专题11 平移和旋转中的常见的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题11 平移和旋转中的常见的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段平移的综合问题 类型二、三角形平移的综合问题 类型三、线段绕某点旋转综合问题 类型四、直角三角形绕点旋转综合问题 类型五、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 类型六、等边三角形绕点旋转综合问题 压轴专练 类型一、线段平移的综合问题 方法总结 1. 平移规则：线段平移时，所有点坐标按“左减右加x，上加下减y”变化。 2. 不变性质：平移前后线段长度不变、方向不变（斜率不变）。 解题技巧 1. 端点优先：只需求出两个端点平移后的坐标，连接即得平移后线段。 2. 平行关系：平移后线段与原线段平行，可用斜率相等建立方程。 例1．如图，线段相交于点经过适当平移至的位置，连接、，当时，求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【知识点】等边三角形的判定、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质和等边三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得，，进而得到，再证明，即可得证． 【详解】证明：根据平移前后对应线段平行且相等， ，， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式1-1】已知线段两端点坐标，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)点的坐标为______，线段平移到线段扫过的面积为______． (2)若点是轴正半轴上的动点，连接． ①如图，线段与线段相交于点，三角形的面积为，三角形的面积为，试说明与，之间的数量关系； ②当将四边形的面积分成两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)，20 (2)①（或）；②点坐标为或 【知识点】坐标与图形、一次函数与几何综合、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的坐标变换，长方形的性质，坐标与图形，三角形的面积公式，清晰的分类讨论的思想是解本题的关键． （1）先根据线段向下平移5个单位可得B的纵坐标减去5，横坐标不变，可得D的坐标，再求解的长度，乘以平移距离即可得到平移后线段扫过的面积； （2）①用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②分交线段和交两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将向下平移5个单位得线段，其中点的对应点为点． ∴，，， ∴线段平移到线段扫过的面积为， 故答案为：，20； （2）解：①根据题意，得，， ∴； ②交线段于E时， ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴； 交线段于F时， ∵将四边形的面积分成两部分， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴； 综上，点坐标为或． 【变式1-2】已知在平面直角坐标系中有三点，，，，，满足． (1)若，将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段，点的对应点为，点是线段上的一个动点，且三角形的面积等于6，求点的坐标； (2)将线段向右平移个单位得到线段，点的对应点为． ①若三角形的面积小于4，求的取值范围； ②已知点，连接，若线段与线段有公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】利用平移的性质求解、坐标与图形、用一元一次不等式解决几何问题 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性可得，，从而，当时，，，，根据线段平移得到线段，从而，，，连接，，进而，表示出的面积，列出方程即可求解； （2）①延长交x轴于H，根据平移得出点H的坐标，线段向右平移个单位得到线段，则，，分两种情况，根据图形的关系得出平移后的面积，三角形的面积小于4列出不等式，即可得出结论； （3）先得出当平移后得点C的对应点N在线段上时，平移距离最小，当平移后得点B的对应点M在线段上时，平移距离最大，根据平移求解即可． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴． 当时，，， 则，，， ∵将线段向右平移个单位，再向下平移2个单位得到线段， ∴，，， 如图，连接，， ∴， 过点作轴于点G， ∵，，， ∴，，，，， ∵ ， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）有， ∴，，， 如图，延长交x轴于H，    ∵，， ∴点B向下平移4个单位，再向左平移2个单位到点C， 又∵点C平移到x轴需要向下平移2个单位， ∴为保证点B到点C与点C到点H的方向一致，点C需要在向下平移2个单位的基础上再向左平移1个单位到点H， ∴， ∵，，， 且线段向右平移个单位得到线段， 则，， 当点N在点G左边时，作图，    ， ∵三角形的面积小于4， ∴， 解得：， 当点N在点G右边时，    ， ∵三角形的面积小于4， ∴， ∴， 综上所述：n的取值范围是； ②如图，若线段与线段有公共点，则当点C平移后得点N在线段上时，平移距离最小， ∵，， ∴点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移2个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点N的方向一致，点A需要在向上平移2个单位的基础上再向右平移2个单位到点N， ∴， 又∵， ∴线段向右平移4个单位，即； 如图，当点B平移后的对应点M在线段上时，平移距离最大， ∵点A向上平移7个单位，再向右平移7个单位到点F， 又∵点A平移到直线需要向上平移6个单位， ∴为保证点A到点F与点A到点M的方向一致，点A需要在向上平移6个单位的基础上再向右平移6个单位到点M， ∴， 又∵， ∴线段向右平移6个单位，即； 综上所述，线段与线段有公共点，则． 类型二、三角形平移的综合问题 方法总结 1. 整体平移：三角形平移时，各顶点坐标按相同规则（左减右加x，上加下减y）变化。 2. 不变性质：平移前后三角形全等，对应边平行且相等，对应角相等。 解题技巧 1. 顶点变换：只需求出三个顶点平移后的坐标，依次连接即得平移后三角形。 2. 利用平移向量：明确平移的方向和距离（向量），所有点坐标加同一向量。 例2．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角尺，它们中较大锐角的度数为．将三角尺沿直线l向左平移到图中三角形的位置，使点E的对应点落在上，P为与的交点． (1)求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)详见解析 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，平移的性质，熟记平移的性质并灵活应用是解本题的关键； （1）证明，可得； （2）由平移的性质可得，再结合平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得， 由平移的性质，得， ∴ （2）由（1）得，． 由平移的性质，得， ∴，， 即． ∴． 【变式2-1】如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． （1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 【变式2-2】如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 类型三、线段绕某点旋转综合问题 方法总结 1. 抓旋转中心：线段绕某点旋转时，该点坐标不变，线段两端点绕该点旋转相同角度。 2. 利用旋转公式：绕原点旋转；绕任意点需先平移至原点再旋转。 解题技巧 1. 端点变换：只需求出两端点旋转后的新坐标，连接即得旋转后线段。 2. 90°旋转简化：绕点旋转90°时，可用斜率负倒数及点到中心距离不变快速求新坐标。 例3．（25-26八年级上·四川成都·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； (1)如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； (2)如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； (3)如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当在的延长线上，；当在线段上， 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，进而推出，得到，，再通过证明，得到，再结合得到，最后根据等量代换以及中点的定义即可证明； （3）分2种情况讨论：①当在的延长线上；②当在线段上，先证明，得到，，进而证明，得到，得到，再由，分别求解的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （3）解：①当在的延长线上， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在线段上， 如图，延长至点使得，连接， 同理①可得，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当在的延长线上，；当在线段上，． 【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接． (1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明． 【答案】(1) (2)当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，故，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，即可得出； （2）当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出；当点在的延长线上时，根据等腰直角三角形的性质得出，，推得，根据旋转的性质得出，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得出，故，即可得出； 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 在中，， 即． 故答案为：． （2）解：当点在的延长线上时，； 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 当点在的延长线上时，， 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， 故， ∵将射线绕点逆时针旋转，交直线于点， ∴， 故， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 故， 即． 【变式3-2】如图，在中，是中点，将线段绕点顺时针旋转得到，将线段绕点逆时针旋转得到，且，连接． (1)按题意补全图形，求证：． (2)若，设与交于点，且点为线段的中点，连接、． 直接写出的度数　　　； 延长、交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)；，理由见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】首先延长到，使，连接，则，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 由可知，，利用证明，根据全等三角形的性质可证， ，所以可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知的度数； 由可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，根据、，把、、用含的式子表示出来，然后再利用四边形内角和定理求出的度数，再利用含角的直角三角形的性质得到线段与的数量关系． 【详解】（1） 证明：补全图形如图所示， 延长到，使，连接，则， 是中点， ， 在和中，， ， ，， 根据旋转的性质可得：，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （2） 解：由可知，， 是中点， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：； ，理由如下， 由可知是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 为直角三角形， ． 类型四、直角三角形绕点旋转综合问题 方法总结 1. 顶点变换：将直角三角形各顶点绕旋转中心按相同角度旋转，利用旋转公式求新坐标。 2. 不变性质：旋转前后三角形全等，直角不变，对应边相等、夹角相等。 解题技巧 1. 先转关键点：优先计算直角顶点和锐角顶点的旋转后坐标，再连接成图。 2. 利用直角特性：旋转后直角仍存在，可用勾股定理或垂直关系验证坐标正确性。 例4．已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转β后得到，交直线于点． (1)如图1，当时，所在直线与线段有怎样的位置关系?请说明理由． (2)如图2，当时，求为等腰三角形时的度数． 【答案】(1)互相垂直，见解析 (2)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决问题的关键； （1）由旋转的性质可判断直线与线段垂直； （2）根据旋转的性质得，分类讨论：当时，根据等腰三角形的性质得，即；当时，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和可计算出，即；当时，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和可计算出，即． 【详解】（1）解：与互相垂直，理由如下： ，， ， ， 由旋转的特质，得， ， ， 与互相垂直． （2）解：根据旋转的性质得， 当时，，即； 当时，， ， ， 即； 当时，， ， 即． 综上所述，的度数为或或． 【变式4-1】已知在和中，，将绕着点C旋转． (1)如图1，若线段与线段相交于点F，，求证：． (2)如图2，连接，直线交直线于点G，若是以为腰的等腰三角形，求的长． (3)在绕点C旋转过程中，试探究B，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)为或． (3)的面积为：或或或． 【知识点】二次根式的除法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先证明，可得，再证明，可得，从而可得结论； （2）求解，证明，，如图，当时，证明即可，如图，当时，过作于，证明，求解，再进一步可得答案； （3）如图，当时，过作于，交于，过作于，证明，，是的垂直平分线，可得，进一步可得，求解，，从而可得答案；如图，当，此时共线，进一步求解面积即可，如图，当，过作，而，同理：，，可得，进一步求解面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：为或． （3）解：如图，当时，过作于，交于，过作于， ∴，， 由旋转可得：， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同（2），可得：， ∴， ∴， ∴； 如图，当，， 此时共线， ∴，而， ∴， 如图，当，， 此时共线， ∵，，， ∴， ∴， 如图，当， 过作，而， 同理：，， 由旋转可得：， ∴， ∴， 综上：的面积为：或或或4． 【变式4-2】如图①，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，，，平分，将绕点按逆时针方向旋转，如图②，记为，在旋转过程中： (1)当__________°时，，当___________°时，； (2)如图③，当顶点C在的内部时，边、分别交、的延长线于点M、N． ①求出此时的度数范围； ②与的度数和是否变化？若不变，请直接写出与的度数和；若变化，请说明理由． 【答案】(1)4，94 (2)①；②与度数的和不变为，理由见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）当时，则，得出，即可得出结果；当时，，如图，得出：，即可得出结果； （2）①由已知得出，，推出，当点C在边上时，，解得，当点C在边上时，，从而可得出结果； ②连接，由三角形内角和定理得出，同理由三角形内角和定理得出，从而可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 而， ∴， 解得：； 当时，则，如图，      此时， 而， ∴， 解得：； 故答案为：4，94． （2）①∵，平分， ∴，， ∴， 当点C在边上时，， 解得：， 当点C在边上时，， ∴当顶点C在内部时，； ②与度数的和不变； 理由如下：连接，如图所示：    在中， ∵， ， ∴， 在中， ∵， 即， ∴； 即． 类型五、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 方法总结 1. 顶点变换：将等腰直角三角形各顶点绕旋转中心按相同角度旋转，利用旋转公式求新坐标。 2. 性质保持：旋转前后三角形全等，直角不变，两腰相等且夹角45°特性保留。 解题技巧 1. 巧用45°：旋转后新直角边与原直角边夹角45°，可用斜率关系（k1 k2 = -1及长度相等）验证或求点。 2. 中心点关键：若绕直角顶点旋转，该点坐标不变，另两点用旋转公式直接求。 例5．已知和是两个全等的等腰直角三角形，． (1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证： ①； ②； (2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①由是等腰直角三角形和，可以得到，，，得到，由可以证明； ②由①知，则，，证明．再证明，则，在中，，根据勾股定理，得，等量代换后即可得到结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，由旋转性质可得，，证明，即可得到，，可得，由勾股定理可得，等量代换后即可得到结论． 【详解】（1）证明：①∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②由①知， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴． （2）解：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】已知：和都是等腰直角三角形，． (1)如图①E在上，点D在上时，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析； (3)或 【知识点】化为最简二次根式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； （2）成立．理由如下： 如图②，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以（1）中的结论仍然成立； （3）当点在线段上时，如图③，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点在线段上时，如图④，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 故答案为：或． 【变式5-2】如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形，如图所示摆放，使得点D、A、B在同一直线上，连结，．    (1)求证：； (2)如图2，将绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上，与交于点O． ①求证：； ②求证：； ③连结，如图3，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③1 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明、二次根式的乘法 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明即可； （2）①先证明，即可证明，②如图，由可得，再结合角的和差运算可得结论；③证明，求解如图，过点A作于点F，求解，，再利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形 ∴，， 在和中， ∴； （2）①∵， ∴ 即 在和中， ∴， ②如图，    ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ ③∵， ∴ 又∵， ∴ 又∵， ∴ 如图，过点A作于点F，    又∵是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴在中， ∴ ∴ 类型六、等边三角形绕点旋转综合问题 方法总结 1. 顶点变换：将等边三角形各顶点绕旋转中心按相同角度旋转，利用旋转公式求新坐标。 2. 性质保持：旋转前后三角形全等，三边相等、三角60°特性不变。 解题技巧 1. 巧用60°：旋转后新边与原边夹角60°，可用旋转公式直接计算坐标，或结合等边三角形性质（如高线）简化。 2. 中心点关键：若绕某个顶点旋转，该点坐标不变，另两点用旋转公式直接求。 例6．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：； （2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； （3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）的度数不变，；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （3）以为边在的外部作等边三角形，得到，，由（2）知，，根据全等三角形的性质得到，过E作交的延长线于F，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：的度数不变， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边在的外部作等边三角形， ∴，， 由（2）知，， ∴， 过E作交的延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】（1）问题发现 如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空： ①线段与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________． （2）拓展探究 当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明． （3）问题解决 已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①，②；（2）成立，见解析；（3）的面积为或． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）分两种情况讨论，画出图形，利用线段垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 且， ； （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ，， ， 且， ； （3）分两种情况讨论， ①如图，由（2）知， ∴， ∵点E位于线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴在同直线上， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为； ②如图，由（2）知， ∵点E位于线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点D也在线段的垂直平分线上， ∴， ∴的面积为； 综上，的面积为或． 【变式6-2】问题发现：如图1，是等边三角形，点是边上的一点，过点作交于，则线段与有何数量关系？ 拓展探究：如图2，将绕点A逆时针旋转角，上面的结论是否仍然成立？ 如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果的边长等于，，直接写出当旋转到与所在的直线垂直时的长． 【答案】问题发现：；拓展探究：仍成立，理由见详解；问题解决：的长为和7． 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】问题发现：如图1，由平行线分线段成比例定理可得：； 拓展探究：如图2，证明，得； 问题解决：分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，由勾股定理求出，得出，从而计算出的长． ②如图4，求的长和的长，根据勾股定理在中求的长，所以． 本题考查了三角形的几何变换，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：问题发现：如图1，， 理由是： 是等边三角形， ， ， ， ； 拓展探究：结论仍然成立， 由图1得，是等边三角形， ， 由旋转得：， ∵ ， ； 问题解决：当旋转到与所在的直线垂直时，有两种情况： ①如图3， 是等边三角形，， ， ， 过作，垂足为， ， ，， ， ， ． ②如图4，同理得：， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 综上所述，的长为和7． 一、单选题 1．（2025·福建·一模）已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得，，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转的规律性问题．理解题意，掌握探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出，如此下去即可得出，即可求出的底和高．再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得出，…，． ∴的底为，高为． ∴． 故选：C 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ∴、， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 二、填空题 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点，线段向右平移3个单位长度得到线段，线段与轴交于点．若图中阴影部分面积是21，点的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，掌握坐标与平移的关系是解题的关键． 设，由点的坐标、平移可得到、、的长度，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去的面积，得到关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】解：设． ∵点，点的坐标为，线段向右平移3个单位长度得到线段， ，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图所示，三角形的周长为16，将三角形沿射线向右平移个单位长度到三角形的位置，交于点．下列结论：①且；②三角形和三角形的周长和为16；③若，则四边形的周长为18；④四边形的面积四边形的面积，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了图形平移的性质，根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等解答． 【详解】解：三角形沿射线向右平移个单位长度到三角形的位置， 根据平移的性质得到，故①正确； ∴， ∴三角形和三角形的周长和为，故②正确； 若，则，， ∴四边形的周长为，故③错误； ∵，，， ∴四边形的面积四边形的面积，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 三、解答题 7．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、，其中a、b满足，线段与x轴、y轴围成三角形，将三角形沿x轴向右平移得到三角形，当点D到达点B时停止平移，平移终止前，线段与线段相交于点． (1)直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)线段的关系是______； (3)当时，求三角形的面积； (4)在平移过程中，当点F把线段分成的两条线段的长度差为1时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了平移的性质、非负数的性质、坐标与图形以及一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据非负数的性质即可求出a、b，进而可得答案； （2）根据平移的性质即可得到结论； （3）求出，再计算三角形的面积即可； （4）先根据点F的坐标用含t的式子表示出，再根据构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：，； （2）解：根据平移的性质可得：线段的关系是； 故答案为：； （3）解：当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴三角形的面积； （4）解：∵， ∴， ∴， 当点F把线段分成的两条线段的长度差为1时，，即， 解得：或， ∴点F的坐标是或． 8．（24-25七年级下·山东济宁·期末）【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点与点的横坐标之和为 ； 【归纳】 （2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为 ； （3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为 ； 【应用】 （4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4）， 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，坐标轴平行线上的点的坐标变化，列代数式，二元一次方程解决实际问题，根据题意的方法进行探究归纳是解题的关键． （1）根据点平移时的坐标变化求解即可； （2）由轴得到线段的中点的纵坐标为b．设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点，则，求得，即可表示出中点的横坐标，进而即可解答； （3）同（2）思路即可求解； （4）根据探究归纳的结论，表示出线段和线段的中点的坐标，根据线段和线段的中点重合列出方程组，求解即可． 【详解】解：（1）根据平移可得，点的坐标为，点的坐标为， 点与点的横坐标之和为． 故答案为：；； （2）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的纵坐标为b， 设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的横坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （3）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的横坐标为c， 设点向上平移t个单位长度，点向下平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的纵坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （4）∵，， ∴线段的中点坐标为，即； ∵，， ∴线段的中点坐标为，即， ∵线段和线段的中点重合， ∴， 解得． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图3，都是等边三角形，点D、E分别是边上的点，将绕点A旋转，与所在的直线交于点F． (1)将绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于，如图1，的度数为______； (2)如图2，若，的延长线交于点P，交于点G，探究：n为何值时，点P恰好是中点？证明你的结论； (3)若，当绕点A旋转时，且为直角三角形，线段的长为______（在图3中探究）． 【答案】(1) (2)当时，点为的中点，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握手拉手模型是解题的关键： （1）证明，得到，设交于点，得到，进而得到即可； （2）当时，点为的中点，作，交的延长线于点，证明，得到，即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于点，则， ∴； （2）当时，点为的中点，证明如下： 作，交的延长线于点， 由（1）知：， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点为的中点； （3）如图，当时， 由（1）可知：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，则， 同（1）法可知，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 10．（25-26九年级上·河南信阳·期中）在中，点D为的中点，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转（ 得到线段，连接． (1)【观察猜想】如图1，当点P在边上时，线段与线段的数量关系是_______，线段与线段所夹锐角的度数为_______； (2)【类比探究】如图2，当点P在延长线上时，判断 （1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)【拓展应用】若点Q到的距离为1，请直接写出线段的长． 【答案】(1)；； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）解直角三角形得到，由线段中点的性质得到，由旋转的性质可得，则是等边三角形，由等边三角形的性质得到；证明，可得； （2）同（1）求解即可； （3）分点Q在点C左侧和点Q在点C右侧两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得不管点P（不与点C重合）运动到何处都有， ∴， ∴点Q在过点D且与垂直的直线上运动； 如图3-1所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于M，设直线交于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ，； 同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作于M，设直线交于N，连接， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11平移和旋转中的常见的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段平移的综合问题 类型二、三角形平移的综合问题 类型三、线段绕某点旋转综合问题 类型四、直角三角形绕点旋转综合问题 类型五、等腰直角三角形绕，点旋转综合问题 类型六、等边三角形绕点旅转综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、线段平移的综合问题 方法总结 1.平移规则：线段平移时，所有点坐标按“左减右加x,上加下减y”变化。 2.不变性质：平移前后线段长度不变、方向不变（斜率不变）。 解题技巧 1.端点优先：只需求出两个端点平移后的坐标，连接即得平移后线段。 2.平行关系：平移后线段与原线段平行，可用斜率相等建立方程。 例1.如图，线段AB、DE相交于点O,AB=DE,DE经过适当平移至AC的位置，连接CE、BC、AD,当 LBOE=60°时，求证：ABC是等边三角形 【变式1-1】已知线段AB两端点坐标A2,4),B(6,4),将AB向下平移5个单位得线段CD,其中点A的 对应点为点C. 1/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图(1) 备用图(2) (1)点D的坐标为，线段AB平移到线段CD扫过的面积为 (2)若点P是y轴正半轴上的动点，连接PD ①如图，线段PD与线段AC相交于点E,三角形PEC的面积为S,三角形ECD的面积为S,试说明S,与 S2,之间的数量关系： ②当PD将四边形ACDB的面积分成2：3两部分时，求点P的坐标. 【变式1-2】已知在平面直角坐标系中有三点A(a,0),B(b,6)，C(c,2),a,b,c满足 a+b-2c-4+(a-b)2=0. ◆)y 备用图 备用图 备用图 (1)若a=0,将线段BC向右平移m(m>0)个单位，再向下平移2个单位得到线段DE,点B的对应点为D, 点P是线段DE上的一个动点，且三角形PBC的面积等于6，求点D的坐标； (2)将线段BC向右平移n(n>0)个单位得到线段MN,点B的对应点为M. ①若三角形AMN的面积小于4，求的取值范围； ②已知点F(a+7,7),连接AF,若线段MN与线段AF有公共点，请直接写出的取值范围. 类型二、三角形平移的综合问题 方法总结 1. 整体平移：三角形平移时，各顶点坐标按相同规则（左减右加x,上加下减y)变化。 2.不变性质：平移前后三角形全等，对应边平行且相等，对应角相等。 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题技巧 1. 顶点变换：只需求出三个顶点平移后的坐标，依次连接即得平移后三角形。 2.利用平移向量：明确平移的方向和距离（向量），所有点坐标加同一向量。 例2.如图，直线1上摆放着两个大小相同的直角三角尺，它们中较大锐角的度数为60°，将三角尺ECD沿 直线1向左平移到图中三角形E'C'D'的位置，使点E的对应点E落在AB上，P为AC与E'D'的交点. E E B D'D (1)求∠CPD的度数： (2)试说明：AB⊥E'D' 【变式2-1】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=33°，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角 形DEF· D B (1)求∠E的度数. (2)若AE=9cm,DB=2cm,求CF的长. 【变式2-2】如图，在三角形ABC中，LB=90°，∠BAC=53°，BC=8.将三角形ABC沿BC向右平移， 得到三角形A'B'C',AB'与AC交于点D,连接AA'. D B (I)分别求∠B'DC和LAA'C'的度数； (2)若CC'=3,DB=4,求图中阴影部分的面积； (3)已知点P在三角形ABC的内部，三角形ABC平移到三角形A'B'C'后，点P的对应点为P,连接PP',若 三角形ABC的周长为m,四边形ABC'A的周长为m+I2,请直接写出PP的长度， 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、线段绕某点旋转综合问题 方法总结 1.抓旋转中心：线段绕某点旋转时，该点坐标不变，线段两端点绕该点旋转相同角度。 2.利用旋转公式：绕原点旋转；绕任意点需先平移至原点再旋转。 解题技巧 1.端点变换：只需求出两端点旋转后的新坐标，连接即得旋转后线段。 2.90°旋转简化：绕点旋转90°时，可用斜率负倒数及点到中心距离不变快速求新坐标。 例3.(25-26八年级上四川成都期中)在等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=&,将线段BE绕点B 逆时针旋转(180°-a)得到线段BF; 图1 图2 图3 (I)如图1，若a=120°，点E是线段AC上一点，在AB上取一点G,且GB=AE,证明：△BGF≌△EAB: (②)如图2，若a=90°，点E是线段AC上一点，连接CF与线段AB交于O点，过点F作FH⊥AB于点H, 若AB=4AO,证明：点E是AC的中点； 6)如图3，若a=60°，点E是射线4C上一点，连接CF与线段4B交于0点，若g=m,求0 CE O的值。 【变式3-1】(24-25九年级上·黑龙江佳木斯期中)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，过点B作 BD⊥AB,P为直线AB上一动点，将射线CP绕点C逆时针旋转90·，交直线BD于点Q,连接PO D 图① 图② 图③ (1)如图①，当点P在线段AB上时，线段BP,BQ,AC之间的数量关系为 (2)当点P在BA的延长线上时，如图②；当点P在AB的延长线上时，如图③，线段BP,BQ,AC之间又 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明， 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】如图，在△ABC中，D是BC中点，将线段AB绕点A顺时针旋转得到AE,将线段AC绕点 A逆时针旋转B得到AF,且a+B=180°-2∠BAC,连接EF. (1)按题意补全图形，求证：EF=2AD. (2)若LABC=60°，设EF与AB交于点M,且点M为线段EF的中点，连接BE、CF ①直接写出∠ABE的度数 ②延长EB、FC交于点N,用等式表示线段BN与BC的数量关系，并证明. 类型四、直角三角形绕点旋转综合问题 方法总结 1. 顶点变换：将直角三角形各顶点绕旋转中心按相同角度旋转，利用旋转公式求新坐标。 2.不变性质：旋转前后三角形全等，直角不变，对应边相等、夹角相等。 解题技巧 1.先转关键点：优先计算直角顶点和锐角顶点的旋转后坐标，再连接成图。 2.利用直角特性：旋转后直角仍存在，可用勾股定理或垂直关系验证坐标正确性。 例4.已知△ABD是一张直角三角形纸片，其中∠DAB=90°，LADB=30°，小亮将它绕点A逆时针旋转B 后得到△AMF,AM交直线BD于点K. D 图1 图2 (1)如图1，当B=90°时，BD所在直线与线段FM有怎样的位置关系？请说明理由. (2)如图2，当0<B<180°时，求△ADK为等腰三角形时的度数 【变式4-1】己知在ABC和△CDE中，AC=CD=3,AB=ED=4,∠BAC=∠EDC=90°，将△CDE绕着 点C旋转. 5/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图1 图2 各用图 (I)如图1，若线段BC与线段DE相交于点F,AB∥CE,求证：EF=CF· (2)如图2，连接AD,直线AD交直线BC于点G,若△ACG是以AG为腰的等腰三角形，求BG的长 (3)在△CDE绕点C旋转过程中，试探究B,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角 形BDE的面积；若不能，请说明理由 【变式4-2】如图①，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠ACB=∠E=90°， ∠EDF=36°，∠ABC=40°，CD平分∠ACB,将ADEF绕点D按逆时针方向旋转，如图②，记∠ADF为 a(0°<a<180),在旋转过程中： E Va D 图① 图② 图③ (1)当∠a=」 时，DE∥BC,当∠a= 时，DE⊥BC; (2)如图③，当顶点C在ADEF的内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N. ①求出此时∠a的度数范围； ②∠1与∠2的度数和是否变化？若不变，请直接写出∠1与∠2的度数和；若变化，请说明理由 类型五、等腰直角三角形绕点旋转综合问题 方法总结 1. 顶点变换：将等腰直角三角形各顶点绕旋转中心按相同角度旋转，利用旋转公式求新坐标。 2. 性质保持：旋转前后三角形全等，直角不变，两腰相等且夹角45°特性保留。 解题技巧 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.巧用45°：旋转后新直角边与原直角边夹角45°，可用斜率关系(k1:=-1及长度相等)验证或求 点。 2.中心点关键：若绕直角顶点旋转，该点坐标不变，另两点用旋转公式直接求。 例5.已知ABC和△CDE是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°. 图1 图2 (I)如图1，CD和CE分别与边AB交于点M,N,过点C作CF⊥CE,且使CF=CN,连接AF,FM,求证： ①△ACF≌△BCN; ②MN2=AM2+BN2; (2)如图2，CD与边AB交于点M,CE与AB的延长线交于点N,请探究AM,MN和BN之间的数量关系， 并说明理由。 【变式5-1】已知：ABC和△DCE都是等腰直角三角形，LACB=∠DCE=90°. 图① 图② 备用图 I)如图①E在BC上，点D在AC上时，线段BE与AD的数量关系是一 位置关系是 (2)把△DCE绕点C旋转到如图②的位置，连接AD,BE,(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)在△DCE绕点C在平面内旋转过程中，若AC=4,CE=2√2，当A,E,D三点在同一直线上时，则 AE的长是」 【变式5-2】如图1，把两个大小不同的等腰直角三角形ABC,ADE如图所示摆放，使得点D、A、B 在同一直线上，连结CD,BE· 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 图 图2 图3 (1)求证：△ABE≌△ACD; (2)如图2，将ABC绕着点A顺时针旋转某个角度后，使得点B、C、E在同一直线上，CD与AE交于点O ①求证：△ABE≌△ACD; ②求证：DC⊥BE; ③连结BD,如图3，若BC=CE=2,求△ABD的面积. 类型六、等边三角形绕点旋转综合问题 方法总结 1.顶点变换：将等边三角形各顶点绕旋转中心按相同角度旋转，利用旋转公式求新坐标。 2.性质保持：旋转前后三角形全等，三边相等、三角60°特性不变。 解题技巧 1.巧用60°：旋转后新边与原边夹角60°，可用旋转公式直接计算坐标，或结合等边三角形性质（如高 线)简化。 2.中心点关键：若绕某个顶点旋转，该点坐标不变，另两点用旋转公式直接求。 例6.(1)如图1，己知点B、A、D在同一条直线上，ABC和ADE都是等边三角形，连结BE、CD交 于点O,且分别交AC、AE于点F、G.求证：△BAE型△CAD; (2)若将图1中的△EAD绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，ABC和ADE都 是等边三角形，∠BOC的度数变化吗？若不变，请求出∠BOC的度数；若变化，请说明理由； (3)如图3，在ABC中，∠ABC=60°，AB=4,BC=7,以AC为边向外作等边△ACD,直接写出BD的 长 8/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E G B 图1 图2 图3 【变式6-1】(1)问题发现 如图1，ABC和△ECD都是等边三角形，点B,C,D在同一直线上，连接BE,AD,直线BE与AD相交 于点F.填空： ①线段BE与AD之间的数量关系为 ②∠AFB的度数为 (2)拓展探究 当aECD绕点C逆时针旋转到图2的位置时，(1)中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明. (3)问题解决 己知AB=2√5，CE=2,若△ECD绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段AC的垂直平分线上时，请直接写 出△ACD的面积. 图1 图2 【变式6-2】问题发现：如图I,ABC是等边三角形，点D是边AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC 于E,则线段BD与CE有何数量关系？ 图1 图2 备用图 拓展探究：如图2，将ADE绕点A逆时针旋转角α，上面的结论是否仍然成立？ 如果成立，请就图中给出的情况加以证明. 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 问题解决：如果ABC的边长等于3√5，AD=2,直接写出当ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时 BD的长. 压轴专练 一、单选题 1.(2025·福建一模)已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边CB的延长线上，沿BD平移线段AB得 到线段ED.己知点F在边AC上，当CF=√2时，△DEF是以DE为斜边的等腰直角三角形，则线段BD的 长是() A.1 B.√2 C.2 D.2W2 2 2.(24-25九年级上河南周口期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为 2 2 将线段 OR绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OR的2倍，得到线段0P,又将线段0P绕点O按 顺时针方向旋转45°长度伸长为OP的2倍，得到线段OP，如此进行下去，得到线段 OPOP…,OPn,OPn1(n为正整数)，则△OP P1的面积为() A. ×22m-2 B.2+ C.√2x22m-3 D.22n+2 4 3.(25-26八年级上广东广州期中)如图，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC,点D为BC中点，直角 ∠MDN绕点D旋转，DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角 10/14