专题07 立体几何初步（竞赛培优专项训练,10大考点+竞赛强基）高一数学人教A版全国通用

专题07 立体几何初步 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 平面的基本性质 5 考点二 共点、共线、共面的证明 5 考点三 平行、垂直的判定及性质 7 考点四 异面直线所成的角 9 考点五 直线与平面所成的角 10 考点六 平面与平面所成的角 11 考点七 点面距 13 考点八 线面距与面面距 14 考点九 数学文化题 15 考点十 新定义题 17 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α (1)确定一个平面； (2)判断两个平面是否重合； (3)证明点、线共面 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒ l⊂α 判断直线在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ⇔α∩β＝l，且P∈l (1)证明“三点共线”“三线共点”； (2)确定两平面的交线 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ⇒m∥n 证明线线平行 两角相等或互补的定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 ⇒∠A＝∠A'或∠A＋∠A'＝π 判断或证明两角相等或互补 (2)基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 [注意]　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 2.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 知识点02 平行关系 1．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α， a∩b＝P，a∥β， b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面　 α∥β，a⊂α⇒ a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 知识点03 垂直关系 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. (2)范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【熟记重要结论（二级结论）】 1.与平行有关的结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (4)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (5)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (6)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (7)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 2.与垂直有关的结论 (1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 考点一 平面的基本性质 1．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．与空间不共面的四点距离相等的平面共有个 3．下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 考点二 共点、共线、共面的证明 4．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 5．如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 6.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线. 考点三 平行、垂直的判定及性质 7．已知，是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 9．若直线与平面相交，则下列结论错误的是（    ） A．平面内有无数条直线和直线异面 B．平面内有无数条直线和直线相交 C．平面内存在直线和直线平行 D．平面内存在直线和直线垂直 10．如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是 ．    11．如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为 .    12．如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ． 13．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 14．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 15．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 考点四 异面直线所成的角 16．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 17．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 18．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 19．《九章算术》中将正四棱台称为方亭.如图，在方亭中，，其体积为，E、F分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）. A．1 B． C． D． 20．把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 . 21．如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为 .    考点五 直线与平面所成的角 22．在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为 ．    23．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为 ． 24．如图，矩形所在的平面，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，当为多少度时，平面? 25．如图，一块正方体木料，面上有一点， (1)经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由. (2)若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值. 考点六 平面与平面所成的角 26．已知在大小为的二面角中，于点于点，且，则直线与所成角的余弦值为 ． 27．将边长为的正方形沿着对角线折起，折起后点记为.若二面角为，则与平面所成角的大小为 . 28．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 29．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 30．如图，在三棱锥中，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，点在上且，过的截面平行于交于．求： ①截面分三棱锥得到的两个几何体的体积比的值 ②直线与平面所成角的大小． 考点七 点面距 31．如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 32．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 考点八 线面距与面面距 33．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 34．如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 35．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 考点九 数学文化题 36．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 37．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（    ）    A．平面 B．该二十四等边体的体积为 C．ME与PN所成的角为 D．该二十四等边体的外接球的表面积为 38．(多选)正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（    ） A．平面 B．直线与平面所成的角为60° C．若点为棱上的动点，则的最小值为 D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 39．（多选）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法正确的是（　　）    A．四棱锥不是“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．M为线段上的动点，则AM与BC所成角的大小恒为90° D．过A点分别作于点E，于点F，则 40．《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2． (1)求证：AE⊥CF； (2)求三棱锥A-BCE的体积． 考点十 新定义题 41．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为 .    42．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 43．如图①，设射线构成三面角，，二面角的大小为，类比平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. (1)如图②，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为. ①求的值； ②若，求三棱锥体积的最大值； (2)当时，请在图①的基础上，试证明三面角余弦定理. Nn 1．（2024·安徽阜阳竞赛）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2024·全国高中数学联赛吉林预赛）在正四面体中，棱的中点和面的中心的连线为，棱 的中点和面的中心的连线为，则 与 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国极光杯竞赛）在二面角中，点，，，，，且与半平面，所成的角相等，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·清华大学强基计划）四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ． 5．（2024·全国奥赛浙江初赛）已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为 ． 6．（2024·全国高中数学联赛重庆初赛）已知四面体ABCD满足，且异面直线AD与BC所成的角为，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 7．（2024·山西大同冬季竞赛）若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 8.（2023·全国中学生数学能力测评）在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 9．（2025·安徽阜阳竞赛）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 10．(2024·年集英苑冬季竞赛)如图，已知三棱柱，平面．D，E分别是的中点． (1)证明：平面; (2)设与平面所成角的大小是，若，证明：． 11．（2024·全国第二届“鱼塘杯”竞赛）在四面体中，为中点，为外接球的球心，. (1)证明：； (2)若，求四面体体积的最大值. 12．（2024·全国极光杯竞赛）如图，五面体的底面是矩形，∥底面，到底面的距离为1，．    (1)证明：平面平面； (2)设平面平面． ①证明：底面； ②求到底面的距离． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 立体几何初步 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 平面的基本性质 5 考点二 共点、共线、共面的证明 7 考点三 平行、垂直的判定及性质 10 考点四 异面直线所成的角 18 考点五 直线与平面所成的角 23 考点六 平面与平面所成的角 27 考点七 点面距 32 考点八 线面距与面面距 35 考点九 数学文化题 38 考点十 新定义题 44 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α (1)确定一个平面； (2)判断两个平面是否重合； (3)证明点、线共面 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒ l⊂α 判断直线在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ⇔α∩β＝l，且P∈l (1)证明“三点共线”“三线共点”； (2)确定两平面的交线 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ⇒m∥n 证明线线平行 两角相等或互补的定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 ⇒∠A＝∠A'或∠A＋∠A'＝π 判断或证明两角相等或互补 (2)基本事实2的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 [注意]　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 2.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 知识点02 平行关系 1．直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α， a∩b＝P，a∥β， b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面　 α∥β，a⊂α⇒ a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 知识点03 垂直关系 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. (2)范围：. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【熟记重要结论（二级结论）】 1.与平行有关的结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (4)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (5)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (6)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (7)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 2.与垂直有关的结论 (1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 考点一 平面的基本性质 1．已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 2．与空间不共面的四点距离相等的平面共有个 【答案】7 【解析】由点A，B，C，D不共面，得点A，B，C，D构成四面体， 如图，取AB，AC，AD的中点M，E，F，连接ME，MF，EF，    则，，而平面，平面，平面， 于是得平面，平面， 而，平面，因此，平面平面， 由一个平面过一条线段的中点，则这条线段的两端点到这个平面的距离相等， 得点B，C，D到平面的距离等于点A到平面的距离， 同理，过点B或者C或者D的三条棱中点的平面与该点所对面平行，这一点与另外三点到平面距离相等， 因此，符合上述条件的平面有4个， 如图，取AC，AD，BD，BC的中点E，F，G，H连接EF，FG，GH，EH，    于是有，平面，平面，平面，则点C，D到平面的距离相等， 同理点A，B到平面的距离相等，并且等于点C，D到平面的距离， 同理，过除相对棱AD，BC外的另外四条棱中点的平面，可得点A，D，B，C到这个平面的距离相等， 过除相对棱AC，BD外的另外四条棱中点的平面，可得点A，C，B，D到这个平面的距离相等， 因此，符合与相对棱平行的平面有3个， 所以与不共面的四点等距离的平面有7个. 故答案为：7 3．下列命题中正确的命题为 .①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；④两两相交的三条直线确定一个平面. 【答案】①② 【解析】因为在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，    所以平面平面, 所以三点在平面与平面的交线上，即三点共线, 故①正确； 因为与平行，则可有由，确定一个平面，    又， 所以 所以平面，平面， 因为与平行，则可有由，确定一个平面， 同理可得，平面，平面， 又，而两条相交直线只能确定一个平面， 所以，为同一平面，即四线共面, 故②正确； 取正方体中为，为，为， 直线a、b异面，b、c异面，但a、c相交，不异面，故③错误； 取正方体中三直线，他们两两相交， 但不仅仅确定一个平面，故④错误. 故答案为：①②. 考点二 共点、共线、共面的证明 4．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【解析】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 5．如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）若直线与直线交于点G，则， 又平面，平面，所以平面，平面， 又平面平面，所以， 即B，C，G三点共线. （2）存在，证明如下： 延长相交于点，连接， 因为为的中点，，所以， 所以，所以为的中点，为的中点， 在平面中，由平面向量知识可知，， 又，所以，所以， 因为，所以三点共线，即直线与直线交于点， 由为的中点可知，当取为的中点时，，即. 6.如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若EG与FH交于点P.求证：P，A，C三点共线. 【证明】(1)因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF∥BD. 在△BCD中，＝＝，所以GH∥BD， 所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面. (2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 所以P为平面ABC与平面ADC的公共点， 又平面ABC∩平面ADC＝AC， 所以P∈AC，所以P，A，C三点共线. 考点三 平行、垂直的判定及性质 7．已知，是平面内的两条相交直线，直线，则“与平行”是“与异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若与平行，由平面，，得与平面平行，所以与无公共点. 所以与平行，或与异面. 若与平行，则由平行公理得与平行，与“已知，是平面内的两条相交直线”矛盾，所以与不平行，所以与异面. 当与异面时，并不能说明与的关系，所以不能推出与平行. 如下图所示，当与异面时，与异面. 所以“与平行”是“与异面”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知正方体中，、分别为和的中点，则直线和的位置关系为（    ） A．平行 B．异面 C．相交 D．垂直 【答案】C 【解析】如下图所示，连接，    由、分别为、的中点，得，， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以，，故，， 所以四边形为梯形，故直线、相交， 故选：C. 9．若直线与平面相交，则下列结论错误的是（    ） A．平面内有无数条直线和直线异面 B．平面内有无数条直线和直线相交 C．平面内存在直线和直线平行 D．平面内存在直线和直线垂直 【答案】C 【解析】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系为相交或异面， 设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线不过交点时，和直线异面，故A正确； 对于B，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交， 因为平面内过交点的直线有无数条，故B正确； 对于C，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面， 与已知矛盾，故C错误； 对于D，如果直线与平面垂直，则平面内任意直线均和垂直； 如果直线与平面不垂直，过点作直线与平面垂直， 则直线与直线相交且能确定唯一平面，且与平面垂直，      故在平面内可找到直线与平面垂直，即与直线垂直，故D正确. 故选：C 10．如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是 ．    【答案】 【解析】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为：    11．如图，在棱长为3的正方体中，为棱上一点，满足，为正方形内一动点（含边界），且满足平面，则线段长度的取值范围为 .    【答案】 【解析】如图所示，分别在取点，使得， 连接，可得， 在正方体中，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又由，且，可得为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且为正方形内一动点，所以在线段上， 在中，可得， 在中，可得，且， 所以为等腰三角形，取的中点，连接， 在中，可得， 所以的最短距离为，最长距离为， 所以线段长度的取值范围为. 故答案为：.    12．如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为 ． 【答案】 【解析】若分别为的中点，连接，点M是AD的中点， 所以且，则为平行四边形，故， 由平行且相等，则为平行四边形， 所以，则，故共面， 由平行且相等，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 又且都在平面内，故平面平面， 由平面，则在四边形上，而， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 13．如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ． 【答案】 【解析】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 故答案为：. 14．如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； 【解析】（1）连接，因为为正方形， 所以为中点，同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，中，、分别为、的中点， 所以. 在正方形中，， 又因为为正方体， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得：，，， 所以平面，所以平面； 15．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，且分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【解析】（1）如图所示，取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 又因为四边形为正方形，所以且， 因为为的中点，可得，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以， 因为四边形为正方形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，可得， 又因为且为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 由（1）知，所以平面.    考点四 异面直线所成的角 16．正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【解析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 17．三棱柱的所有棱长为2，且分别为的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【解析】连接、，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 18．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【解析】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 19．《九章算术》中将正四棱台称为方亭.如图，在方亭中，，其体积为，E、F分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，，，，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得， 在中，，. 故选：C. 20．把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 . 【答案】/0.75 【解析】设的中点为，连接， 在正方形中，， 因此折叠后，即为二面角的平面角，故， 设分别为的中点，连接， 则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形的边长为2，则， 又，，则，则， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 21．如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为 .    【答案】 【解析】设平面平面，过点与平面平行的平面为， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 考点五 直线与平面所成的角 22．在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    23．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    24．如图，矩形所在的平面，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，当为多少度时，平面? 【解析】（1）取的中点，连接，如图， 因为是的中点，所以且， 又因为且，， 所以且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面.    （2）时，平面，证明如下， 因为平面，所以即为与平面所成的角， 当时，则，所以， 又由（1）知，所以， 因为平面，平面，所以， 又∵，，平面， ∴平面，∵平面，∴，∴， 又平面， 所以平面. 25．如图，一块正方体木料，面上有一点， (1)经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由. (2)若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值. 【解析】（1）过点在面上能画一条直线，使其与垂直, 如图所示，连接，在平面上过点作直线, 则， 证明：在正方体中易得：面， 因为面，所以. 又因为,,且面， 所以面， 因为面，所以. （2）在平面上，过点作，则是的中点，连接, 在正方体中易得：面, 因为面,所以, 因为,且面， 所以面， 所以为斜线在平面上的射影， 故为斜线与平面所成的角. 因为面，面, 所以， 在直角三角形中易得, 所以. 故直线与面所成角的正弦值为. 考点六 平面与平面所成的角 26．已知在大小为的二面角中，于点于点，且，则直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】如下图所示，以、为邻边作正方形，连接， 则，又因为，，， 故二面角的平面角为， 因为四边形为正方形，则， 所以在中，， 则， 因为，，所以， 又因为，，平面， 故平面， 因为平面，则， 故， 因为，所以就是异面直线与所成角或其补角， 由于， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 27．将边长为的正方形沿着对角线折起，折起后点记为.若二面角为，则与平面所成角的大小为 . 【答案】 【解析】记正方形的对角线交点为， 由正方形的性质可得， 所以二面角为，即. 又平面， 所以平面. 如图，过作于点，则, 又平面， 所以平面. 所以与平面所成的角为. 因为，所以为等腰三角形， 所以. 故答案为：.    28．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点. (1)求证：平面平面 (2)求二面角的余弦值. (3)点在直线上，且平面，求出的长. 【解析】（1）四边形是直角梯形，， ，， 平面，平面， ，又，，平面， 平面，又平面， 平面平面 （2）由可知平面， ，平面，，， 为二面角的平面角， ，， ， 二面角的余弦值为 （3）连接交于O，过O作交于，连接， 由平面，平面，得平面 ，， 又，， 29．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【解析】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 外接球的体积为 （3）因为平面，平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值， 所以，所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 此时为等腰直角三角形，所以， 所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为. 30．如图，在三棱锥中，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，点在上且，过的截面平行于交于．求： ①截面分三棱锥得到的两个几何体的体积比的值 ②直线与平面所成角的大小． 【解析】（1）证明：因为底面，平面， 所以，因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）①由（1）可知平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 所以，即为等腰直角三角形，因为，故， 又，所以， 平面，平面平面面． ，平面平面； 又，， 即得； ， ； ②由题意可得， （为点到平面的距离）， 即，即， ． 在中，， 故 设直线与平面所成角为， 则，即 直线与平面所成角的大小为. 考点七 点面距 31．如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 【解析】（1）由于沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面，顶点为动点P， 所以在平面，即平面内运动，又E为BC中点， 而平面，则平面，平面， 所以平面平面，则平面平面； （2）由（1）及平面，则平面平面，即平面平面， 平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上， 所以直线PE与平面所成角为，， 当且仅当与重合时取等号，所以所求正弦值最大为； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于， 由E为BC中点，则，故异面直线PE与AC所成角为锐角， 由，即，则为平行四边形，故， 所以，又，， 所以，而， 所以为等边三角形，若于，则， 平面平面，平面，平面平面， 则平面，故点P到底面ABCD的距离. 32．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【解析】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 考点八 线面距与面面距 33．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 34．如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 【解析】（1）设点为的中点，连接. 因为为中点，所以，且 根据题意可知，且. 从而可得，且. 即可得四边形为平行四边形. 即可得平面平面. 所以平面； （2）由第（1）问可知平面平面，平面平面. 所以，因为交面于，所以直线与直线重合，即可得. 在中，点是的中点，所以. 由第（1）问可知. 又点到平面的距离为，且，所以平面， 而平面，所以. 在中，，根据勾股定理可得. 从而可得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由题意可得.在中，，所以. 从而可得.点到平面的距离为. 所以，从而可得的最小值为1，即点到平面的距离的最小值为1. 由第（1）问可知平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 故直线到平面的距离的最小值为1. 35．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 考点九 数学文化题 36．安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，在平面中，连接与交于，则， 在平面中，连接与交于，则， 则为平面与平面的交线，且， 而在等边中与所成的角为， 故与直线所成角. 故选： 37．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（    ）    A．平面 B．该二十四等边体的体积为 C．ME与PN所成的角为 D．该二十四等边体的外接球的表面积为 【答案】D 【解析】依题意，补齐正方体，如下图，    对于A，假设平面，平面， ，， 二十四等边体就是一种半正多面体， 由对称性可知，六边形为正六边形， ， 这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误； 对于B，，正方体的棱长为， 该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积， 即，B错误； 对于C，， 为异面直线与所成角（或补角）， 在等边中，，C错误； 对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，    在等腰中，， 在正方形中，， 即外接球半径， 该二十四等边体的外接球的表面积，D正确. 故选：D. 38．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（    ） A．平面 B．直线与平面所成的角为60° C．若点为棱上的动点，则的最小值为 D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 【答案】AC 【解析】A选项，连接，由对称性可知，⊥平面， 且相交于点，为和的中点， 又，故四边形为菱形，故， 又平面，平面， 所以平面，正确； B选项，连接，则相交于点， 因为四边形为正方体，故， 由A选项，同理可得四边形为菱形，故， 又，平面，故平面， 故直线与平面所成的角为， 且由题意得，，故， 故，错误； C选项，由题意得，，故只需最小， 在等边三角形中，当为的中点时，⊥，此时最小， 且，故若点为棱上的动点，则的最小值为，正确； D选项，，其中到平面的距离为， 设菱形的面积为，则，， 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，错误. 故选：AC 39．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法正确的是（　　）    A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑” C．M为线段上的动点，则AM与BC所成角的大小恒为90° D．过A点分别作于点E，于点F，则 【答案】ABCD 【解析】对于选项A，因为平面，平面， 所以,所以四边形为矩形， 又因为，平面， 所以平面，所以四棱锥为“阳马”，故A正确； 对于选项B，由选项A的解析可知，平面，又平面， 所以，即是直角三角形， 由选项A的解析可知，, 又平面，所以平面， 因为，所以平面，又平面， 所以，即是直角三角形， 又、都是直角三角形，∴四面体为“鳖臑”，故B正确； 对于选项C，由选项A的解析可知，平面， ∵M为线段上的动点，∴平面， ∴，即AM与BC所成角的大小恒为90°，故C正确； 对于选项D，过A点分别作于点E，于点F， 由选项A的解析可知，平面，又平面，∴， ∵，∴平面，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴，故D正确. 故选：ABCD. 40．《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体．如图，羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形，且△EAD、△FBC均为正三角形，棱EF平行于底面ABCD，EF＝2． (1)求证：AE⊥CF； (2)求三棱锥A-BCE的体积． 【解析】（1）延长AB到M点，使，连接CM，FM，则， ∵平面ABCD，平面平面，平面， ∴. ∵，∴四边形AMFE是平行四边形，∴， 在△FCM中，， ∴，∴，即， ∴， （2）在（1）的几何体中连接，则， 因为，平面，平面， 故平面，故， 而，故. 在三棱锥中，由（1）可得是以为直角的等腰直角三角形， 而，故也为等腰直角三角形， 取的中点为，连接，则， 且， 因，故平面， 而，故，所以也为等腰直角三角形， 故， 故. 考点十 新定义题 41．类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为 .    【答案】/ 【解析】    如图，连接AC， 因为，则. 因为是菱形，且, 所以. 因为， 所以，. 因为，所以. 设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为:. 42．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； (3)在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 【解析】（1）由离散曲率的定义得，， ，， 所以. （2）由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，即， 又，即， 解得， 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为. （3）由平面，则平面，故为直线与平面所成的角， 依题意，，，， 则，， 设，则，， 在中，， 由，得，， 因此，而，解得， 所以． 43．如图①，设射线构成三面角，，二面角的大小为，类比平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. (1)如图②，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为. ①求的值； ②若，求三棱锥体积的最大值； (2)当时，请在图①的基础上，试证明三面角余弦定理. 【解析】（1）①由三面角余弦定理得， 即，解得. ②如图，过点作平面，垂足为，过点作于点，连接， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 所以， 在中，， 由①得，所以， 所以， 当且仅当时，三棱锥的体积取得最大值为. （2）如图，过点作于点，过点在平面内作的垂线，过点作的平行线，交垂线于点， 连接，则是二面角的平面角， 则， 又平面， 所以平面， 又平面，所以. 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 两式相减得， 由勾股定理可得， 则， 即， 因为在中，由余弦定理得， 即， 两边同时除以，得， 从而得证. 1．（2024·安徽阜阳竞赛）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则与可能平行或异面，故A错误； 对于B：若，且时，平面与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C：若，，则，所以，故C正确； 对于D：若，设，而可能平行，也可能相交，则可能平行，也可能和相交，故D错误． 故选：C． 2．（2024·全国高中数学联赛吉林预赛）在正四面体中，棱的中点和面的中心的连线为，棱 的中点和面的中心的连线为，则 与 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设棱长为，如图，取 ，取 的中点为，连 接， 可得 ， 故 ，且 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 ，所以MN与 PQ 所成角为（或其补角）， 连接,在 中，， 由余弦定理得，， 又在 中，， 由余弦定理得，， 所以 与 所成角的余弦值为， 故选：A. 3．（2024·全国极光杯竞赛）在二面角中，点，，，，，且与半平面，所成的角相等，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】过作，交于，连接， 由于，平面，所以平面， 由于平面，所以. 延长，过作，交的延长线于， 由于平面，所以， 由于，所以， 则是直线与平面所成角的平面角， 延长，过作，交的延长线于， 同理可证得是直线与平面所成角的平面角， 所以，所以. 在和中， 若，则，所以，即. 若，即，则，则. 所以“”是“” 充要条件. 故选：A    4．（2024·清华大学强基计划）四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ． 【答案】 【解析】如图，取，分别为，的中点． ，， ，所以， 在中，，当，重合时取等． 过作于，设，则,即，即，得． 所以．当，，，共面时取等． 取中点，则，，所以所求的角即为或其补角， 于是 由知，于是， 所以与所成角的余弦值的取值范围为 故答案为： 5．（2024·全国奥赛浙江初赛）已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【解析】解 ：如图所示： 因为球心在平面上的投影就是的外心， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 解得，，四面体的外接球半径为1，即， 所以球心到平面的距离为． 故答案为： 6．（2024·全国高中数学联赛重庆初赛）已知四面体ABCD满足，且异面直线AD与BC所成的角为，则四面体ABCD的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】由题设条件，可将四面体补成直三棱柱，如图所示， 则，所以即为异面直线AD与BC所成的角的平面角， 故， 于是，又，则， 设四面体ABCD的外接球球心为， 则在平面的投影为的外心，且， 由正弦定理知，，从而外接球半径， 于是体积. 故答案为：. 7．（2024·山西大同冬季竞赛）若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 . 【答案】2 【解析】设圆锥的底面半径和母线长分别为， 母线与底面所成的角为，由题意可得，， 由勾股定理可得圆锥的高，所以， 故答案为：. 8.（2023·全国中学生数学能力测评）在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】 由，，由余弦定理可得， 又，所以为等边三角形，令其外接圆圆心为， 等腰的外接圆半径，令其外接圆圆心为，在射线上， 则是中点，连接，且，，又， 所以，则，又， ，面，则面，面， 所以面面，若是三棱锥的外接球的球心，如上图， 易知为矩形，故，而， 所以外接球半径为，该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 9．（2025·安徽阜阳竞赛）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，，记与平面所成角为，求的最大值. 【解析】（1）连接，设，连接.    因为，平面，平面，故， 而，，平面， 故平面，而平面，故， 由四边形为平行四边形可得， 故为等腰三角形，即； （2）取的中点，连结，    由中位线性质可得，且，所以， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面， 因为平面平面， 所以平面//平面；. 又平面, 所以//平面, （3）设，， 由（1）可得平面，而平面，故， 故四边形为菱形，而，故. 因为平面，平面，故， 故，同理. 而，故. 设为点到平面的距离，与平面所成的角为， 故. 又， 而， 故，故， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以 【点睛】线面角可以通过体积法求出点到面的距离后，利用（为斜线段的长度）来表示，可以避免建系产生的复杂计算. 10．(2024·年集英苑冬季竞赛)如图，已知三棱柱，平面．D，E分别是的中点． (1)证明：平面; (2)设与平面所成角的大小是，若，证明：． 【解析】（1）由D，E分别是，的中点知． 又因为是三棱柱，所以，故， 又不在平面上，平面，因此平面． （2）设锐二面角的平面角的大小是，连接，由平面知． 又，故，因此，，． 由，是的中点知．又，而，得，故． 11．（2024·全国第二届“鱼塘杯”竞赛）在四面体中，为中点，为外接球的球心，. (1)证明：； (2)若，求四面体体积的最大值. 【解析】（1）因为，所以是的外心，又是四面体的外接球球心， 则平面，由平面，得. 在中，为中点，互补， 所以，即， 所以. 因为是斜边中点，有， 所以， 根据勾股定理的逆定理， 又平面，所以平面， 又平面，所以； （2）因为平面，有， 设，由，得， 所以，同理， 作，由，得， 所以，所以， 故， 当且仅当即时等号成立， 所以四面体的体积最大值为. 12．（2024·全国极光杯竞赛）如图，五面体的底面是矩形，∥底面，到底面的距离为1，．    (1)证明：平面平面； (2)设平面平面． ①证明：底面； ②求到底面的距离． 【解析】（1）因为底面是矩形，底面，底面， 平面底面，所以， 作则则为平面与平面的夹角或补角； 连接，由， 易得，则，， 又，故四边形为矩形，则 又平面，则平面， 又平面，故平面平面，又平面平面， 故在平面内过作，因为，则为的中点， 且平面，故到底面的距离即为 又， 所以是以为顶点的等腰直角三角形，， 故平面与平面的夹角为直角，则平面平面 （2）①因为，所以平面， 又平面，平面平面， 由线面平行的性质可知，，而底面，所以底面． ②取中点，中点，连结，，． 由（1）易知，且，所以，，，共面， 所以和有交点，记为． 所以，到底面的距离等于到底面的距离． 因为，所以四边形是等腰梯形，， 则为等腰三角形，因此，其中为到底面的距离． 由几何关系可知，， 代入计算得．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $