； ④方程两边都乘以得：，解得， 经检验是原分式方程的解； 故答案为：①0，②1，③2，④3． （2）第⑥个方程为， 解得． （3）第n个方程为， 方程两边同乘，得，解得， 经检验是原分式方程的解． 15．（25-26八年级上·全国·期末）探索规律： (1)直接写出计算结果： = ． (2)仿照（1）的方法探究可知， 可变形为 ． (3)运用规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法及分式方程的求解，解题的关键是掌握裂项公式，并利用其化简计算． （1）利用裂项相消法，将每一项拆分为两个分数的差，再抵消中间项计算； （2）仿照（1）的方法探究可得出的变形形式； （3）先利用裂项相消法化简方程左边，再解分式方程并检验． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：原方程可化为 ， 即， ∴， 即． 两边同乘（)得，， 解得． 检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解． 答：原方程的解为． 16．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． (1)判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（  ） ②分式 与 互为和谐分式；（  ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（  ） (2)当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； (3)已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】(1)① ×；②√；③ × (2) (3)或 或或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； （2）解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； （3）解：∵与互为和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03分式方程与参数、规律、新定义型问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、解分式方程 类型二、解分式方程错解复原问题 类型三、已知分式方程的增根求参数 类型四、已知分式方程的无解求参数 类型五、根据分式方程解的情况求值 类型六、分式方程中的规律探究问题 类型七、分式方程中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、解分式方程 1.去分母，化为整式方程：首先找到所有分母的最简公分母。然后方程两边同时乘以这个最简公分母。 这样可以消去所有分母，把方程变成一个整式方程。 2.解这个整式方程：用学过的方法解这个整式方程，求出未知数的值。 3.检验根的有效性：这是最关键的一步。把求出的未知数的值代入最简公分母。如果结果不等于0，这个 解就是原分式方程的解。如果等于0，这个解就是增根，原方程无解。 例1.(25-26八年级上·全国期末)解分式方程： ①32 xx+1 @23= 1-x 【变式1-1】(25-26八年级上重庆南川期末)解分式方程： 0) 1=3x x+2 2x+45 1 2= 【变式1-2】(25-26八年级上全国期末)解方程： 0-2-x2=1-x 2-xx-2 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 43 xx 【变式1-3】(25-26八年级上湖南长沙期末)解方程： 0222 ②).x2-1= 3 x-2 x2-41 类型二、解分式方程错解复原问题 1.定位错误，反推条件：仔细阅读题目，找出”小明”或”小红”是在哪一步出错的。 通常是去分母时漏乘了不含分母的项，或忘记检验导致保留了增根。 顺着他的错误步骤和得到的结果，反向推算出题目中隐藏的关键信息。 2.使用正确条件，重新求解：拿到正确的条件后，把它当作一道全新的解分式方程问题。 完全忘掉之前的错误解法，按照*”去分母、解整式方程、检验”*的正确步骤重新解一遍。 3.得出正确答案：最后，根据正确的解题过程，得出原分式方程的正确解。 例2。对于分式方程2=士+1的求解过程，小叶同学的解答如下. x+1x+1 解：方程两边园桑x+,得x+子++ 第一步 x+1 2=x+1, 第二步 x=1 第三步 检验，当x=1时，x+1=2≠0， 所以，x=1是分式方程的解. 第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程 【变式2-1】下面是小亮同学解方程，1=3-- 的过程，请阅读并完成相应任务. 2-xx-2 解：去分母得，1=3+(x-1,第一步， 去括号得，1=3+x-1,第二步， 解得，x=-1.第三步， 检验：当x=-1时，2-x≠0，第四步， x=-1是原方程的根，第五步 任务： 2/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)小亮同学的求解过程从第_步开始出现错误，错误的原因是-； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是_」 【变式2-2】佳佳计算分式方程1-x=,1 x-33-x -2的过程如下： 解方程： 1-x1-2 x-33-x 去分母，得1-x=-1-2 第①步 移项，得-x=-1-2+1 第②步 合并同类项，得-x=-2 第③步 系数化1，得x=2 第④步 经检验，x=2是该分式方程的解。 (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是 (填序号)： (2)请你写出正确的解答过程。 4 【变式2-3】解分式方程： -1 x2-4x+4x-2 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务， 4 =x-1 解：子-4x+4x-2 4 x-22x-2 1第一步 4=x(x-2）-(x-22…第二步 4=x2-2x-x2-4x+4…第三步 解得：X=0…第四步 任务一：填空 (1)第 步是去分母，去分母的依据是」 (2)第 步出现错误，错误的原因是 任务二：填空 (3)直接写出该分式方程的正确结果 (4)解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、已知分式方程的增根求参数 1.确定增根的可能值：让原分式方程的每个分母都等于0，解出的x值就是增根的"候选”。 这一步是解题的关键前提。 2.代入整式方程求参数：把第一步找到的增根x值，代入去分母后得到的整式方程中。 这样就可以解出题目中要求的参数值。 3.结果验证：把求出的参数值代入原分式方程。 检查它是否真的会导致方程产生增根，而不是让方程无解。 这一步能确保你的答案万无一失。 例3.关于x的分式方程，己=1有增根，则m的值为 “x-11-x x-2十x一2=1有增根，则a的值是 【变式3-1】若关于x的方程x+口+x 【变式3-2】当m=」 时，方程父。=2-m会产生增根。 x-3 ”x-3 4 【变式3-3】若分式方程x+x-)x- =1有增根，则它的增根是 类型四、已知分式方程的无解求参数 1.整式方程本身无解：把分式方程去分母后，会得到一个整式方程。 如果这个整式方程是Ox=非零数的形式，那么它本身就没有解。 这种情况下，原分式方程自然也无解。 2.整式方程的解是增根：整式方程有解，但这个解会让原分式方程的分母为零。 这个解就是增根。因此，原分式方程无解。 这种情况的解法和上一轮”己知增根求参数”是一样的。 例4.关于x的分式方程2+m心=3 -2F-4x中2无解，则m的值为 【变式4-1】如果关于x的方程-4，m=m+4无解，则m的值为 ”x-33-x 变式42】已知关于函分式方程，2+3无解，则：的值为 x-3 【变式43】已知关于x的分式方程+：=1，若分式方程无解，则a的值为 x-2x 类型五、根据分式方程解的情况求值 1.方程有解：先把分式方程化为整式方程。 再将解代入，确保分母不为零。 这是最基础的”先解方程，后代入”思路。 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.方程无解：这种情况要分两种子情况讨论： 情况一：转化后的整式方程本身无解。 情况二：整式方程有解，但这个解是原方程的增根。 3.方程解为正/负数：先求出整式方程的解。 然后根据要求列出不等式，如解〉0或解〈0。 最后，一定要加上一个重要条件：解不能让原方程的分母为零。 例5.若关于x的分式方程3x-2=m+1的解为负数，则m的取值范围是】 x+1x+1 【交式5】关于的程十}”的解是个证数，郑么m胸取值范围是 【变式5-2】若关于x的分式方程mx+,】=2有整数解，则整数m的值为」 十 x-22-x 【变式5-3】已知分式方程2x+ =-1 x-3 (1)若分式方程无解，则b的值为 (2)若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为」 类型六、分式方程中的规律探究问题 1.解前几个方程，找规律：题目通常会给你n=1,n=2,n=3.时的分式方程。 你先把这几个方程的解都求出来，然后把解和序号n放在一起观察。 2.猜想并写出通项公式：看看解的分子、分母和序号n之间有什么联系。 试着用含n的式子把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律的正确性：找到规律后，最好再用n=4或n=5来验证一下。 把值代入你总结的通项公式，看得到的解是否能满足对应的分式方程。 例6.(24-25八年级下湖北十堰期末)下列一组方程：①x+1x3=4:②x+2x4=6,③x+3x5 8；… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由Ox+3=1+3,得r=1或x=3: 由②x+2×4=2+4,得x=2或x=4: 由③x+3x5=3+5,得x=3或x=5. x (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解， (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解。 (3)若n为正整数，关于x的方程x+nn+2 =2n+1的一个解是x=5,求n的值. x+1 【变式6-1】(24-25七年级下·浙江绍兴期末)先阅读下面的材料，然后回答问题： 5/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 1 2号的解为x七2，友，氵方程x+3+的解为=3， ①)根据上面的规律，猜想x+1=a+上的解为： a 1 ②)利用(1)中的结论，将方程y+二)变形为x+三+的形式并求 y a (3)解方程：x+2x+3=13 x+13 【变式6-2】(24-25八年级上·北京顺义期中)观察下列方程及其解的特征 第1个方程：+2的解为x=x2=1 第2个方程：x+的解为=2-号 1 x 2 1_10的解为x=3,=3 1 第3个方程x+二= x 3 解答下列问题： Q猜想，第5个方程，方程x+1=26的解为 5 (2)关于x的第n个方程为 ,它的解为 (3)利用上述规律解关于x的分式方程：x+ 1a2+3a+1 4x-6 2a 类型七、分式方程中的新定义型问题 1.仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，列出方程：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。根据题目要求的等量关系，列出一个新的分式方程。 3求解并检验：列出分式方程后，就按照解分式方程的常规步骤来解。别忘了最后一定要检验，确保解 的有效性，避免出现增根。 例7.(24-25七年级上·上海虹口阶段练习)阅读理解题， 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的和谐式”，这个常数称为A 关于B的“和谐值”， t+1A-B=2x 例：分式A=x+:B=2 2 x+1(x+1 2x+2=2,则A是B的和谐式”，A关于B的和 x+1 谐值”为2 已知分式C牛D2新C香为D的和谐式，者不是，明寒山：是，求出C 于D的“和谐值”. 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)已知分式M= E 9-r2W ，M是N的和谐式”，M关于N的“和谐值”是1，x为整数，且M的值 3-x 也为整数， ①求E所表示的代数式. ②求所有符合条件的x的值. -2，B=-2a (③)已知分式A=r-5. =2,4是公的和谐式”则A关于8的和谐值是 ·(直接写出答案 即可) 【变式7-1】(24-25八年级下·山东枣庄期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程“+1=b b成立，那么我们就把实数a,b组成的数对a,称为关于x的分式方程g+1=b的一个“关联 的解是x=1 数对”.例如：口=2，b=-5使得关于x的分式方程2+1=5的解是x= 1 +-53成立，所以数对2，-5到就 是关于x的分式方程“+1=b的一个“关联数对” ()下列数对是关于x的分式方程+1=b的“关联数对”有 (填字母) A.[-2,4;B.[3,-5] (2)若数对 7+n是关于x的分式方程+1上b的“关联数对”，求的值 【变式7-2】(2425八年级上湖南邵阳期中)新定义：如果两个实数α，b使得关于x的分式方程+1=b的 1 解是x= 成立，那么我们就把实数α，b组成的数对a,b]称为关于x的分式方程“+1=b的一个“关联数 a+b 1 1 列如：。=2，b三5使得关于x的分式方程+1=5的解是x2+一3成立，所以数对2，-5励 是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对” (①)判断下列数对是否为关于x的分式方程+1=b的“关联数对”，若是，请在括号内打“V”.若不是，打 “×” ①[3，-5]()； ②1，-2](). ②若数对《士小]是关于的分式方程+1b灯关联数，求的值。 ③)若数对[2m+,个(m≠士与，且m0,长-1)是关于x的分式方程+1=b的关联数对”，且关于x的 1 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方程-2m+1= -4m x有整数解，求整数m的值. 2m+1 压轴专练 一、单选题 1.(2526八年级上黑龙江哈尔滨期末)方程5=3的解为(） x+2 x A.x=3 B.x=-2 C.x=-3 D.x=1 2.(25-26八年级上广东汕头期末)若关于x的方程+m+,1=3有增根，则m的值为() x-22-x A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.(25-26八年级上河南新乡期末)已知关于x的分式方程，太-L,=2的解是非负数，则的取值范 2-xx-2 围是() A.k≤3 B.k23 C.k≤3且k≠2 D.k≤3且k≠-1 4.（2025八年级下河南郑州专题练习)新定义对于实数a、b,定义一种新运第“0"为：a⊕6=g一db' 3 这里等式右边是实数运算。按此规定，则方程x⊕(-2=- 11-1 2xx-2 的解是() A.x=4 B.x=6 C.x=7 D.x=8 5.(24-25八年级上山东烟台期中)观察下列式子的变形规律： 2x33③，=11 、11一专，②。一=一1。 1×2 3x434,@1=11 4×545' … 请尝试回答下面问题 1 若x+1(x+2+x+2x+3)+x+3x++…+(x+999x+1000x+100,则x的值为（） A.1000 B.998 C.1 D.2 二、填空题 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25.26八年级上福建厦门期末)分式方程+1=，2x的解是一 2x+1 7.（2425八年级上河北石家庄月考》关于x的分式方程7江-2m=5无解，则m的值为 x-1x-1 年级上满南岳阳期中)定义一种新运第：对于任意的非零实数a,6,Q®h (x+1)⑧x=0,则x的值为一 9.(2526九年级上黑龙江绥化期末)关于x的方程k,1=2x的解为正数，则k的取值范围为 x-22-x 10.(24-25八年级上·湖南张家界·期中)观察下列等式的规律，并回答下列问题： 1.111 62×3239 1111 123×434 1111 204×545 … 请运用上述等式的特点规律解下列方程，则该方程的解为 1 1 1 xx+D+G+lx+2+++90x+10(+10 三、解答题 11.(25-26八年级上山东聊城月考)解下列方程： (01-1=2x x-11-x ②3 416 x+22-xx2-4 12.(2526九年级上河北邯郸期末)小珍解方程x,+-31过程如下： x-2'x-2 解：去分母，得x+x-3=1.…第一步 去括号，得x+x-3=1第二步 合并同类项，得2x-3=1…第三步 解得x=2.第四步 检验：当x=2时，x-2=0 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :x=2不是分式方程的根，原分式方程无解.第五步 ()你认为小珍从第 步出现错误； (②)写出正确的解答过程 13.(24-25八年级上山西吕梁期末)定义新运算：对于非零的两个实数a,b,规定a⊕b= 11,如 b a 2⊕3=11=-1 326 (1)求2⊕-6的值； (②计算-4r+4®-2x x-2 x+2 (3)若-3⊕(2x-1=2,求x的值. 14.(25-26八年级上河北沧州·月考)计算 (1)解下列方程，直接填空： ①1、2 x+1x+1 -1的解为一 ②24 x+1x+1 -1的解为一 ③3=6 x+1x+1 -1的解为一： ④4=8 x+1x+1 -1的解为。 4.4 归纳 (2)请根据“计算”中发现的规律写出第⑥个方程并直接写出该方程的解； 总结 (3)请用一个含正整数n的式子表示上述方程的规律，并求出该方程的解. 15.(25-26八年级上·全国·期末)探索规律： 111 ①直接写出计算结果：1x22x33×4 +…+ n(n+1) 1 (2)仿照(1)的方法探究可知， nn+2可变形为. 1 1 1 3 (3运用规律解方程：xx+)十(x+3x+6(x+6(x+9)2x+18 十 16.(25-26八年级上湖南长沙期末)不妨定义：如果两个代数式A,B的值满足A+B=1,则称A,B具 有和谐关系.当具有和谐关系的两个代数式A,B都是整式时，则称A,B互为和谐整式；当具有和谐关系 10/11