精品解析：河北保定市清苑区2025-2026学年第一学期期末质量监测八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间12分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号少黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 36的平方根是（　　） A. B. C. D. 2. 下列数据能确定物体具体位置的是（ ） A. 东偏南方向 B. 嘉嘉家距学校 C. 电影院第2排 D. 东经，北纬 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 无理数包括正无理数，0，负无理数 B. 同位角相等，两直线平行 C. 所有的实数都可用数轴上的点表示 D. 两点之间，线段最短 4. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 5. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象经过点，，则它的图象不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点和关于轴对称 B. 和表示同一个点 C. 点坐标为，若，则点在轴上 D. 若点在第三象限，则点的横坐标与纵坐标同号 10. 在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D. 男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 11. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，连接，则下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 12. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 的立方根是__________． 14. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 15. 某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间．如图，2把休闲凳叠在一起，总高，4把休闲凳叠在一起，总高．那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 16. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 解二元一次方程组 （1） （2） 19. 某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级300名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图；其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项测试成绩如下表所示．请你根据以上信息解答下列问题： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 （1）请计算每名候选人的得票数； （2）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？ 20. 如图，中，点在边上，点分别在边和上，，．判断与的位置关系，并说明理由． 21. 某家电销售商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台）： （1）甲品牌冰箱1～6周销售量的中位数是 ，乙品牌冰箱1～6周销售量的众数是 ． （2）求该商店甲品牌冰箱1～6周销售量的平均数和方差； （3）经过计算可知，乙品牌冰箱1～6周销售量的平均数是10，方差是．根据上述数据处理的结果及折线统计图，对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议，并说明理由． 22. 春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． （1）判断的形状并说明理由； （2）请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 23. 随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁180平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁130平方米． （1）一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） （2）某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． （3）在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出点，点，点的坐标； （2）连接，若，求出长度，并计算的面积； （3）若，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分120分，考试时间12分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号少黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 36的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据平方根的概念，由（±6）2=36，可得36的平方根为±6. 故选A. 2. 下列数据能确定物体具体位置的是（ ） A. 东偏南方向 B. 嘉嘉家距学校 C. 电影院第2排 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查确定物体具体位置的要素，确定物体的具体位置需要两个相互独立的定位信息(单一的方向、距离或排数等都无法确定唯一位置)． 【详解】解：A选项：东偏南方向只有方向信息，没有距离，不能确定物体的具体位置； B选项：仅知道距学校，没有明确方向，以学校为圆心、为半径的圆上的点都满足该条件，无法确定具体位置； C选项：电影院第2排包含多个座位，仅排数无法确定具体的座位位置； D选项：东经，北纬是一组经纬度坐标，两个参数能唯一确定地球上某一点的具体位置； 故选：D． 3. 下列命题是假命题的是（ ） A. 无理数包括正无理数，0，负无理数 B. 同位角相等，两直线平行 C. 所有的实数都可用数轴上的点表示 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了命题，无理数的定义，平行线的判定，实数与数轴，两点之间，线段最短，根据相关定义解答即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，包括正无理数和负无理数，但0是有理数，∴A是假命题； ∵同位角相等，两直线平行，是平行线判定定理，∴B为真命题； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴C是真命题； ∵两点之间线段最短是几何公理，∴D是真命题． 故选：A． 4. 如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（ ） A. 下四分位数 B. 中位数 C. 最大值 D. 平均数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的概念与结构，统计量的识别，准确识别箱线图中各部分对应的统计量是解题关键． 根据箱线图的结构，可直接读取下四分位数、中位数、最大值等统计量，但平均数没有体现． 【详解】解：据图可知，该箱线图的最大值为，下四分位数为，中位数为，没有体现平均数． 故选：． 5. 下列图象中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，在函数的定义中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 根据函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 7. 已知一次函数的图象经过点，，则它的图象不经过( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式求解及一次函数的图象性质．关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据、的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：将点，代入， 可得方程组：，解得， 所以该一次函数的解析式为． ，， 该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 8. 古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树棵，乌鸦只，可得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由“三个坐一棵，五个没去处”可得乌鸦数等于每棵树坐三只的乌鸦数加五；由“五个坐一棵，闲了一棵树”可得乌鸦数等于五倍的实际使用的树数（即树数减一），据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意可得方程组为：， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点和关于轴对称 B. 和表示同一个点 C. 点坐标为，若，则点在轴上 D. 若点在第三象限，则点的横坐标与纵坐标同号 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对称点，点所在象限，坐标轴上的点坐标特点逐项判断即可． 【详解】解：∵ 两个点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相同；而点和横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴ 它们关于x轴对称，并非关于y轴对称，故A错误； ∵ 点和的横坐标和纵坐标均不相同，∴ 它们不是同一个点，故B错误； ∵ 点中，若，则点M在x轴上，而非y轴上，故C错误； ∵ 第三象限内点的横坐标和纵坐标均小于0，∴ 它们同号，故D正确． 故选：D． 10. 在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ） A. 男生投篮水平比女生投篮水平高 B. 男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C. 男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D. 男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 11. 如图，在中，点D、E、F分别是上的点，连接，则下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．由不能判定任何直线平行； B．由可判定； C．可判定； D．可判定． 故选D． 12. 甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①、两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一次函数解析式的求解，绝对值方程的应用，理解行程问题的基本量关系是解题关键． ①从图中可读出、两城距离为千米；②从图象可知，甲用时小时，乙在第小时出发、第小时到达，用时小时，乙车比甲车晚出发小时，早到小时；③先求出两车的函数解析式，联立方程解得相遇时间，再减去乙车晚出发的小时，得到乙车出发后小时追上甲车；④先列出两车距离的绝对值方程，求解后结合③进行取舍，得到符合条件的值． 【详解】解：由图可知，、两城相距千米，甲行驶的时间为小时，乙比甲晚小时出发，用时小时到达，比甲提前小时， 故①②正确； 设甲车离开城的距离与时间的函数关系式为， 将代入可得， 则， 设乙车离开城的距离与时间的函数关系式为， 将，代入 可得， 解得， 则， 令，即， 解得，即当乙车出发小时后乙车追上甲车，③错误； 令，可得，则， 当，解得，此时乙车还没有追上甲车，舍去， 当，解得， 令，可得，解得，此时乙车已到达城， 故当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或，④错误． 综上，正确的选项为①②． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 14. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．则芦苇长_____尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得的长度，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：根据题意可得（尺）， 设水深尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得， ，即芦苇长尺． 故答案为：． 15. 某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间．如图，2把休闲凳叠在一起，总高，4把休闲凳叠在一起，总高．那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，根据在2把休闲凳的基础上，每增加1把休闲凳，高度增加建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， ∵2把休闲凳的高度为，4把休闲凳的高度为， ∴在2把休闲凳的基础上，每增加1把休闲凳，高度增加， 则可列方程为， 解得， 即高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳， 故答案为：6． 16. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可； （）利用平方差和完全平方公式展开，再进行加减运算即可； 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解二元一次方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：． 将代入②，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 【小问2详解】 解： 得：③， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：． 所以原方程组的解为． 19. 某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级300名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图；其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项测试成绩如下表所示．请你根据以上信息解答下列问题： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 （1）请计算每名候选人的得票数； （2）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？ 【答案】（1）甲的得票数为票，乙的得票数为票，丙的得票数为票 （2）应该录取乙 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，加权平均数的应用； （1）用各部分所占的百分比，即可求解； （2）利用加权平均数计算三名候选人的平均成绩，再比较成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：甲的得票数为：（票）， 乙的得票数为：（票）， 丙的得票数为：（票）； 【小问2详解】 解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ， 答：应该录取乙． 20. 如图，中，点在边上，点分别在边和上，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：，理由如下： ∵(已知)， ∴(两直线平行，同位角相等)， 又∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与判定定理的综合应用，关键是通过平行线的性质实现角的等量代换，再利用平行线的判定定理推导出直线的平行关系． 【详解】略 21. 某家电销售商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台）： （1）甲品牌冰箱1～6周销售量的中位数是 ，乙品牌冰箱1～6周销售量的众数是 ． （2）求该商店甲品牌冰箱1～6周销售量的平均数和方差； （3）经过计算可知，乙品牌冰箱1～6周销售量的平均数是10，方差是．根据上述数据处理的结果及折线统计图，对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议，并说明理由． 【答案】（1）10；9 （2）平均数是10，方差为 （3）答案不唯一， 甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数相同，乙品牌冰箱周销售量的方差较小，说明乙品牌冰箱销售量比较稳定，可建议商家多采购乙品牌冰箱； 从折线统计图的变化趋势看，甲品牌冰箱的周销售量呈上升趋势，可建议商家多采购甲品牌冰箱；（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）利用中位数的定义，众数的定义即可求解； （2）利用平均数的公式以及方差计算公式即可求解； （3）根据（1）中计算结果及折线统计图的变化趋势，说明哪种进货多，哪种少即可，答案不唯一． 【小问1详解】 解：甲品牌的销售量分别为7、10、8、10、12、13， 重新排列为7、8、10、10、12、13， 处于中间的两个数都是10，则甲品牌冰箱1～6周销售量的中位数是10， 乙品牌的销售量分别为9、10、11、9、12、9， 9出现次数最多，则乙品牌冰箱1～6周销售量的众数是9， 故答案为：10，9； 【小问2详解】 解：甲品牌冰箱周销售量的平均数为=×(7+10+8+10+12+13)=10， S2甲=×[(7-10)2+(10-10)2+(8-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-10)2]＝； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． （1）判断的形状并说明理由； （2）请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】（1） 解：过点作于点， 则， 即， 解得（米）， ∵， ∴嘉嘉在家能听到广播； （2）嘉嘉在家能听到广播 （3）秒 【解析】 【分析】（）利用勾股定理的逆定理解答即可求解； （）过点作于点，利用三角形的面积可得米，进而即可判断求解； （）利用勾股定理可得米，即得米，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解： 是直角三角形，理由如下： ，， ， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，在中，（米）, 同理得，（米）， （米）， ∵（秒）， ∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是秒． 23. 随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁180平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁130平方米． （1）一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） （2）某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示． （3）在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． 【答案】（1）一台A型机器人每小时清洁平方米，一台B型机器人每小时清洁平方米 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，函数关系式． （1）设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，列出代数式，即可求解； （3）根据购买总费用等于型机器人的售价乘以数量，型机器人的售价乘以数量，结合（2）中，的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米 由题意，得 解这个方程组，得 所以，一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米． 【小问2详解】 解：由题意，得， 即， 【小问3详解】 解：由题意， 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线与线段交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）直接写出点，点，点的坐标； （2）连接，若，求出长度，并计算的面积； （3）若，直接写出点的坐标． 【答案】（1），，； （2），的面积为； （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理、三角形面积计算及坐标与几何的综合应用，关键是利用函数图象上点的坐标特征求交点，结合几何性质建立等式求解． （1）根据一次函数与坐标轴交点的求解方法，分别代入或计算对应点的坐标； （2）设的长度为未知数，利用结合勾股定理建立方程求解，再根据三角形面积公式计算面积； （3）通过作PE⊥BC构造等腰直角三角形，利用面积法求出垂线段PE的长度，再结合两点间距离公式建立关于点C横坐标的方程，进而求解点C的坐标． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，则，解得， ； 令，则， ； 对于直线，令，则， ； 故，，． 【小问2详解】 解：设，则， ， ，， ， ∴， ， ， 解得，即； ， ， 的面积； 【小问3详解】 解：过点作于点，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，且，， ∴，解得； 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 设点的坐标为()， 则， 解得(舍去负根)； 当时，， ∴点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $