精品解析：湖北武汉市东湖新技术开发区2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷

2025～2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 2个球都是黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件发生的可能性大小．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据不可能事件的定义进行判断即可． 【详解】解：A. 2个球都是黑球，是随机事件； B. 2个球都是白球，是不可能事件； C. 2个球中有黑球，是必然事件； D. 2个球中有白球，是随机事件； 故选B． 2. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析． 【详解】解：A．不是中心对称图形，所以不符合题意； B．是中心对称图形，所以符合题意； C．不是中心对称图形，所以不符合题意； D．不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：B． 3. 已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相交，然后根据相交的定义对各选项进行判断． 【详解】∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm， ∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm 即圆心O到直线l的距离≤圆的半径， ∴直线l和⊙O相切或相交， ∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 4. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，需先将一元二次方程化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（两根之和为，两根之积为，其中、、为一般形式的系数，且判断选项即可． 【详解】解：∵原方程为 ∴移项化为一般形式：，两边同乘得 此方程中，， 根据根与系数的关系： ， 故选：D． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移规律，关键是掌握抛物线()的相关性质：的正负决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为；平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，此抛物线中， ∴对称轴是直线，B选项错误； ∵抛物线的顶点坐标为，此抛物线中，， ∴顶点坐标是，C选项正确； 抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线为，与不符，D选项错误； 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和圆周角定理．连接，根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等求出的度数． 【详解】解：连接， ，， ． ， ． 故选：C． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据每天遗忘百分比，两天后记得的知识量为，以此可列出方程． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为x， ∴一天后记得的知识为， 两天后记得的知识为， 又∵两天不练丢一半， ∴， 故选：A． 8. 李明了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平，准备在一节数学课上随机选取其中两位的成就进行分享，选到赵爽、杨辉两位数学家的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求等可能事件概率，关键是先通过列表法或树状图法列出所有等可能的选取结果，统计出总结果数，再找出符合“选到赵爽、杨辉”的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：将祖冲之、赵爽、杨辉、秦九韶、刘徽这5位数学家分别记为，，，，，列表如下： 共有种等可能的结果，其中选到数学家赵爽和杨辉的结果有：，，共2种， ∴选到数学家赵爽和杨辉的概率是． 故选：D． 9. 如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理，首先过点作，设，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示， 过点作， 又∵， ∴四边形是矩形 ， ∵是的内切圆，半径为， ∴ ， 设， 则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴． 故选：B． 10. 如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形，依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ，四边形是黄金矩形 ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故选：B． 二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 12. “头盔是生命之盔”．某市质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数 97 196 295 489 785 981 2940 合格头盔的频率（精确到千分位） 若该工厂生产10000个头盔，可估计合格的头盔数有______个． 【答案】 9800 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的统计思想，解题的关键是通过大量重复试验，用稳定的频率来估计概率，再用概率乘以总数得到估计值； 先根据表格数据确定合格头盔的频率稳定在，再用计算合格头盔的数量． 【详解】解：由表格可知，随着抽查数量的增加，合格头盔的频率逐渐稳定在， 因此可估计该工厂生产头盔的合格概率为． ． 故答案为：． 13. 半径为2的正十二边形中心角的度数是______，每一个内角的度数是______，面积是______． 【答案】 ①. ②. ③. 12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，内角，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握计算公式． 根据正多边形的中心角外角求解中心角以及外角，即可求解内角，过点作于点，根据直角三角形的性质求出，即可求解的面积，即可求解正十二边形的面积． 【详解】解：正十二边形中心角的度数外角的度数， ∴每个内角的度数为 过点作于点， 则由题意得，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积， 故答案为：，，． 14. 沈括所著的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长的近似值l的计算公式：，当，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 根据已知条件求得的长，代入即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是弦的中点，在上，， ∴， ∵， ∴在上，， 在中， ∴ ∴ 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，，点D在上，，E是中点，将线段绕点B旋转，点D的对应点为F，连接、，当为直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分两种情形，当点在内时，，此时点、、三点共线，且在、之间；当点在外时，，此时点、、三点共线，且在、之间，分别通过勾股定理求的长即可． 【详解】解：是等边三角形，是中点， ， 由题意可得， 当点在内时，，此时点、、三点共线，且在、之间， ， ， ； 当点在外时，，此时点、、三点共线，且在、之间，此时，， ， 故答案为：或． 16. 已知二次函数（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n k … 其中．以下结论： ①； ②若抛物线经过点，，则； ③当，时，y的最小值是1，则或4； ④； ⑤关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 根据二次函数部分对应值，利用对称性确定对称轴和系数关系，结合不等式求解a的范围，逐一分析各结论． 【详解】解：由表格数据，当和时，，故抛物线的对称轴为直线，即，因此． 当时，，且． 当时，，得，即． 所以，解得． 由于，，，因此，结论①正确． 抛物线开口向上，点和到对称轴的距离分别为3和4，距离越大函数值越大，故，结论②正确． 当时，，代入得，抛物线为，与交于和．当时，y有最小值为1，此时或4，故结论③错误． 由直接得，结论④正确． 由表格数据和抛物线的对称性可知，当和时，， 所以方程等价于或，由于抛物线开口向上且顶点，与和各有两个交点，故有四个实数根，结论⑤错误． 故答案为：①②④． 三、解答题：（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．利用根与系数的关系，通过两根之积快速求出另一根，再由两根之和求出的值． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 18. 如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，勾股定理． （1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数； （2）根据旋转的性质可知，，，，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理即可得的长． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可知， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，，， ∵，， ∴ ∵，， ∴． 19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4． （1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率． （2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果, 解题的关键是要注意题目中是放回实验还是不放回实验． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）用列表法得到所有情况，找出第二次取出的数字小于第一次取出的数字的结果，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从4张卡片中随机抽取一张卡片，“抽取数字2的卡片”的概率为； 【小问2详解】 解：依题意列表如下： 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 由上表可知,随机抽取2张卡片可能出现的结果有16个,它们出现的可能性相等, 第二次取出的数字小于第一次取出的数字有6种, ∴第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率为. 20. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等． （1）连接，由等腰三角形的性质，进而得，由平行线的判定及性质得，即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合等腰三角形的性质得出，勾股定理求得，进而设的半径为，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴ ∵， ∴ ∴ 在中， 设的半径为，则 ∴ 在中， ∴ 解得：， ∴的半径为． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）如图（1），先画圆心，再在上画点，使； （2）如图（2），点是上一点，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使． 【答案】（1） 如图1，点，即为所求； （2） 如图2所示，点，即为所求 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，平行弦的应用，圆的对称性，圆周角定理． （1）根据网格特点，先找到的中点，根据网格的特点以及平移的性质作，交于点，连接并延长交于点，作直线交于点（），即可求解；理由如下，根据平移可得，则弧等于弧，进而可得弧弧，则，根据三线合一可得垂直平分； （2）取的格点，连接交于点，由网格可知，结合垂径定理可知B、E关于对称，连接交于点，连接并延长交于点，连接，结合等边对等角和同弧所对的圆周角相等可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在处将沙包抛给小红，小红恰好在处接到沙包． 【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为，求小亮拦截沙包成功的运动范围． （3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是时，小亮正上方飞行沙包的高度超过；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足．求k的取值范围． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据函数值求自变量的值，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的函数值，列出方程求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， ∴y与x的函数解析式为； （2）当时，， 解得或， ∴小亮拦截沙包成功的运动范围为在距离小明6到7米的地方，即； （3）当时，， ∴抛物线， 当时，， 解得； ∵抛物线的， ∴抛物线的顶点坐标为最高点， 此时横坐标为， 解得； 综上，k的取值范围为． 23. 在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E． （1）如图（1），若的延长线交于点F．求证：； （2）连接，． ①如图（2），延长交于点G，求证：点G是的中点； ②如图（3），与，分别交于点G，K．若，，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 由旋转可得，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 的值为 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，证明即可得结论； （2）过点作交延长线于点，证明即可得结论； 过点作于点，过点作交的延长线于点，由题意设，，由勾股定理计算出，证明，可得，的长，再证明，可得的长，可求得的长，再证明四边形是矩形，可得，，的长，从而求得的长，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵在中，，， ∴设，，则， 由旋转可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵交的延长线于点，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴． 24. 抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点． （1）求点的坐标； （2）如图（1），若点在抛物线上，且满足，求点的横坐标； （3）如图（2），将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上．直线与抛物线交于，两点，直线分别交直线，于点，．若，试探究与的数量关系． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，二次函数的平移，一次函数与抛物线交点问题，一元二次方程根与系数的关系． （1）联立直线与抛物线解析式即可得出 （2）设，先求得点的坐标，根据，，根据勾股定理得出方程，解方程，即可求解； （3）根据抛物线的平移得出，根据直线与抛物线交于，两点，联立直线与抛物线，得出，设，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而求得的坐标，根据关于原点对称得出，进而用含的式子表示出，即可求解． 【小问1详解】 解：联立， 解得：（点的坐标）或， ∴； 【小问2详解】 解：对于抛物线， 当时，， 解得：， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∴， 整理得，， 解得：， 即点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：∵将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上，则:， ∴向右平移1个单位，且， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴， 即， 设， ∴，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，得，则， 联立，得，则， ∵，且点在直线上， ∴关于原点对称， ∴， 即， ∵直线的解析式为过点， ∴， 同理可得，， 又∵过点，两点，则， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题：（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 2个球都是黑球 B. 2个球都是白球 C. 2个球中有黑球 D. 2个球中有白球 2. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2 4. 一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 6. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 李明了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平，准备在一节数学课上随机选取其中两位的成就进行分享，选到赵爽、杨辉两位数学家的概率是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形，依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 12. “头盔是生命之盔”．某市质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数 97 196 295 489 785 981 2940 合格头盔的频率（精确到千分位） 若该工厂生产10000个头盔，可估计合格的头盔数有______个． 13. 半径为2的正十二边形中心角的度数是______，每一个内角的度数是______，面积是______． 14. 沈括所著的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长的近似值l的计算公式：，当，时，______． 15. 如图，是等边三角形，，点D在上，，E是中点，将线段绕点B旋转，点D的对应点为F，连接、，当为直角三角形时，的长是______． 16. 已知二次函数（a，b，c是常数且）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m n k … 其中．以下结论： ①； ②若抛物线经过点，，则； ③当，时，y的最小值是1，则或4； ④； ⑤关于x的方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是______．（填写序号） 三、解答题：（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 18. 如图，等腰中，，，点D在上，将绕点B顺时针方向旋转，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 19. 有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4． （1）随机抽取一张卡片，直接写出“抽取数字2的卡片”的概率． （2）随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，用列表或画树状图法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点，，．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题． （1）如图（1），先画圆心，再在上画点，使； （2）如图（2），点是上一点，先画点关于直线的对称点，再在上画点，使． 22. 某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动． 【研究背景】活动中，小明、小亮、小红站在同一条直线上，其中小明抛沙包，小红接沙包，小亮在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 【探究发现】如图，以小明站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距小明的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，如果小明在处将沙包抛给小红，小红恰好在处接到沙包． 【建立模型】（1）求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】（2）小亮竖直跳起，拦截的最大高度为，求小亮拦截沙包成功的运动范围． （3）如果小红在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线的一部分，在小亮到小红的水平距离是时，小亮正上方飞行沙包的高度超过；回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的小明的水平距离不足．求k的取值范围． 23. 在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E． （1）如图（1），若的延长线交于点F．求证：； （2）连接，． ①如图（2），延长交于点G，求证：点G是的中点； ②如图（3），与，分别交于点G，K．若，，请直接写出的值． 24. 抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点． （1）求点的坐标； （2）如图（1），若点在抛物线上，且满足，求点的横坐标； （3）如图（2），将抛物线向右平移得到抛物线，使抛物线的顶点在轴上．直线与抛物线交于，两点，直线分别交直线，于点，．若，试探究与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $