精品解析：山东青岛市即墨区2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学业水平诊断性测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 3. 顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（    ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 对角线互相垂直四边形 D. 任意四边形 4. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 5. 点、、都在反比例函数的图象上，、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 根据表格中信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为12的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分，每题3分） 11 计算：________． 12. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 13. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为_____． 14. 如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为_______． 15. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 16. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________． 三、作图题（本题满分4分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图题． 17. 已知的边上有一点P，求作，使它过点P并且与的两边相切． 四、解答题（满分68分） 18. （1）解方程：； （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 19. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 20. 高铁座椅上的小桌板为人们的出行提供了舒适和便利．如图，前座的椅背垂直于地面，放下小桌板，桌面与地面平行，测得此时连杆与椅背的夹角 为，连杆的长为． （1）当桌面离地面距离为时，人们感觉较舒适，则连杆安装点离地面的高度应为多少厘米？ （2）已知前后两个座位与之间距离为，桌面宽度为，要求小桌板放下后，桌面的外边缘与椅背距离在以上，请问按（1）中的高度安装是否符合要求？ 请说明理由．（参考数据：，，） 21. 如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． （1）若，求F点坐标； （2）若，求反比例函数的解析式． 22. 求一个锐角三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． 【初步探究】 （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为________； 【深入探究】 （2）观察发现：如图2，不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到格点处，并且恰好在中．则的值为________； 【迁移应用】 （3）方法迁移：如图3，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为________． 23. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，平分，求的长． 24. 新能源汽车作为交通电动化、清洁化的关键技术载体，以电力驱动替代传统燃油动力，大幅减少使用阶段的直接二氧化碳及污染物排放，有助于实现国家碳中和与空气质量改善目标，其市场渗透率正加速提升． （1）某品牌新能源汽车1月份销量为30万辆，因产品力提升与消费认知增强，销量呈持续增长态势．至3月份，该品牌单月销量已达36.3万辆．试计算从1月到3月，该品牌新能源汽车销量的月均增长率； （2）某汽车销售公司为抢占市场份额，首批采购一批该品牌新款车型，单车进价为12万元．经市场测试发现：当官方指导价定为25万元/辆时，每周平均可售出8辆；而售价每下调1万元，每周可多售出2辆．公司计划通过价格策略调整，实现每周销售利润最大化，同时为推广新能源汽车并尽可能让利于潜在客户，决定将最终销售单价定为整数万元．问：应将该款汽车售价定为多少万元，方可使每周销售利润最大？最大利润为多少万元？ 25. 对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数 【积累巩固】 （1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． ①求二次函数的表达式； ②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【拓展创新】 （2）当，时，二次函数（为常数）． ①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________； ②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________． 26. 如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． （1）如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设四边形面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平诊断性测试 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图． 根据俯视图定义逐一判断，可得答案． 【详解】解：A、几何体的主视图； B、几何体的左视图； C、几何体的俯视图； D、不是几何体的视图． 故选：C． 2. 若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了通过一元二次方程的解求参数，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 3. 顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（    ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 任意四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，即可解题． 【详解】解：如图，四边形是矩形，且E、F、G、H分别是、、、的中点， 根据中位线定理可得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 4. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 5. 点、、都在反比例函数的图象上，、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象性质．由反比例函数解析式可得双曲线所在象限及在各自象限内函数的增减性，进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在各象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，利用“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵抛物线平移规律为“左加右减，上加下减” 原抛物线为 向右平移1个单位后，得 再向上平移2个单位后，得 即 故选：D． 8. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的性质得到，相似比为，进而求出点A的坐标． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，，， ∴，相似比为， ∵， 点A的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，求出与的相似比为是解题的关键． 9. 如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得到，求出，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点A， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在边长为12的正方形中，点是上的一点，且，于点，，且交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键．由正方形性质可求出的长，进而求出的长，证，利用相似三角形对应边成比例可求得、的长，证，得，根据线段的和差求得的长即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 在中，， 则由勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，先代入、和的值，然后进行有理数运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 已知a、b是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 根据题意可知，继而利用三角函数即可求出本题答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， 又∵为深度， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．有下列结论：①；②；③方程没实数根；④；⑤；其中正确结论的序号为________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数图象确定二次函数参数的取值范围即可； ②根据点的坐标求出对称轴，然后得出，最后取特殊值确定代数式的取值范围即可； ③根据函数图象确定一元二次方程根的情况即可； ④根据特殊值以及各参数的取值范围，确定代数式的正负即可； ⑤利用特殊值确定，得出，根据的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵与轴交于负半轴， ∴； ∴， 故①错误，不符合题意； ②由点、可得， 对称轴为直线， ∴， ∴， 当时，， 即， ∴， 则， 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根， 故③错误，不符合题意； ④当时，， 即； 由②得， ∴， 由①得， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时，， ∴， 由②得， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，其中， ∴， 即， 解得， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为：②④⑤， 故答案为：②④⑤． 三、作图题（本题满分4分）请用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图题． 17. 已知的边上有一点P，求作，使它过点P并且与的两边相切． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——角平分线、垂线，角平分线的性质，以及圆的切线的定义，掌握角平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．先作的平分线，再作交于，然后以为圆心，为半径作，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． 四、解答题（满分68分） 18. （1）解方程：； （2）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1），；（2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次函数的性质． （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， （2）解： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线 19. 每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图和列表法求概率，利用树状图和列表法求出所有可能出现的结果，再求出符合条件的个数，然后利用概率公式即可求解． 详解】解：列表如下， 一 二 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， 因此（选中甲乙）． 20. 高铁座椅上的小桌板为人们的出行提供了舒适和便利．如图，前座的椅背垂直于地面，放下小桌板，桌面与地面平行，测得此时连杆与椅背的夹角 为，连杆的长为． （1）当桌面离地面距离为时，人们感觉较舒适，则连杆安装点离地面的高度应为多少厘米？ （2）已知前后两个座位与之间的距离为，桌面宽度为，要求小桌板放下后，桌面的外边缘与椅背距离在以上，请问按（1）中的高度安装是否符合要求？ 请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）按（1）中的高度安装符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要运用三角函数的知识求解．在直角三角形中，利用三角函数关系求出相关线段的长度再根据题目所给的线段关系进行计算和判断． （1）因为，，则，所以．在中，根据余弦函数的定义，得出，已知，，可求出的长度，再结合，得到的长度； （2）在中，根据正弦函数的定义，得出，由，，可求出的长度，再加上的长度得到的长度．延长交于I，则四边形为矩形，，得到的长度，再与比较大小． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点， ，， ． ． 在中， 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 在中， ，，， 四边形为矩形． ． ． ， 按（1）中的高度安装符合要求． 21. 如图，矩形的两边的长分别为3，8．边落在x轴上，E是的中点，连接，反比例函数的图象经过点E，与交于点F． （1）若，求F点坐标； （2）若，求反比例函数的解析式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）求出,由反比例函数的图象经过点E即可求出答案； （2）求出F点坐标为，由反比例函数的图象与交于点F即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵E是的中点， 的长分别为8． ∴， ∵, ∴, ∵反比例函数的图象经过点E， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入得到， ∴F点坐标为； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F点坐标为； ∵反比例函数的图象与交于点F． ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 22. 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． 【初步探究】 （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为________； 【深入探究】 （2）观察发现：如图2，不在直角三角形中，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到格点处，并且恰好在中．则的值为________； 【迁移应用】 （3）方法迁移：如图3，在边长为1正方形网格中，与相交于点，则的值为________． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，平行线的性质，勾股定理与网格问题． （1）过点作垂直于的延长线于点，构造直角三角形即可求值； （2）利用平行线的性质、勾股定理以及角的正切函数的定义即可求值； （3）同（2）利用平行线的性质、勾股定理求得是等腰直角三角形，再利用特殊角的正弦函数的定义即可求值． 【详解】解：（1）如图1，过点作垂直于的延长线于点， 由图可知：，， ． 故答案为：； （2）， ． ∵，，， ． 故答案为：2； （3）如图3中，取格点，连接，， ∴，∴， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在中，对角线垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 新能源汽车作为交通电动化、清洁化的关键技术载体，以电力驱动替代传统燃油动力，大幅减少使用阶段的直接二氧化碳及污染物排放，有助于实现国家碳中和与空气质量改善目标，其市场渗透率正加速提升． （1）某品牌新能源汽车1月份销量为30万辆，因产品力提升与消费认知增强，销量呈持续增长态势．至3月份，该品牌单月销量已达36.3万辆．试计算从1月到3月，该品牌新能源汽车销量的月均增长率； （2）某汽车销售公司为抢占市场份额，首批采购一批该品牌新款车型，单车进价为12万元．经市场测试发现：当官方指导价定为25万元/辆时，每周平均可售出8辆；而售价每下调1万元，每周可多售出2辆．公司计划通过价格策略调整，实现每周销售利润最大化，同时为推广新能源汽车并尽可能让利于潜在客户，决定将最终销售单价定为整数万元．问：应将该款汽车售价定为多少万元，方可使每周销售利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）该品牌新能源汽车销量的月均增长率 （2）当售价定为20万元时，利润最大，最大利润为144万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设平均每月的增长率为，由题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设每辆汽车的售价为万元，利润为万元，根据题意列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均每月的增长率为，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 该品牌新能源汽车销量的月均增长率． 【小问2详解】 解：设每辆汽车的售价为万元，利润为万元， 由题意得： 抛物线开口向下 对称轴为直线 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 取整数 当或时，最大 尽可能让利于潜在客户 当时，（万元） 因此当售价定为20万元时，利润最大，最大利润为144万元． 25. 对函数问题来说，数形结合不仅是方法，更是思维习惯．已知二次函数 【积累巩固】 （1）若二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． ①求二次函数的表达式； ②设该二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【拓展创新】 （2）当，时，二次函数（为常数）． ①点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，的取值范围为________； ②点，，连接．若该二次函数的图象与直线没有公共点；则的取值范围为________． 【答案】（1）①，②是等腰三角形，理由见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键； （1）①利用待定系数法，设顶点式求函数解析式即可；②求出，，分别求出边长即可判断； （2）①画出图象结合图象可知临界点为、点；②画出图象结合图像可知临界点情况为直线与抛物线有一个交点的位置． 【详解】解：（1）①∵它的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得，， ∴二次函数的表达式为； ②等腰三角形，理由： ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴当时，，整理得， 解得，，， ∵在的左侧， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①当二次函数经过点时，，解得， 当二次函数经过点时，，解得， ∴时，二次函数图象与线段有2个公共点， 故答案为：； ②设直线的解析式为， ∴将点，代入得， ，解得， ∴， 当有一个根时，， 解得，， ∴时，二次函数的图象与直线没有公共点， 故答案为：． 26. 如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． （1）如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设四边形面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，四边形为平行四边形 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系； （1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可； （2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解； （3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $