专题 9.5 轴对称（专项练习）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 9.5 轴对称（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）下面的博物馆标志图中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【详解】解：A，B，D中的图是轴对称图形，故不符合题意； C中的图不是轴对称图形，故符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：从左边起，第一幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第二幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第三幅图是轴对称图形，对称轴有2条； 第四幅图是轴对称图形，对称轴有3条． 故选：D． 3．（2024八年级上·北京·专题练习）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）借助直尺和圆规将直角三角形面积二等分，下列做法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图−基本作图，线段垂直平分线的作法，等角的作法，角平分线的作法等相关知识点，三角形的面积的有关知识，需灵活掌握． 【详解】解：选项A是一条线段的垂直平分线，故A正确； 选项B是作两个等角，再利用直角三角形两锐角互余，推出所作线段为直角三角形中线，故B正确； 选项C是一个角的平分线，故C不正确； 选项D是一条线段的垂直平分线，故D正确； 故选：C. 6．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在直角中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的定义，根据作图痕迹判断出平分，可得结论． 【详解】解：由作图可知平分，， ∴， ∴， ∴， ∴选项A，B，C正确． 无法判断， 故选：D． 7．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（A定，M、N动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，一条数轴上有A，B，C三点（点A，B分别位于点C的左边和右边，且点A与点B之间的距离大于3），其中点A，B表示的数分别是a，b，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在点C右侧的数轴上，且对折后的点A与点B之间的距离为3，则点C表示的数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上数字的表示，清楚掌握此题有两种情况是解题的关键． 首先根据对折后的点A与点B之间的距离为3写出点A表示的数为或，再结合点C是中点，即可求解点C表示的数． 【详解】解：∵对折后的点A与点B之间的距离为3， ∴对折后点A表示的数为或， ∵以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在点C右侧的数轴上， ∴点C是中点， ∴点C表示的数是或， 故选：B． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）活动课上，数学小组成员开展探寻角的活动．下列操作结果不为角的是（   ） A．如图1，将一个钟表的时针与分针拨动到，得到时针与分针的夹角大小 B．如图2，拼摆一副三角板，得到的大小 C．如图3，用量角器测量，得到的大小 D．如图4，折叠一张含的直角三角形纸片，得到的大小 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，三角板的角度计算，角的度量，折叠的性质．根据题意逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 如图1，将一个钟表的时针与分针拨动到，时针和分针中间相差个大格． 钟表个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 点分分针与时针的夹角是；故该选项不符合题意． B. 如图2，拼摆一副三角板，得到的大小为；故该选项不符合题意． C. 如图3，用量角器测量，得到的大小为，不为，故该选项符合题意． D. 如图4，折叠一张含的直角三角形纸片，得到的大小为; 故该选项不符合题意． 故选：C． 10．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，E、F是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于G点，若，有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质、折叠的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据邻补角的性质可得，故该结论①正确；根据“两直线平行，内错角相等”可知，故该结论②正确；由折叠可得，进而可判断该结论③正确；已知条件无法证明，故该结论④不正确；过点作，根据“两直线平行，内错角相等”可得，故该结论⑤正确． 【详解】解：①∵， ∴，故该结论正确； ②根据题意，可知， ∴，故该结论正确； ③由折叠可知， ∴，故该结论正确； ④已知条件无法证明，故该结论不正确； ⑤如下图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故该结论正确． 综上所述，结论正确的有①②③⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a 2（填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的做法即可求解． 【详解】解：由题意， ∵， ∴． 故答案为： 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则 ， ． 【答案】 2cm 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该性质是解题的关键； 根据轴对称的性质解题即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线l对称 ∴ 故答案为：2cm， ． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·月考）在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到，，进而得到，再分两种情况：①为钝角；②为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当为钝角时，    ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ ②如图所示，当为锐角时，    ∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查两直线平行的性质、折叠的性质以及矩形的性质，重点在于利用已知条件找到角度之间的关系． 由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，可得的度数，进而再利用两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由折叠的性质可得， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查尺规作图：作一个角等于已知角，作角的平分线．由作图过程可知，，进而即可求解． 【详解】解析：根据作图过程，可知，， ， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为 ． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·安徽池州·开学考试）在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 18．（24-25七年级下·广东广州·期末）将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，先分别表示三次裁剪后的正方形的边长，再建立方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第二次操作后剩余长方形的两边分别为，， 第三次操作后剩余长方形的两边分别为，，或，； ∴或， 解得：或； 故答案为：或 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①（答案不唯一） 【分析】本题考查了补角，几何图形中的角度的运算，作射线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先延长，再运用圆规和直尺，作出射线，使，即可作答． （2）根据邻补角互补的性质进行作答即可； （3）理解题意，选择①或②，结合角的和差关系列式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，射线，，如图所示： （2）解：依题意，点O在直线上， 在（1）的条件下的补角有， （3）解：依题意，选择①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 选择②， ∵点O在直线上，． ∴， 则， 则 解得， ∴． 20．（本小题满分10分）（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质，解答即可． （3）连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵和关于直线成轴对称， ∴； 故答案为： （3）解：如图，连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·宁夏银川·月考）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则_______，并说明理由； 【答案】(1)；(2)40 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，明确题意，利用平行线的性质探究出角之间的关系是解题的关键． （1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴由折叠的性质知：， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质知：， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：40； 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)①；②或 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的和差，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据折叠可得，，根据角的和差即可解答； （2）①用表示出，列方程即可解答； ②分两种情况，即在左侧或右侧，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，，\ ； （2）解：①根据折叠可得，， ， ， ， 平分， ，即， 解得 ②当在右侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 当在左侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 综上，的值为或． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 9.5 轴对称（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）下面的博物馆标志图中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭地·期末）下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024八年级上·北京·专题练习）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）借助直尺和圆规将直角三角形面积二等分，下列做法不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在直角中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图，一条数轴上有A，B，C三点（点A，B分别位于点C的左边和右边，且点A与点B之间的距离大于3），其中点A，B表示的数分别是a，b，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在点C右侧的数轴上，且对折后的点A与点B之间的距离为3，则点C表示的数是（   ） A． B．或 C． D．或 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）活动课上，数学小组成员开展探寻角的活动．下列操作结果不为角的是（   ） A．如图1，将一个钟表的时针与分针拨动到，得到时针与分针的夹角大小 B．如图2，拼摆一副三角板，得到的大小 C．如图3，用量角器测量，得到的大小 D．如图4，折叠一张含的直角三角形纸片，得到的大小 10．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，E、F是长方形纸片边上的两点（长方形的两组对边分别平行，每一个内角都是直角），将纸片沿直线进行折叠，边的对应边交边于G点，若，有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下： 第一步：分别以点A和点B为圆心、长为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线． 上述作法中a满足的条件为a 2（填“”“”或“＝”）． 12．（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则 ， ． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·月考）在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则 °． 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 16．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为 ． 17．（25-26八年级上·安徽池州·开学考试）在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 18．（24-25七年级下·广东广州·期末）将一张长方形纸片如图方式折叠并压平，点B恰好与上与点重合，沿剪去一个边长等于长方形宽的正方形，得到一个长方形，这种“折剪”的过程称为一次操作．现在有一张长为4，宽为的长方形纸片，经过此种三次操作后，得到的图形恰为正方形，则的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，点O在直线上，． (1)过点O在直线的下方作射线，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下的补角有 ； (3)先从以下两个条件①，②中任意选择一个作为条件，再求的度数．我选择的条件是 （填序号）． 20．（本小题满分10分）（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·宁夏银川·月考）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则_______，并说明理由； 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $