专题08 不等式与不等式组的解法与应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题08 不等式与不等式组的解法与应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求一元一次不等式的解集 类型二、一元一次不等式求解中错解复原问题 类型三、求一元一次不等式组的解集 类型四、一元一次不等式组求解中错解复原问题 类型五、不等式与不等式组的应用 类型六、解|x|≥a型的不等式 压轴专练 类型一、求一元一次不等式的解集 方法总结 1. 求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意乘除负数要变号。 2. 解集表示：用不等式表示解集（如x > a），或在数轴上标出（空心/实心点+方向）。 解题技巧 1. 系数化1必判号：最后一步系数化为1时，先观察系数正负，确定不等号是否反向。 2. 特值检验：解出解集后，取一个数值代入原不等式验证正确性。 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与解集的数轴表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）（2）按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为，求出不等式的解集并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 其解集在数轴上表示如图． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）先去分母再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示； （2）先去分母、去括号再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了知识点一元一次不等式的解法及解集的数轴表示，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤，并注意系数化为时不等号方向的变化． （1）先通过去括号、移项、合并同类项、系数化为来解一元一次不等式，最后在数轴上表示解集； （2）先去分母，再按解一元一次不等式的步骤求解，最后在数轴上表示解集． 【详解】（1）解： ． 解集在数轴上表示如图． （2）解： ． 解集在数轴上表示如图． 【变式1-3】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 类型二、一元一次不等式求解中错解复原问题 方法总结 1. 错因定位：对比错误解集与正确步骤，找出具体出错点（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向）。 2. 修正还原：根据错误位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1. 代入检验：将错误解集中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2. 特值定位：取错误解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例2．（25-26八年级下·全国·月考）数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程： 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ．第四步 (1)该同学的解题过程第____________步开始出现错误． (2)求出原不等式的正确解集． 【答案】(1)一 (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）观察嘉嘉同学解题过程，找出错误的步骤即可； （2）利用解不等式的一般步骤解题即可． 【详解】（1）解：一．根据去分母，去括号的计算得到从第一步开始出错，当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据所给解一元一次不等式的步骤，写出每步的依据即可． 【详解】解：由题知， 第一步的依据是：不等式的基本性质2， 第二步的依据是：不等式的基本性质1， 第三步的依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 【变式2-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式2-3】（25-26八年级下·全国·周测）小明解不等式时出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得，    第一步 去括号，得，    第二步 移项、合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 (1)小明的解答过程从第 步开始出现错误，其错误原因是 ． (2)写出此题正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)一，不等式的右边没有乘各分母的最小公倍数（合理即可） (2)见解析 (3)解不等式需要注意不等式两边同乘或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变（合理即可） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的步骤，去分母时每一项都要乘，系数为负时不等号方向改变是解题的关键． （1）观察小明的步骤，第一步去分母时，不等式右边的没有乘各分母的最小公倍数，导致错误； （2）按照解一元一次不等式的正确步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为进行求解； （3）结合解不等式的易错点，给出合理建议． 【详解】（1）解：∵解不等式 时，去分母需要将不等式两边的所有项都乘以分母的最小公倍数， ∴正确的去分母结果应为 ∵小明的解答过程第一步为 ∴小明的解答过程从第一步开始出现错误，其错误原因是去分母时，不等式右边的常数项没有乘以最小公倍数． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：示例：解不等式需要注意不等式两边同乘或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变（合理即可）． 类型三、求一元一次不等式组的解集 方法总结 1. 分别求解：先求出不等式组中每个不等式的解集。 2. 找公共部分：将各解集在数轴上表示，找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 解题技巧 1. 数轴直观法：画出数轴，分别标出各解集的范围，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2. 口诀辅助：熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，但需结合数轴验证。 例3．（25-26七年级下·全国·周测）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】   见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如图： 【变式3-1】（25-26七年级下·全国·期末）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)   见解析 (2)   见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别解两个一元一次不等式，然后取两个解集公共部分就是这个不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式， 移项得 合并同类项得， 解不等式， 移项得 合并同类项得 系数化为得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图①所示． （2）解：解不等式， 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 解不等式， 去分母得 移项得 合并同类项得 系数化为得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示如答图②所示． 【变式3-2】（25-26七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． 【变式3-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)．数轴见解析 (2)．数轴见解析 (3)无解．数轴见解析 【分析】（1）（2）（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图①所示， ∴这个不等式组的解集为． （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图②所示， ∴这个不等式组的解集为． （3）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图③所示， ∴这个不等式组无解． 类型四、一元一次不等式组求解中错解复原问题 方法总结 1. 错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点。 2. 公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误。 解题技巧 1. 分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确。 2. 代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 例4．（24-25八年级下·河南郑州·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ∴．第二步 由②，得，第三步 ∴．第四步 故原不等式组的解集为．第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，第一步，去括号时未知数x没有乘以2；第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变．正确过程见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误， 第一步，去括号时未知数x没有乘以2； 第四步，不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变． 正确过程如下：由①得， 所以， 所以， 由②得， 所以， 所以不等式组的解集为． 【变式4-1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是______；第______步开始出现错误； (2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的基本性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组解集． （1）根据不等式的基本性质和移项需要变号可知第三步出错； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是：不等式的基本性质2； 第三步移项出错，移项没有改变符号； 故答案为：不等式的基本性质2；三； （2）解：由①去分母得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； 由②移项，得， 解得； 不等式组的解集为：； 如图： ． 【变式4-2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得，．第三步 ．第四步 ．第五步 第六步 …… (1)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第二步，第三步 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握不等式的性质，不等式解集的取值方法是解题的关键． （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质分别解出①②的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间中，大大小小无解”的方法即可求解，再在数轴表示出来即可． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解：解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ， ， 则不等式组的解集为：． 数轴上表示为： 【变式4-3】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，．    第一步 移项，得．    第二步 合并同类项得，    第三步 所以：        第四步 (1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 【答案】(1)不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤结合不等式的性质判断即可 （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号， 故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号； （2）解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 类型五、不等式与不等式组的应用 方法总结 1. 建模列式：抓“至少、最多、不超过”等关键词，设未知数，将实际问题转化为不等式（组）。 2. 解验作答：求不等式（组）的解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数）确定答案并作答。 解题技巧 1. 关键词转化：“不小于”对应“≥”，“超过”对应“>”，“不足”对应“<”，准确翻译不等关系。 2. 双重检验：解集求出后，既要检验是否满足不等式，也要检验是否符合实际背景（如取整、范围）。 例5．（25-26九年级上·山东济南·期末）某商店购进一批红茶和绿茶，红茶的进价为70元/盒，绿茶的进价为90元/盒．一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元，小明从商店购买1盒红茶与4盒绿茶共花费580元． (1)求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元； (2)春节期间红茶按售价的八折销售，小颖欲购买红茶、绿茶共10盒，若要商店的获利不低于240元，小颖最多可购买多少盒红茶？ 【答案】(1)红茶每盒的售价为100元，绿茶每盒的售价为120元． (2)小颖最多可购买3盒红茶 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意建立方程组和不等式求解． （1）设红茶每盒的售价为元，绿茶每盒的售价为元，根据“一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元，小明从商店购买1盒红茶与4盒绿茶共花费580元”建立二元一次方程组求解即可； （2）设小颖购买红茶a盒，则购买绿茶盒，根据“获利不低于240元”建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设红茶每盒的售价为元，绿茶每盒的售价为元， 由题意得：， 解得， 红茶每盒的售价为100元，绿茶每盒的售价为120元． （2）解：设小颖购买红茶a盒，则购买绿茶盒， 由题意得：， 解得：， 小颖最多可购买3盒红茶． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养未来科技创新人才的重要路径，为此教育部等7部门于2025年10月29日印发了《关于加强中小学科技教育的意见》．某学校为了加强同学们的科技教育，计划购买A，B两种型号的科技教育设备，已知购买1台A型设备和2台B型设备需8000元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． (1)求A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买A，B两种型号的科技教育设备共60台，其中A种型号设备的数量不少于B种型号设备的数量，设购买A种型号设备台，购买A，B这两种型号设备的总费用为元，请写出与之间的关系式，并求出购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要多少元． 【答案】(1)A，B两种型号的科技教育设备的单价分别是3000元，2500元 (2)w与之间的关系式为，购买A，B这两种型号设备的总费用最少需要165000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的综合运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设，两种型号的科技教育设备的单价分别是元，元，根据题目中的数量关系列方程组求解即可； （2）设购买A种型号设备台，则购买B种型号设备台，根据题意列不等式得到，再根据总费用得到，结合一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设，两种型号的科技教育设备的单价分别是元，元， 根据题意，得， 解这个方程组，得， ∴，两种型号的科技教育设备的单价分别是3000元，2500元． （2）解：设购买A种型号设备台，则购买B种型号设备台， ∴， 解得，， 购买A，B这两种型号设备的总费用为元， ∴，且， ， ∵， ∴随着的增大而增大， 又， ∴当时，最小，最小值为， ∴w与之间的关系式为，且， 购买，这两种型号设备的总费用最少需要165000元． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 【变式5-3】（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 类型六、解|x|≥a型的不等式 方法总结 1. 几何意义：|x| ≥ a表示数轴上x到原点的距离大于等于a。 2. 代数转化：当a > 0时，解集为x≤ -a或x≥ a；当a = 0时，解集为全体实数；当a < 0时，解集为全体实数。 解题技巧 1. 先判a正负：不要直接套用“x ≤ -a或x≥a”，必须先判断a的正负情况。 2. 数轴辅助：画出数轴，标出-a和a两点，直观确定“两边跑”的范围。 例6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 【变式6-1】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【变式6-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为． 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： (1)不等式的解集为___________． (2)求不等式的解集． (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴与不等式． （1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5， 不等式的解集为或； 法②：不等式可化为或， 解得：或； 不等式的解集为或； （3）解：不等式可化为， ， 所以原不等式的解集为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握被开方数非负．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴ 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∴m的取值范围是． 故选B． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解法，注意解不等式的依据是不等式的性质，理解不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变是关键． 将代数式化简为 ，然后根据值不大于列出不等式求解． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值始终不大于 ， ∴ ， 两边乘（正数，不等号方向不变）：， 移项：， 两边乘 （负数，不等号方向改变）：， ∴ 的取值范围是 ， 故选： A． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期末）对于实数，定义一种运算“”：，则不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，先由新定义运算可得不等式组为，再分别求解，表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵对于实数，定义一种运算“”：， ∴不等式组为， 解可得：， 解可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：D． 6．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行两次就停止，即可得出关于的一元一次不等式组，然后求出的取值范围即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 解得：， 故选：． 二、填空题 7．（25-26七年级下·全国·周测）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解：解不等式， 移项得，即； 解不等式， 移项得，即， 两边除以3得； 故不等式组的解集为．     故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一次函数经过的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据一次函数的图象过第一、三、四象限，得到，求不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，解得； 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每个产品材料成本10元，售价20元，场地及宣传费为销售收入的，若要使利润（销售收入减去材料成本、前期投入、场地及宣传费）超过1000元，则至少需要制作并售出 个产品． 【答案】334 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． 根据题意，设售出产品数量为x个，则求出销售收入、材料成本、场地及宣传费，根据“利润超过1000元”列不等式求解，根据x为整数作答即可． 【详解】解：设售出产品数量为x个， ∵每个产品材料成本10元，售价20元， ∴销售收入为元，材料成本为元， ∵场地及宣传费为销售收入， ∴场地及宣传费为元， ∵利润为销售收入减去材料成本、前期投入和场地及宣传费，利润超过1000元， 即， 解得， ∵x为整数， ∴x至少为334． 故答案为：334． 11．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，求不等式组的解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意得出，消去t得，在中，代入计算得出． 【详解】解：∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级下·全国·周测）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），见解析（2），见解析 【分析】（1）首先去括号，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集； （2）首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集． 【详解】解：（1）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上表示如图． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 14．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）求不等式组的所有整数解，并把解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集为 ，整数解为 ，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，整数解，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：给定不等式组 ， 解第一个不等式：， 两边乘以2得 ， 两边减8得 ， 解第二个不等式：， 两边加2得 ， 两边乘以3得 ， ∴不等式组的解集为 ， 整数解为 ， 解集在数轴上表示： 15．（25-26七年级下·全国·月考）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由①，得，第一步 ．第二步 由②，得，第三步 ，第四步 ．第五步 故原不等式组的解集为． 圆圆的解答过程从哪一步开始出错？请写出正确的解答过程． 【答案】第一步   过程见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，去括号法则，掌握解不等式时去括号要应用分配律，不等式组解集取各解集的公共部分是解题的关键． 先检查圆圆的解答步骤，发现第一步去括号时漏乘，导致错误，再正确去括号求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分． 【详解】解：圆圆的解答过程从第一步开始出错． 正确的解答过程如下： 由①，得， ， ． 由②，得， ． 故原不等式组的解集为． 16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 17．（25-26八年级上·河南郑州·期末）某文具店计划采购A，B两种书签，据了解，购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元． (1)求A，B两种书签每张的购买价格． (2)该文具店计划购进A，B两种书签共60张，且A书签的数量不超过B书签数量的，已知A，B两种书签的销售单价分别为10元和12元，如何设计购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)5元；8元 (2)购进15张A书签，45张B书签；255元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每张A种书签的进价是x元，每张B种书签的进价是y元，根据“购买15张A书签与25张B书签需花费275元；购买20张A书签和30张B书签需花费340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m张A种书签，则购进张B种书签，根据A种书签的购进数量不超过B种书签数量三分之一，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每张A种书签的销售利润×购进A种书签的数量＋每张B种书签的销售利润×购进B种书签的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每张A书签的进价是元，每张B书签的进价是元， 根据题意，得， 解得， 答：每张A书签的进价是5元，每张B书签的进价是8元； （2）解：设购进张A书签，则购进张B书签，根据题意，得   ． 解得． 设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为元，则 ， 即． ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值， 最大值为． 此时． 答：当购进15张A书签，45张B书签时，文具店在这批书签全部售出后获得利润最大，最大利润是255元． 18．（25-26八年级上·四川成都·期末）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 【答案】(1) 每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； (2) w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组，不等式和函数关系式． （1）设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据已知条件列出二元一次方程组求解每箱百香果和金桔的售价； （2）设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，根据百香果的箱数不少于金桔的箱数求出m的取值范围，然后列出获利的函数关系式，根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； （2）解：设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，获利为元， 则， 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小． 又， 当时，最大． 答：w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08不等式与不等式组的解法与应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、求一元一次不等式的解集 类型二、一元一次不等式求解中错解复原问题 类型三、求一元一次不等式组的解集 类型四、一元一次不等式组求解中错解复原问题 类型五、不等式与不等式组的应用 类型六、解|x|≥a型的不等式 压轴专练 典例详解 类型一、求一元一次不等式的解集 方法总结 1.求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意乘除负数要变号。 2.解集表示：用不等式表示解集（如x>a),或在数轴上标出（空心/实心点+方向）。 解题技巧 1.系数化1必判号：最后一步系数化为1时，先观察系数正负，确定不等号是否反向。 2.特值检验：解出解集后，取一个数值代入原不等式验证正确性。 例1.(25-26七年级下·全国课后作业)解不等式，并把解集在数轴上表示出来。 0①2x-1.9x+2≤1. 36 ②+1-1<2x 3 2Γ 【变式1-1】(25-26八年级下，全国·课后作业)解下列不等式，并把解集表示在数轴上. 0512 2 22x-≤3x+2-1. 3 4 【变式1-2】(25-26七年级下.全国课后作业)解不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)2x-1124x-3)+3. 1/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22x-1_6r-7≥2x+5-1. 3 412 【变式1-3】(2025七年级上江苏苏州专题练习)解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来， (1)3x-523+2x-1: @224- 5 ③2x+110x+1>5-5. 3 6 4 类型二、一元一次不等式求解中错解复原问题 方法总结 1.错因定位：对比错误解集与正确步骤，找出具体出错点（去分母漏乘、移项忘变号、系数化1忘反向）。 2.修正还原：根据错误位置，按不等式性质反向推导，恢复正确系数与不等号方向。 解题技巧 1.代入检验：将错误解集中某值代入原不等式，快速判断不等号方向是否矛盾。 2.特值定位：取错误解边界值与正确解边界值分别代入变形过程，对比找出系数符号错误点。 例2.(2526八年级下全国月考)数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式，1_x+2,,4的过程： 36 2 解：2x-2-x+2>3r-12,第一步 2x-x-3x>-12,第二步 -2x>-12,第三步 x>6.第四步 (1)该同学的解题过程第 步开始出现错误。 (②)求出原不等式的正确解集， 【变式2-1】(25-26八年级上河北张家口期末)下面是小明同学解不等式x+5-1>3x+2的过程. 2 解： x+5-2>3x+2第一步 -2x>-1..第二步 1 x<2第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据：一； 第二步的依据：一； 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第三步的依据：一· 【变式22】25.26八年级上浙江金华期末)下面是小数同学解一元一次不等式，<？+1的过程 请认真阅读并完成下列问题 解：去分母，得31+x)<2(1+2x+6 去括号，得3+3x<2+4x+6.第二步 移项，得3r+4x<2+6+3.第三步 合并同类项，得7x<11.第四步 系数化为1，得x< >. 第五步 ()以上解题过程中，第一步的依据是 第 步开始出现错误. (2)请你写出正确解答过程， 【变式23】(25-26八年级下全国周测)小明解不等式+4_ 32 ≤1时出现了错误，他的解答过程如下： 解：去分母，得2x+4)-3(x-1≤1， 第一步 去括号，得2x+8-3x+3≤1， 第二步 移项、合并同类项，得-x≤-10， 第三步 系数化为1，得x≥10. 第四步 (1)小明的解答过程从第步开始出现错误，其错误原因是_· (2)写出此题正确的解答过程 (3)请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议. 类型三、求一元一次不等式组的解集 方法总结 1.分别求解：先求出不等式组中每个不等式的解集。 2.找公共部分：将各解集在数轴上表示，找出所有解集的公共部分，即为不等式组的解集。 解题技巧 1.数轴直观法：画出数轴，分别标出各解集的范围，公共部分一目了然，避免口诀记错。 2.口诀辅助：熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，但需结合数轴验证。 例3.(25-26七年级下·全国周测)解不等式组并把解集在数轴上表示出来 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [2x-2≤x① x*2>-园 【变式3-1】(25-26七年级下.全国期末)解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： 「2x-1>x+1 0x+8<4x-l 2x-5≤3(x-1 ②x+7>4x [2 【变式3-2】(25-26七年级下，全国·周测)解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来. 3x-1≤x+1 (02x>x-3 x-3x-2)≤8 ②3+x>x-1 3 【变式3-3】(25-26七年级下·全国课后作业)解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. （x1 (1)23 2(x-3)-3(x-2)>-6 [6+2x<7+x 2 3x-2≤-8 5x-1<x-5 (3) x+4>7 类型四、一元一次不等式组求解中错解复原问题 方法总结 1. 错解定位：分别检查每个不等式的求解过程，找出系数化1漏变号、移项忘变号等具体错误点。 2.公共部分复核：将正确的不等式解集在数轴上表示，重新确定公共部分，对比错误解集找出失误。 解题技巧 1.分步检验：先单独验证每个不等式的解集是否正确，再验证公共部分取法是否正确。 2.代入验证：取错误解集中一个数值代入原不等式组，若不符合某个不等式，则说明该不等式求解有误。 例4.（24-25八年级下·河南郑州·月考)以下是圆圆解不等式组{ 21+x)>-1① 的解答过程： 1-x>2② 解：由①，得2+x>-1,第一步 x>-3.第二步 由②，得-x>1,第三步 x>-1.第四步 4/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故原不等式组的解集为x>-1,第五步 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出错误的步骤和错误原因，并写出正确的解答过程. [,2x-2,3-x① 1- 【变式4-1】(25-26八年级上·福建漳州月考)下面是嘉嘉同学解一元一次不等式组 5-2 的 3x-5<4② 过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解：由①去分母，得10-2(2x-2)≥5(3-x第一步 去括号，得10-4x+4≥15-5x第二步 移项，得-4x-5x≥15-10-4第三步 合并同类项，得-9x≥1第四步 系数化为1，得≤号第五步 (①)任务一：以上解题过程中，第一步的依据是；第 步开始出现错误； (2)任务二：请你帮嘉嘉同学正确求解如上不等式组，并把它的解集表示在数轴上. x-2<2x ① 【变式4-2】(24-25七年级下·上海奉贤期中)以下是乐乐解不等式组 2x+2≤+1 ②的部分过程： 3 2 解不等式①得，x-2x<2.第一步 x<-2.第二步 解不等式②得，2(2x+2)≤3x+1.第三步 4x+4≤3x+1.第四步 4x-3x≤1-4.第五步 x≤-3第六步 (①)填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是_： (②)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来. 432-101234 3(x+1)>8-x① 【变式4-3】(24-25八年级下河南郑州期末)下面是某同学解不等式组x+3 ≤x② 的部分解答过程， 2 请阅读并完成相应的任务， 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解： 由不等式②得，x+3≤2x,第一步 移项，得x-2x≤-3.第二步 合并同类项得，-x≤-3第三步 所以：x≤3 第四步 ()任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是，第_步开始出现错误，错误的原因是_ (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集. 类型五、不等式与不等式组的应用 方法总结 1. 建模列式：抓“至少、最多、不超过”等关键词，设未知数，将实际间题转化为不等式（组）。 2.解验作答：求不等式（组）的解集，结合实际意义（人数、件数为非负整数）确定答案并作答。 解题技巧 1.关键词转化：“不小于”对应“≥”，“超过”对应“>”，“不足”对应“<”，准确翻译不等关系。 2.双重检验：解集求出后，既要检验是否满足不等式，也要检验是否符合实际背景（如取整、范围）。 例5.(25-26九年级上山东济南期末)某商店购进一批红茶和绿茶，红茶的进价为70元/盒，绿茶的进价 为90元/盒.一盒红茶的售价比一盒绿茶的售价低20元，小明从商店购买1盒红茶与4盒绿茶共花费580 元 (①)求红茶和绿茶每盒的售价分别是多少元： (2)春节期间红茶按售价的八折销售，小颖欲购买红茶、绿茶共10盒，若要商店的获利不低于240元，小颖 最多可购买多少盒红茶？ 【变式5-1】(25-26八年级上·河南平顶山期末)加强中小学科技教育是服务国家创新驱动发展战略、培养 未来科技创新人才的重要路径，为此教育部等7部门于2025年10月29日印发了《关于加强中小学科技教 育的意见》.某学校为了加强同学们的科技教育，计划购买A,B两种型号的科技教育设备，已知购买1台 A型设备和2台B型设备需8000元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元. (I)求A,B两种型号的科技教育设备的单价分别是多少元？ (②)该校计划购买A,B两种型号的科技教育设备共60台，其中A种型号设备的数量不少于B种型号设备的 数量，设购买A种型号设备a台，购买A,B这两种型号设备的总费用为w元，请写出w与a之间的关系式， 并求出购买A,B这两种型号设备的总费用最少需要多少元. 【变式5-2】(25-26八年级上山东菏泽·期末)《义务教育语文课程标准》(2022年版)提出：初中阶段的阅 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 读量不少于260万字.为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求.如图是长为94cm的单 格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约1.2cm,艺术类图书 每本厚约0.8cm. 94cm (1)若在该书架上，文学类图书己经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆 放多少本？ (②)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书 数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【变式5-3】(2026山东临沂模拟预测)文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍 的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元， (I)求A、B这两种书籍的进货单价， (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店 老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部 售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案. (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 类型六、解上a型的不等式 方法总结 1.几何意义：x≥a表示数轴上x到原点的距离大于等于a。 2.代数转化：当a>0时，解集为x≤-a或x≥a;当a=0时，解集为全体实数；当a<0时，解集为全体 实数。 解题技巧 1.先判a正负：不要直接套用“x≤-a或≥a”,必须先判断a的正负情况。 2.数轴铺助：画出数轴，标出-α和a两点，直观确定“两边跑”的范围。 例6.(2425七年级下江苏扬州月考)请阅读下面求含绝对值的不等式x<3和x>3的解集过程， 对于含绝对值的不等式x<3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3，所以x<3的解 集为-3<x<3;对于含绝对值的不等式x>3,从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3， 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以x>3的解集为x<-3或x>3. -3<x<3 x<-3 x>3 -5-4-3-2-1012345 5-4-3-2-1012345 图1 图2 (1)求含绝对值的不等式x>2的解集； (2)己知含绝对值的不等式x-1<a的解集为b<x<3,求a,b的值。 【变式6-1】(24-25八年级下，江西南昌·期末)如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知 数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题. 例如求x<3和x>3的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， -4-3-2-10123 x<3的解集为-3<x<3, -43-2-10123→ .x>3解集为x>3或x<-3. 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式x>1的解集为 (2)解不等式x+2≤6； (3)求不等式x-2+x+3>7的解集， 【变式6-2】(24-25七年级下·河北保定·期末)小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不 等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.求绝对值不等 式x>2的解集.小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出x=2时x的值，并在数轴上表示为点 A,B,如图所示.观察数轴发现，以点A,B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对 值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此， 小明得出结论：不等式x>2的解集为x<-2或x>2. A B -5-4-3-2-1012345→ 【迁移应用】 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)填空：x>5的解集是； (2)求绝对值不等式x+1>3的解集； 2x-y=-m-2 (3)己知关于x、y的二元一次方程组 -x+2y=2m+3 的解满足x+y≤3，则m的取值范围 【变式6-3】(24-25七年级下·福建漳州期中)【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如x=x-0表示数轴上表示x这 个数的点到原点的距离，那么式子x-可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离， 于是解不等式x-1≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴 上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在-1和3之间（包含-1和3两个点），这样我们就可以得到不 等式x-1≤2的解集为-1≤x≤3. -4-3-2-1012 34 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： -6-5-4-3-2-10123456 (1)不等式x≤6的解集为 (2)求不等式x-2≥3的解集 (3)求不等式4x+1-5<3的解集. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国·期末)若二次根式√3x-9在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 D.x<3 2.(25-26八年级上·安徽宿州·期末)若点P(2m-3,m+2)在第二象限，则m的取值范围是() 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Am号 B.-2<m<2 D.m>2 C.m>-2 3.(25-26八年级下全国课后作业)若代数式2x3引_5x-4的值始终不大于-1，则x的取值范围是() 3 6 A.x2-2 B.x2-10 C.x≥-7 D.x≤-2 4.(24-25八年级上·浙江杭州期中)若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人， 则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为() 4x+2-6x-1>0 4x+2-6x-1>1 A. B. 4x+2-6x-1)<6 4x+2-6x-1)<5 4x+2-6x-2)>0 4x+2-6x-1)>1 C. D 4x+2-6x-2)<6 4x+2-6(x-2)<5 5.(25-26八年级上·全国期末)对于实数a,b定义一种运算“⊕”：a⊕b=a2+2ab,则不等式组 3⊕x<3 (-2)©x≥0的解集在数轴上表示正确的是（) A. -21 2→ B -2-1 C.- D. -2-1012 -2-10 6.(24-25七年级下·辽宁盘锦·月考)如图，是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值”到 判断“结果是否≥37”为一次运行过程，如果程序运行两次才停止，那么输入的x的取值范围是() 输入 ×5 +2 ≥37 输出结果 否 A.1≤x<7 B.3<x≤7 C.1<x≤7 D.3≤x<7 二、填空题 7.(25.26七年级下全国周测)不等式2+3-2≤一1的非负整数解为 3 4 2x-1≥x+2 8.(25-26七年级上河南新乡期末)不等式组{ r+5<4x-1的解集是 9.(25-26八年级上江苏南京月考)一次函数y=(2m-1)x+m-7的图象经过第一、三、四象限，则m的 取值范围是 10.(25-26八年级上·浙江杭州期末)杭州某中学社团制作杭州特色文创产品义卖，前期投入1000元，每 10/12