专题10 一元一次不等式与一次函数的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题10 一元一次不等式与一次函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 类型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 类型三、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 类型四、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 类型五、含绝对值的函数与一元一次不等式的综合问题 压轴专练 类型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 方法总结 1. 找交点：求出直线y=kx+b与x轴交点(-,0)和与y轴交点(0,b)。 2. 数形结合：根据不等式（如kx+b>0）对应直线在x轴上方部分，结合图象写出解集。 解题技巧 1. 先画草图：画出直线的大致位置，直观判断不等式对应的x范围。 2. 注意k符号：k>0时，kx+b>0解集为x>交点横坐标；k<0时相反。 例1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是 ． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 类型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 方法总结 1. 找交点：联立两直线方程求出交点坐标(x0, y0)。 2. 图象定范围：画出两直线草图，根据不等号方向（如y1> y2）确定对应图象的上下关系，写出x的取值范围。 解题技巧 1. 画图辅助：在坐标系中画出两直线，交点处比较函数值大小，直观确定范围。 2. 分清谁上谁下：y1> y2表示直线l1在l2上方部分对应的x。 例2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，一次函数与的图象交于，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 类型三、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 方法总结 1. 建模列式：设自变量，根据题意建立一次函数关系式，并将比较大小、范围问题转化为不等式。 2. 数形结合：画出函数图象，利用交点、高低关系求解不等式，结合实际背景确定答案。 解题技巧 1. 找临界点：两函数值相等时的x值是关键分界点。 2. 结合实际：答案需考虑x的实际意义（如非负整数、范围限制）。 例3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 【变式3-1】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）学校准备购进一批节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元． (1)求一只型节能灯和一只型节能灯的售价各是多少元； (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共只，并且型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）福鼎市某商店准备购进两种商品，种商品每件进价20元，种商品每件进价15元．将种商品的每件售价定为65元，种商品的每件售价定为45元． (1)商店计划用不超过700元的资金购进两种商品共40件，请问：种商品的进货数量不超过多少件？ (2)“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件种商品的售价优惠（）元，但种商品售价不变；已知种商品的进货数量不低于16件，在（1）的条件下，求销售这40件商品商店获得利润最大时的进货方案． 类型四、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 方法总结 1. 数形结合：一次函数与x轴交点对应方程的解；图象上、下部分对应不等式的解集。 2. 转化统一：将方程、不等式问题转化为函数图象的位置关系问题，利用交点求解。 解题技巧 1. 画图分析：画出函数图象，方程解即交点横坐标，不等式解即图象在某区域对应的x范围。 2. 联立求交点：方程组的解对应两直线交点坐标，是解决综合问题的关键。 例4．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【变式4-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 类型五、含绝对值的函数与一元一次不等式的综合问题 方法总结 1. 分段讨论：根据绝对值内代数式的零点，将函数定义域分段，写出各段函数解析式。 2. 数形结合：画出分段函数图象，根据图象高低或交点位置，求解不等式。 解题技巧 1. 零点定界：先求出绝对值内代数式等于0的x值，作为分段点。 2. 分段求解：在每个分段区间内，去掉绝对值转化为普通不等式，再综合各段解集。 例5．请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【变式5-1】某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【变式5-2】在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： (1)列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）一次函数与的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 7．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，函数与交于点，则不等式的解集为 ． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与分别交轴于点，，两直线相交于点，则不等式的解集是 ． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论： ①； ②； ③不等式的解集是； ④当时，． 其中正确的是 ．    三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 12．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）芯片是信息技术的核心载体，近年来，我国大力推动芯片的自主研发．某芯片研发企业欲新增两条生产线共同生产同型号芯片，助力国产芯片升级．已知生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200颗，，两条生产线一天共生产芯片1000颗． (1)求，两条生产线每天分别生产多少颗芯片？ (2)该企业计划用这两条生产线共同生产18000颗芯片，且生产线生产的芯片量不超过生产线生产的芯片量的2倍．若生产线生产一颗芯片的成本是30元，生产线生产一颗芯片的成本是35元，请你帮该企业设计出生产成本最低的生产方案，并求出最低生产成本． 13．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）观察图象，解答下列问题： (1)直接写出方程的解为______，不等式的解集为______． (2)像（1）这样，借助图象得到的方程的解和不等式的解集所用到的数学思想方法是______（填序号）． A．分类讨论    B．整体思想    C．数形结合    D．极限思想 (3)当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定有解，求出该解；如果不一定，请说明理由． 14．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； (2)若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 15．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次不等式与一次函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 类型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 类型三、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 类型四、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 类型五、含绝对值的函数与一元一次不等式的综合问题 压轴专练 类型一、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 方法总结 1. 找交点：求出直线y=kx+b与x轴交点(-,0)和与y轴交点(0,b)。 2. 数形结合：根据不等式（如kx+b>0）对应直线在x轴上方部分，结合图象写出解集。 解题技巧 1. 先画草图：画出直线的大致位置，直观判断不等式对应的x范围。 2. 注意k符号：k>0时，kx+b>0解集为x>交点横坐标；k<0时相反。 例1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关键． 不等式等价于，观察一次函数图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴当时， ∵不等式即为 ∴从图象可知，当函数图象在轴上方时， ∴此时的取值范围是 ∴不等式的解集是 故答案为： ． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，注意数形结合；由图象知，图象位于x轴下方时自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：当时，函数图象位于x轴下方， 由图象知，此时； 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，直线（k，b为常数，且）经过和两点，则关于x的不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．写出一次函数图象在x轴的上方且在的左侧所对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴当时，， ∴关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·期中）如果直线过第二、三、四象限， 与x轴的交点为， 那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握根据函数图象解不等式的方法．由直线过第二、三、四象限可知，然后画出草图，根据一次函数和一元一次不等式的关系，结合函数图象求不等式的解集． 【详解】解：∵直线过第二、三、四象限， ∴， 又直线与x轴的交点为， ∴草图如下： 不等式表示一次函数图象在x轴下方的部分， 根据图象，当，函数图象在x轴下方， 故不等式的解集是． 故答案是：． 类型二、根据两条直线的交点求不等式的解集 方法总结 1. 找交点：联立两直线方程求出交点坐标(x0, y0)。 2. 图象定范围：画出两直线草图，根据不等号方向（如y1> y2）确定对应图象的上下关系，写出x的取值范围。 解题技巧 1. 画图辅助：在坐标系中画出两直线，交点处比较函数值大小，直观确定范围。 2. 分清谁上谁下：y1> y2表示直线l1在l2上方部分对应的x。 例2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在正比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【详解】解：不等式组的解集为由图像可知满足且的部分为下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图所示，一次函数与的图象交于，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，熟练掌握函数图象之间的关系是解题的关键．根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解： 要使得，即需一次函数的图象在的图象的下方， 由函数图象可知，关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 类型三、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 方法总结 1. 建模列式：设自变量，根据题意建立一次函数关系式，并将比较大小、范围问题转化为不等式。 2. 数形结合：画出函数图象，利用交点、高低关系求解不等式，结合实际背景确定答案。 解题技巧 1. 找临界点：两函数值相等时的x值是关键分界点。 2. 结合实际：答案需考虑x的实际意义（如非负整数、范围限制）。 例3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）购买A型机器人个，则购买B型机器人个，根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据一次函数的性质，求得函数值的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：购买A型机器人个，则购买B型机器人个， 根据题意，得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得，解得， 在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最小， 此时． 答：购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元． 【变式3-1】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）学校准备购进一批节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元． (1)求一只型节能灯和一只型节能灯的售价各是多少元； (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共只，并且型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1)一只A型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元 (2)当购买型灯只，型灯只时，最省钱，最少费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一次函数的应用． （1）设一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）设购进型节能灯只，总费用为元，根据题意求出与的函数关系式，再求得的取值范围，根据一次函数的性质确定最省钱方案即可． 【详解】（1）解：设一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元 依题意得，解得 所以一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元 （2）解：设购进型节能灯只，总费用为元， 依题意得， 因，当取最大值时有最小值 ，解得 而为整数，当时，最小 此时 所以最省钱的购买方案是购进型节能灯只，型节能灯只 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1) (2)建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，得，进而根据一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）福鼎市某商店准备购进两种商品，种商品每件进价20元，种商品每件进价15元．将种商品的每件售价定为65元，种商品的每件售价定为45元． (1)商店计划用不超过700元的资金购进两种商品共40件，请问：种商品的进货数量不超过多少件？ (2)“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件种商品的售价优惠（）元，但种商品售价不变；已知种商品的进货数量不低于16件，在（1）的条件下，求销售这40件商品商店获得利润最大时的进货方案． 【答案】(1)种商品的进货数量不超过20件 (2)当时，购买20件，购买20件；当时，购买件（，且为整数），购买件；当时，购买16件，购买24件，利润最大． 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列不等式组或函数关系式求解． （1）根据题意，列不等式，解答即可； （2）根据一次函数的增减性求最值． 【详解】（1）解：设种商品的数量件，种商品的数量件， 由题意得，， 解得，且为非负整数． 答：种商品的进货数量不超过20件； （2）解：由题意得，所获利润， ． ①当时，， 随着的增大而增大， ， 当，即购买20件，购买20件时，利润最大， 元； ②当时，， 此时与的值无关，即（1）问中所有进货方案获利相同； ③当时，， 随着的增大而减小， ，且x为整数 当，即购买16件，购买24件时，利润最大， 元； 答：当时，购买20件，购买20件； 当时，购买件（，且为整数），购买件； 当时，购买16件，购买24件，利润最大． 类型四、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 方法总结 1. 数形结合：一次函数与x轴交点对应方程的解；图象上、下部分对应不等式的解集。 2. 转化统一：将方程、不等式问题转化为函数图象的位置关系问题，利用交点求解。 解题技巧 1. 画图分析：画出函数图象，方程解即交点横坐标，不等式解即图象在某区域对应的x范围。 2. 联立求交点：方程组的解对应两直线交点坐标，是解决综合问题的关键。 例4．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】图象法解二元一次方程组、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，根据图象进行求解． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解； （3）由图象可知，不等式的解集为：． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴可画图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组的解为：； （3）解：由图象可知：不等式的解集为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【变式4-3】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或0 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解； （2）结合两个函数图象解题即可． （3）先求出点A、B的坐标，然后根据计算面积； （4）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵点在直线：， ∴， ∵点在直线：， ∴， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． （2）由（1）可知：，：， 要使不等式，则的函数图象在函数图象的上面， 结合函数图象可知此时， 故不等式的解集为：． （3）令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴． （4）当时，；当时，， ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为2或0． 类型五、含绝对值的函数与一元一次不等式的综合问题 方法总结 1. 分段讨论：根据绝对值内代数式的零点，将函数定义域分段，写出各段函数解析式。 2. 数形结合：画出分段函数图象，根据图象高低或交点位置，求解不等式。 解题技巧 1. 零点定界：先求出绝对值内代数式等于0的x值，作为分段点。 2. 分段求解：在每个分段区间内，去掉绝对值转化为普通不等式，再综合各段解集。 例5．请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【答案】(1)，画图见解析 (2)3， (3)交点坐标为， (4)或 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合． （1）将，代入求出，然后根据表格中的数据画图即可； （2）首先得到当时，，然后根据图象求解即可； （3）分别得到和时函数的表达式，然后分别和函数联立求解即可； （4）首先画出的图象，然后由（3）得结论求解即可． 【详解】（1）将，代入 得，， 画图如下： （2）当时， ∴由图象可得，当时，最大值，最小值； （3）当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 综上所述，函数与函数的交点坐标为，； （4）如图所示， ∵函数与函数交于点， ∴由图象可得，当或时，函数图象在函数图象上面 ∴的解集为或． 【变式5-1】某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【知识点】用描点法画函数图象、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【变式5-2】在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： (1)列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 【答案】(1)4，2 (2)见解析 (3)或 【知识点】用描点法画函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、从函数的图象获取信息、函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． （1）把，代入中可求，将，代入即可求出； （2）描点补全图象即可； （3）不等式，即的图象在的上方时，对应自变量的取值范围，数形结合可得答案． 【详解】（1）把，代入中得：， ， 当时，， ． （2）描点连线，如下图所示， （3）由图象可得， 不等式，即的图象在的上方， 解集为或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以关于x的不等式的解集是， 所以关于x的不等式的解集是， 所以解集为， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握相关内容是解题的关键； 先对不等式进行变形，再结合一次函数的性质以及点P在直线上求出x的取值范围． 【详解】解：解不等式 移项得 ∵ ∴ 则不等式系数化为1得 ∵点P在直线上 ∴ 移项得 把代入得 综上可得，x的取值范围为： 故选：D ． 3．（25-26八年级下·全国·周测）一次函数与的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的关系知识点，掌握一次函数图象 的性质以及函数图象与方程不等式的关系是解题的关键． 根据一次函数图象经过的象限判断的符号，根据交点横坐标判断方程的解，再根据图象位置判断时与的大小． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ①结论正确； ∵直线与轴交于负半轴， ， ， ②结论错误； ∵一次函数与的图象交点的横坐标为2， 当时，， ③结论正确； 由图可知，当时，， ④结论正确．故正确的个数是3． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，直线交轴于点，交轴于点，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，平方差公式，勾股定理的知识点，掌握利用函数图像确定不等式解集的方法是解题的关键． 先利用平方差公式将已知条件转化，结合勾股定理求出的长度得到点的坐标，再根据判断直线走向，确定不等式的解集． 【详解】解：， ，即， ∴点的坐标为． 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，函数与交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，先理解题意，得出函数与交于点，然后运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数与交于点， ∴ 解得， 即函数与交于点， ∴观察函数图象，得不等式的解集为， 故答案为： 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与分别交轴于点，，两直线相交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查由函数图象解不等式，数形结合是解决问题的关键． 先由得到或，再由直线与分别交轴于点，，得到当时，；当时，；当时，；当时，；解不等式组即可得到答案． 【详解】解：不等式， 或， 直线与分别交轴于点，， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 则对于不等式组，解集为；对于不等式组，解集为； 综上所述，或， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 【详解】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是，故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是，故③错误． 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 10．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论： ①； ②； ③不等式的解集是； ④当时，． 其中正确的是 ．    【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质、一次函数的性质以及一次函数与一元一次不等式的关系．根据正比例函数与一次函数的图象性质，通过观察图象的位置判断、的正负，根据函数图象的位置关系确定不等式的解集以及的正负情况． 【详解】①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误； ②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确； ③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确； ④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确； 故答案为：②③④． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)点的坐标为_____，不等式的解集为_____． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）将点代入，求出n，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式即可； （2）先求出点C坐标，再利用函数图象作答即可． 【详解】（1）解：过点， ， ∴， ∴， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点的坐标为， 根据函数图象可知：不等式的解集为． 12．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）芯片是信息技术的核心载体，近年来，我国大力推动芯片的自主研发．某芯片研发企业欲新增两条生产线共同生产同型号芯片，助力国产芯片升级．已知生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200颗，，两条生产线一天共生产芯片1000颗． (1)求，两条生产线每天分别生产多少颗芯片？ (2)该企业计划用这两条生产线共同生产18000颗芯片，且生产线生产的芯片量不超过生产线生产的芯片量的2倍．若生产线生产一颗芯片的成本是30元，生产线生产一颗芯片的成本是35元，请你帮该企业设计出生产成本最低的生产方案，并求出最低生产成本． 【答案】(1)生产线每天生产600颗芯片，生产线每天生产400颗芯片 (2)该企业可以设计生产线共生产12000颗芯片，生产线共生产6000颗芯片，成本最低，最低生产成本为570000元 【分析】此题考查了二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数解析式是关键． （1）设生产线每天生产颗芯片，生产线每天生产颗芯片．生产线一天生产芯片的产量比生产线一天生产芯片的产量多200颗，，两条生产线一天共生产芯片1000颗．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设生产线共生产颗芯片，则生产线共生产颗芯片，生产成本为元．先求出的取值范围，再利用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设生产线每天生产颗芯片，生产线每天生产颗芯片．根据题意得： 解得 答：生产线每天生产600颗芯片，生产线每天生产400颗芯片． （2）解：设生产线共生产颗芯片，则生产线共生产颗芯片，生产成本为元．根据题意得：， 解得． 因为， 所以随的增大而减小，故当时，有最小值， 此时元， 生产线共生产12000颗芯片，生产线共生产颗芯片，． 答：该企业可以设计生产线共生产12000颗芯片，生产线共生产6000颗芯片，成本最低，最低生产成本为570000元． 13．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）观察图象，解答下列问题： (1)直接写出方程的解为______，不等式的解集为______． (2)像（1）这样，借助图象得到的方程的解和不等式的解集所用到的数学思想方法是______（填序号）． A．分类讨论    B．整体思想    C．数形结合    D．极限思想 (3)当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定有解，求出该解；如果不一定，请说明理由． 【答案】(1)， (2)C (3)不一定，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式． （1）依据题意，由方程的解为与的交点的横坐标，进而结合图象可得方程的解，又由图可得，当时，直线在直线的下方，进而可以判断得解； （2）依据题意，把解不等式的问题转化为解一元一次方程组的问题，然后画出一次函数与图象后利用数形结合的思想解决问题； （3）依据题意，当时，方程组为，则此方程组无解，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵方程的解为与的交点的横坐标， ∴结合图象可得，方程的解为； 又由图可得，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为， 故答案为：；； （2）解：像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是，主要体现的数学思想是数形结合思想． 故答案为：C； （3）解：不一定有解．理由如下： ∵当时，方程组为， ∴此方程组无解， ∴当a取任意一个不为0的实数时，方程组不一定有解． 14．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元； (2)若甲种剪纸的售价为65元一套，乙种剪纸的售价为50元一套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1) 甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 (2) 甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【分析】本题主要考查一元一次方程，不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元，由此列方程求解即可； （2）设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套，由题意列不等式得到，设利润为，结合题意得到，由此一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购进一套乙种剪纸的价格是x元，则购进一套甲种剪纸的价格是元， ∴， 解得，， ∴， ∴甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元； （2）解：设购进甲种剪纸套，购进乙种剪纸套， ∴， ∴， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，，此时， ∴甲种剪纸装饰40套，乙种剪纸装饰20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 15．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质． 【操作发现】 （1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． …… 0 1 2 …… …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 （2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________； 【拓展提高】 （3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，②；（2）或；（3）①；②存在，的周长为 【分析】（1）利用描点法画出函数图像，再结合函数图像判断每个说法的正误即可； （2）结合函数图像即可求解； （3）①作直线，根据题意可知直线与函数的图像有2个交点，找出临界点代入求出的值，即可解答；②联立函数解析式求出，，根据勾股定理可得；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，，分析可知当三点共线时，的周长有最小值，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）画出函数的图像如下： 结合函数图像，函数有最小值，没有最大值，故①正确； 当时，随的增大而增大，故②错误； 图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确； ∴说法错误的是②； （2）由图像得，当或时，函数值， ∴当函数值时，自变量的取值范围为或； 故答案为：或； （3）①如图，作直线， ∵关于的方程有两个不同的解， ∴直线与函数的图像有2个交点， 当直线经过点时，则，解得， ∴的取值范围为； ②联立， 解得或， ∴，， ∴； 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，， ∴， ∵的周长， ∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为， ∴综上，存在，的周长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $