山东聊城市2025-2026学年第一学期期末教学质量检测高三数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试题 题注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知直线和直线，若，则（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 不存在 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取100名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. 3.5 D. 2.5 5. 粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 6. 将5个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有一个盒子为空的放法种数为（ ） A. 960 B. 600 C. 480 D. 240 7. 已知，部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 是等差数列的前项和，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 当时，取最大值 C. D. 10. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点到渐近线的距离为 B. 为双曲线上任意一点，和为双曲线上关于原点对称的两点，若直线和的斜率均存在，则 C. 直线与有两个公共点 D. 双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 直线与平面夹角正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在上的投影向量的坐标为，则为_________． 13. 一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 14. 已知等差数列的前项和为，满足．则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为正项数列的前项和，，当时，． （1）求的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，证明：． 16. 如图，空间几何体中，和平面所成角为，直线平面，且和是全等的等腰三角形． （1）求证：平面； （2）若，平面，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数,且恒成立. （1）求实数； （2）证明：当时，． 18. 已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 19. 已知为坐标原点，点为和的公共点，，与直线相切． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设动点到定点的距离为定值，动点的轨迹上有四个点满足：，，设中点为，与交点为． （i）证明、、三点共线，并求直线的斜率； （ii）求面积的最大值． 2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试题 题注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】58 【13题答案】 【答案】##0.6 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） ∵，∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故． 【16题答案】 【答案】（1） 过点作于点，连接， ∵与面所成角为， ∴平面平面， ∵平面平面，平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）知对任意实数有，令（）， 则，即，故， 要证明，即证明， 由，可得， 因此只需证明当时，即可. 令函数， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，， 即当时，． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为 所以随机变量的期望 ． 所以． 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）因为动点到定点的距离为定值，所以点的轨迹为圆. 由已知，设的中点为， 所以， 所以三点共线，同理，三点共线， 所以三点共线． 设． 由题意，中点在抛物线上，即，又， 将代入．得． 同理：， 有，此时点坐标为． 所以直线的斜率为0． （ii）48 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $