专题07概率初步(1)（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题07概率初步(1) 【题型01 事件的分类】...............................................2 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】...............................3 【题型03 求某事件的】...............................................3 【题型04 概率的意义理解】...........................................4 【题型05 关于频率与概率关系说法的正误】.............................5 【题型06 由频率估计概率】...........................................6 【题型07 用频率估计概率的综合应用】.................................7 【题型08 解答题4题】...............................................8 知识梳理 知识点01:事件的分类（确定性事件与随机事件） 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。 例：太阳从东方升起；掷一枚质地均匀的骰子，点数≤6。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 例：太阳从西方升起；掷一枚质地均匀的骰子，点数为 7。 随机事件（不确定事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 例：明天会下雨；掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上。 知识点02:事件发生的可能性大小 可能性数值范围： 必然事件：可能性为 1（100%） 不可能事件：可能性为 0 随机事件：可能性介于 0 与 1 之间 描述可能性的常用词汇：可能性极小、不太可能、可能、很可能、可能性极大。 比较随机事件可能性大小的方法： 1.列出所有等可能的结果； 2.比较各事件包含的结果数占总结果数的比例； 3.比例越大，发生的可能性越大。 知识点03:频率的定义 在 n 次重复试验 中，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的频率为： 频率=​ 频率是一个比值，无单位，取值范围：0≤≤1。 知识点04:频率的稳定性 核心性质：在大量重复试验下，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，且随着试验次数增加，摆动幅度越来越小，趋于稳定。 意义：单次试验结果随机，但大量重复试验后，频率呈现规律性。 知识点05:频率与概率的关系 1.概率定义：刻画随机事件 A 发生可能性大小的数值，记为 P(A)。 2.用频率估计概率： 大量重复试验时，可用事件发生的频率来估计其概率。 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 3.三类事件的概率： 必然事件：P(A)=1 不可能事件：P(A)=0 随机事件：0<P(A)<1 【题型1.事件的分类】 【典例】“打开电视机，正在播放新闻”是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【跟踪专练1】下列描述的事件为必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻联播 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯 【跟踪专练2】给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 【跟踪专练3】在一个不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的12个小球，其中5个红色球、4个蓝色球、3个白色球．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．从袋中随机取出1个球，是红色球 B．从袋中随机取出5个球，全是蓝色球 C．从袋中随机取出7个球，没有红色球 D．从袋中随机取出10个球，三种颜色的球都有 【题型2.判断事件发生的可能性的大小】 【典例】转动如图的转盘一周以上，指针指向 区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”） 【跟踪专练1】不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【跟踪专练2】不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了 个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走 个红球，也可以往口袋里再放入 个黑球． 【跟踪专练3】调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【题型3.求某事件的概率】 【典例】在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ． 【跟踪专练1】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【跟踪专练2】某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 【跟踪专练3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【题型4.概率的意义理解】 【典例】天气预报显示，某地明天降水概率是15%，后天降水概率是75%，那么当地居民在 （填“明天”或“后天”）更有可能会带伞． 【跟踪专练1】盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【跟踪专练2】某航班每次约有200名乘客，一次飞行中飞机失事的概率，某保险公司为乘客提供保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿60万人民币．平均来说，保险公司应该至少向每位乘客收取 元保险费才不亏本． 【跟踪专练3】在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【题型5.关于频率与概率关系说法的正误】 【典例】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【跟踪专练2】下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【跟踪专练3】下列说法正确的是 （填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【题型6.由频率估计概率】 【典例】山西省举行古建筑行业技能比拼大赛，孙师傅的徒弟计划参加．为判断徒弟是否适合参赛，孙师傅从徒弟手工制作的榫卯结构零件中随机抽查，检验其合格率，并将结果绘制成如下表格．由表格内容可知，若从手工制作的零件中随机抽取一个，则零件合格的概率为 ．（结果精确到0.01） 抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格率 0.93 0.94 0.96 0.95 0.95 【跟踪专练1】18世纪，法国数学家布丰提出如下问题：在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表是当，时的投针试验数据： 试验次数 200 500 1000 2000 3000 5000 10000 相交次数 51 122 249 504 759 1240 2510 相交频率 0.255 0.244 0.249 0.252 0.253 0.248 0.251 由此可以估计针与直线相交的概率为 （结果保留小数点后两位）． 【跟踪专练2】将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【跟踪专练3】在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有 个． 【题型7.用频率估计概率的综合应用】 【典例】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计 ． 【跟踪专练1】数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【跟踪专练2】某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ． 【跟踪专练3】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 解答题 1．红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 2．如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 3．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 4．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07概率初步(1) 【题型01 事件的分类】...............................................2 【题型02 判断事件发生的可能性的大小】...............................4 【题型03 求某事件的】...............................................6 【题型04 概率的意义理解】...........................................9 【题型05 关于频率与概率关系说法的正误】............................11 【题型06 由频率估计概率】..........................................14 【题型07 用频率估计概率的综合应用】................................16 【题型08 解答题4题】..............................................18 知识梳理 知识点01:事件的分类（确定性事件与随机事件） 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。 例：太阳从东方升起；掷一枚质地均匀的骰子，点数≤6。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 例：太阳从西方升起；掷一枚质地均匀的骰子，点数为 7。 随机事件（不确定事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。 例：明天会下雨；掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上。 知识点02:事件发生的可能性大小 可能性数值范围： 必然事件：可能性为 1（100%） 不可能事件：可能性为 0 随机事件：可能性介于 0 与 1 之间 描述可能性的常用词汇：可能性极小、不太可能、可能、很可能、可能性极大。 比较随机事件可能性大小的方法： 1.列出所有等可能的结果； 2.比较各事件包含的结果数占总结果数的比例； 3.比例越大，发生的可能性越大。 知识点03:频率的定义 在 n 次重复试验 中，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的频率为： 频率=​ 频率是一个比值，无单位，取值范围：0≤≤1。 知识点04:频率的稳定性 核心性质：在大量重复试验下，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动，且随着试验次数增加，摆动幅度越来越小，趋于稳定。 意义：单次试验结果随机，但大量重复试验后，频率呈现规律性。 知识点05:频率与概率的关系 1.概率定义：刻画随机事件 A 发生可能性大小的数值，记为 P(A)。 2.用频率估计概率： 大量重复试验时，可用事件发生的频率来估计其概率。 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 3.三类事件的概率： 必然事件：P(A)=1 不可能事件：P(A)=0 随机事件：0<P(A)<1 【题型1.事件的分类】 【典例】“打开电视机，正在播放新闻”是 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件，正确理解随机事件的意义是解题的关键． 根据事件的定义，打开电视机时正在播放新闻可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．“打开电视机，正在播放新闻”有可能发生，也有可能不发生，因为电视机可能播放新闻或其他节目，所以这是一个随机事件． 故答案为：随机． 【跟踪专练1】下列描述的事件为必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻联播 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．“打开电视机，正在播放新闻联播” 可能发生也可能不发生，是随机事件； B．“任意买一张电影票，座位号是偶数” 可能发生也可能不发生，是随机事件； C．“掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7” 一定发生，是必然事件； D．“汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯” 可能发生也可能不发生，是随机事件； 故选：C． 【跟踪专练2】给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是 （填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 【跟踪专练3】在一个不透明的袋中装有除颜色外其他都相同的12个小球，其中5个红色球、4个蓝色球、3个白色球．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．从袋中随机取出1个球，是红色球 B．从袋中随机取出5个球，全是蓝色球 C．从袋中随机取出7个球，没有红色球 D．从袋中随机取出10个球，三种颜色的球都有 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，必然事件是指一定发生的事件．袋中共有12个球（5红、4蓝、3白），取出10个球后只剩2个球．由于每种颜色球的数量均大于2，因此取出10个球时必然包含所有三种颜色． 【详解】解：A、可能取出蓝球或白球，不是必然事件； B、只有4个蓝球，无法取出5个蓝球，是不可能事件； C、非红球共7个（4蓝+3白），取出7个球可能没有红球，但也可能包含红球，不是必然事件． ∵袋中红球5个、蓝球4个、白球3个，总球数12个， ∴取出10个球后，剩余2个球． ∵红球数量，蓝球数量，白球数量， ∴剩余2个球不可能包含所有红球、所有蓝球或所有白球， 即取出10个球时，不可能缺少任何一种颜色， ∴取出10个球必然三种颜色都有． 故选项D是必然事件． 故选：D． 【题型2.判断事件发生的可能性的大小】 【典例】转动如图的转盘一周以上，指针指向 区域的可能性最小．（填“红”、“黄”“蓝”或“黑”） 【答案】蓝 【分析】本题考查了可能性的大小． 根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知，转动如图的转盘一周以上，指针指向蓝区域的可能性最小． 故答案为：蓝． 【跟踪专练1】不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 【跟踪专练2】不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了 个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走 个红球，也可以往口袋里再放入 个黑球． 【答案】 【分析】本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：袋子中球的总个数为：（个）， 则黑球的个数为（个）， 要使摸到黑球的可能性变成， 则球的总个数为（个）， ∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球， 也可以往口袋里再放入黑球（个）， 故答案为：，，． 【跟踪专练3】调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同，对此你认为以下说法正确的是（    ）． A．纯属巧合，任意50人中有两个人生日相同的概率极低 B．必然事件，任意50人中一定有两个人生日相同 C．正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高 D．任意50人中，有两个人生日相同和没有两个人生日相同的概率各占 【答案】C 【分析】本题考查求概率，求出任意50人中有两个人生日相同的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，任意两人，生日不相同的概率为， 第3人与其余2人生日均不相同的概率为：， 第4人与其余3人生日均不相同的概率为：， 第50个人与其余49人生日均不相同的概率为：， ∴（50人中至少有2人生日相同的概率）； ∴调查一个班50名同学的生日，发现有两个人生日相同是正常现象，任意50人中有两个人生日相同的概率很高； 故选C． 【题型3.求某事件的概率】 【典例】在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 【跟踪专练1】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 【答案】 【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， 设草鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=2400， 经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 【跟踪专练3】某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” 【答案】C 【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意． 【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【题型4.概率的意义理解】 【典例】天气预报显示，某地明天降水概率是15%，后天降水概率是75%，那么当地居民在 （填“明天”或“后天”）更有可能会带伞． 【答案】后天 【分析】本题考查了概率的大小． 比较概率作答即可． 【详解】解：∵， ∴当地居民在后天更有可能会带伞． 故答案为：后天． 【跟踪专练1】盲盒，顾名思义，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶等，之所以叫盲盒，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己抽到了什么，具有随机性．这种诞生于日本的潮玩，最初名字叫 ，流行欧美后也开始被称作 ．现有某种盲盒，商家承诺该盲盒中可开出6种普通款玩偶中的一种，概率相同，还有百分之一的概率开出一种隐藏款玩偶，那么以下说法中正确的是（   ） A．若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买6个盲盒即可 B．考虑到隐藏款的存在，若要集齐6种普通款玩偶，只需要购买7个盲盒即可 C．若购买100个盲盒，其中一定会有一个隐藏款玩偶 D．若购买8个盲盒，肯定会重复出现某款玩偶 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义逐一判断即可． 【详解】解：盲盒开出6种普通款的概率相同，开出隐藏款的概率为，所有抽取结果均为随机事件． 选项A：购买6个盲盒可能出现普通款重复的情况，无法保证集齐6种普通款，A错误； 选项B：购买7个盲盒可能出现重复的情况，无法保证集齐6种普通款，B错误； 选项C：是开出隐藏款的概率，购买100个盲盒是随机事件，并非必然会出现隐藏款，C错误； 选项D：共有6种普通款种隐藏款种不同玩偶，根据抽屉原理，将8个盲盒的结果归入7种类别中，，肯定会重复出现某款玩偶，D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】某航班每次约有200名乘客，一次飞行中飞机失事的概率，某保险公司为乘客提供保险，承诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿60万人民币．平均来说，保险公司应该至少向每位乘客收取 元保险费才不亏本． 【答案】30 【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答． 【详解】解：每次约有200名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿60万人民币，共计12000万元， 一次飞行中飞机失事的概率为， 故赔偿的钱数为元， 故至少应该收取保险费每人元， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是概率在现实生活中的运用，部分数目=总体数目乘以相应概率． 【跟踪专练3】在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 【题型5.关于频率与概率关系说法的正误】 【典例】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【跟踪专练1】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【跟踪专练2】下列说法中不正确的是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关 B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 C．任意画一个三角形内角和为360°是随机事件 D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 【答案】C 【分析】根据抛硬币简单概率求法判断选项A，利用求概率的方法判断选项B，根据三角形的内角和是180°判断选项C，求出两次抛骰子的所有可能结果和点数和为偶数的结果数即可判断选项D，即可做出选择． 【详解】A、抛一枚质地均匀的硬币，出现的情况有两种一正一反，正面朝上的概率是，与抛硬币的次数无关，故原选项正确； B、随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎的共有4种等可能的结果，其中，都是男孩的有1种，所以随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为，此原选项正确， C、任意一个三角形的内角和为180°，所以任意画一个三角形内角和为360°是不可能事件，为确定性事件，不是随机事件，故原选项不正确，； D、连续投两次骰子，前后点数之和共有36种等可能的结果，其中点数之和是偶数的有18种结果，所以前后点数之和为偶数的概率是，故原选项正确， 故选择：C． 【点睛】本题考查求事件发生的概率，理解事件发生的概率的意义，会区分确定事件与随机事件，能根据所学概率知识对各个选项作出正确判断是解答的关键． 【跟踪专练3】下列说法正确的是 （填序号）． ①买彩票中奖是个随机事件，因此中奖的概率与不中奖的概率都是50%． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%． ③在一次课堂进行的实验中，甲，乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是和． ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是随机事件． 【答案】③ 【分析】根据随机事件以及频率和概率的意义分别分析即可； 【详解】①买彩票中奖是个随机事件，但是中奖的可能性很小，此选项错误． ②小明在10次抛图钉的实验中发现3次钉尖朝上，据此，他说钉尖朝上的概率一定是30%，此说法错误，只有当实验次数较多时，才能用实验结果推算概率，是一个估计值，不是准确值； ③在一次课堂进行的实验中，甲、乙两组同学估计一枚硬币落地后正面朝上的概率分别是0.48和0.51，此说法正确； ④13名同学中有两名同学出生的月份相同是必然事件，此说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了概率的意义以及概率与频率的区别，正确区分他们是解题的关键． 【题型6.由频率估计概率】 【典例】山西省举行古建筑行业技能比拼大赛，孙师傅的徒弟计划参加．为判断徒弟是否适合参赛，孙师傅从徒弟手工制作的榫卯结构零件中随机抽查，检验其合格率，并将结果绘制成如下表格．由表格内容可知，若从手工制作的零件中随机抽取一个，则零件合格的概率为 ．（结果精确到0.01） 抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格率 0.93 0.94 0.96 0.95 0.95 【答案】0.95 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据频率估计概率可直接进行求解即可． 【详解】解：由表格数据，合格率在大量抽取时稳定于0.95， 故从手工制作的零件中随机抽取一个，零件合格的概率为0.95． 故答案为0.95． 【跟踪专练1】18世纪，法国数学家布丰提出如下问题：在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表是当，时的投针试验数据： 试验次数 200 500 1000 2000 3000 5000 10000 相交次数 51 122 249 504 759 1240 2510 相交频率 0.255 0.244 0.249 0.252 0.253 0.248 0.251 由此可以估计针与直线相交的概率为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】0.25 【分析】本题主要考查了频率与概率的知识，根据频率和概率的关系即可解答． 【详解】解：在大量的重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.25． 故答案为：0.25． 【跟踪专练2】将一枚图钉向上抛起，下列说法错误的是（    ） A．钉尖触地属于随机事件 B．P（钉尖触地）（钉尖朝上） C．因只有“钉尖触地”和“钉尖朝上”两种结果，则P（钉尖触地） D．通过大量重复试验，钉尖触地的频率会越来越接近其概率 【答案】C 【分析】本题考查随机事件、概率的意义及等可能事件的判断，需依据相关概念逐一分析选项. 【详解】解：∵随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. ∴钉尖触地的结果不确定，属于随机事件，A选项说法正确; ∵抛起图钉后，所有可能结果为钉尖触地和钉尖朝上，二者是对立事件; ∴P（钉尖触地）（钉尖朝上），B选项说法正确; ∵“钉尖触地”和“钉尖朝上”这两种结果发生的可能性不相等，不属于等可能事件, ∴不能得出P（钉尖触地），C选项说法错误; ∵根据频率估计概率的知识，大量重复试验后，频率会逐渐接近概率. ∴D选项说法正确. 故选：C． 【跟踪专练3】在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有 个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 【题型7.用频率估计概率的综合应用】 【典例】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，关键在于理解频率与概率的关系，并通过已知条件建立方程求解未知数．本题通过频率估计概率，核心是将频率等同于概率，代入比例关系求解总球数．最终答案需为整数，计算时需注意单位一致性． 【详解】解：根据频率稳定性的原理，红球出现的概率近似为0.3，   红球的概率计算公式为红球数量除以总球数，即，    解得：．   故答案为：20． 【跟踪专练1】数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 【跟踪专练2】某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ． 【答案】0.5/ 【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右， 设鲫鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=500， 经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为: ， 故答案为：0.5. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率． 【跟踪专练3】甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 解答题 1．红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 【答案】(1)402 (2)150 (3)顾客选择肯德基餐饮店．理由见解析 【分析】本题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）用800减去四星和三星及三星以下的人数，即可得出m的值； （2）用800乘以三星及三星以下占比，即可求出k的值； （3）根据概率公式先求出三家餐饮店获得良好的用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：402； （2）解：由题意，可得． 故答案为：150； （3）解：顾客选择肯德基餐饮店．理由如下： 从样本看，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 真功夫餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 必胜客餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高， 由此估计，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高． 故答案为：肯德基． 2．如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据频率的计算方法计算出空格部分的频率，再填入表格即可求解； （）根据频率估计概率即可； 本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ∴表格补充完整如下： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 （2）解：由表中数据可知，随着实验次数的增大，指针落在“洗发水”的频率稳定在左右， ∴转动该转盘一次，获得洗发水的概率约是， 故答案为：． 3．一个质地均匀的袋子里有4个红球和1个白球，从中随机摸出一个球，摸出白球的概率是．某同学连续摸球5次（每次摸出后放回并摇匀），结果一次白球都没摸到，他认为“概率是错的"．请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了概率的意义． 根据概率的意义作答即可． 【详解】解：不正确． 5次试验属于少量试验，频率为0是可能出现的偶然情况（如连续掷5次硬币都正面朝上）． 若该同学摸球1000次，每次放回摇匀，摸出白球的频率会逐渐趋近于，从而验证概率的正确性． 4．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率． 【详解】（1）解： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （2）由表格可知：获得铅笔的概率约是； 故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $