专题06平行线的性质（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题06平行线的性质 【题型01 两直线平行同位角相等】.....................................2 【题型02 两直线平行内错角相等】.....................................5 【题型03 两直线平行同旁内角互补】...................................7 【题型04 根据平行线的性质探究角的关系】............................10 【题型05 根据平行线的性质求角的度数】..............................13 【题型06 平行线的性质在生活中的应用】..............................15 【题型07 根据平行线判断与性质求角度】..............................18 【题型08 根据平行线判定与性质证明】................................20 【题型09 解答题5题】..............................................23 知识梳理 知识点01:平行线的性质（3 条，必背） 已知：直线 a∥b，直线 c 为截线。 性质 1：两直线平行，同位角相等 若 a∥b，则同位角相等。 符号语言：a∥b⇒∠1=∠2 性质 2：两直线平行，内错角相等 若 a∥b，则内错角相等。 符号语言：a∥b⇒∠1=∠2 性质 3：两直线平行，同旁内角互补 若 a∥b，则同旁内角和为 180∘。 符号语言：a∥b⇒∠1+∠2=180∘ 知识点02:性质 vs 判定（最易混淆点） 1. 平行线的判定（由角 → 线） 同位角相等 ⇒ 两直线平行 内错角相等 ⇒ 两直线平行 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 用途：证明两条直线平行。 2. 平行线的性质（由线 → 角） 两直线平行 ⇒ 同位角相等 两直线平行 ⇒ 内错角相等 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 用途：已知平行，求角度、证角相等。 一句话区分： 要证平行，用判定 已知平行，用性质 知识点03:易错点与注意事项 1.只有两直线平行时，才有这些性质 不平行的两条直线被截，同位角、内错角不一定相等，同旁内角不一定互补。 2.同位角、内错角、同旁内角是位置关系 平行之后才有大小关系（相等 / 互补）。 【题型1.两直线平行同位角相等】 【典例】如图，已知直线，，则 ° 【答案】. 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的定义，由平角的定义得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为40°，则∠GFB的度数为 度 ． 【答案】70 【分析】由平角得到由求出，根据两直线平行同位角相等求出． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、邻补角的性质等知识．解题的关键是利用两直线平行同位角相等求解． 【跟踪专练3】如图所示，直线被直线所截，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出的度数． 根据平行线的性质得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 【题型2.两直线平行内错角相等】 【典例】如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形板的角度数求解即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 【跟踪专练1】如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角等知识，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是 【答案】150° 【详解】过点B作BE∥AD， ∵AD∥CF， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠1=∠A=120°，∠2+∠C=180°， ∵∠ABC=150°，∠1+∠2=∠ABC， ∴∠2=30°， ∴∠C=150°． 【跟踪专练3】如图，平面内直线，点分别在直线上，平分，并且满足，则关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得∠ABC=，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴∠ABE=∠α，∠CBE=∠β， ∴∠ABC=， ∵平分， ∴∠CBD， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补． 【题型3.两直线平行同旁内角互补】 【典例】如图，直线，，则 °． 【答案】55 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据对顶角相等，得到，再由平行线的性质，得到，即可解答． 【详解】解：如图 ∵， ∴， ∵直线， ∴． 故答案为：55． 【跟踪专练1】如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】D 【详解】解：如图， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=90°﹣40°=50°， ∵a∥b， ∴∠2+∠3=180°． ∴∠2=180°﹣50°=130°． 故选D． 【跟踪专练2】如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【题型4.根据平行线的性质探究角的关系】 【典例】已知，一个含有角的三角尺按照如图所示位置摆放，则的度数为 ． 【答案】∠1+∠2＝90° 【分析】先利用平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，最后利用直角三角形的性质即可． 【详解】解：如图， 过直角顶点作l3∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥l3， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目． 【跟踪专练1】如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角的性质等知识点，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． 根据行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，又∵，即，故③正确； ④根据两直线平行，内错角相等可得：，故④正确． 故答案为：①②③④． 【题型5.根据平行线的性质求角度度数】 【典例】如图，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质． 根据平行线的性质得到，根据平角的定义作答即可． 【详解】如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：， ， ． 则直线绕点按逆时针方向至少旋转． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【题型6.平行线的性质在生活中的应用】 【典例】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成 度的角． 【答案】140 【分析】画出示意图，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． 故答案为：140． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 【跟踪专练1】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据题意作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， ∴第二次需要向左拐，故A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， 第二次需要向右拐，故C错误；D正确． 故选：D． 【跟踪专练2】光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型7.根据平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，如果，那么 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出是解此题的关键．根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质求角的度数．作直线，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：如图，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，若，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，，进而根据已知建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解一元一次方程，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【题型8.根据平行线判定与性质证明】 【典例】如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、若，则（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、若，则（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、若，无法得出，故本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用两直线平行，同旁内角互补求得，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（同角的补角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 【跟踪专练2】如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理，对每一个条件进行分析即可． 【详解】解：由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，故满足题意， 由可得，无法得到，故不满足题意， 由可得，结合可得，从而可得，故满足题意， ∴能得到的条件为②④， 故选：． 【跟踪专练3】小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；因此此题根据平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】解：小方：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小方的说法正确，小明的说法错误； 小辉：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故小辉的说法正确； 小杰：连接，如图所示： 由已知条件并不能得出关于的判定条件，故小杰的说法错误； 综上所述：正确的说法有2个； 故答案为2． 解答题 1．如图，在中，．证明： (1) (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． 2．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 【答案】已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，结合证明过程写出依据即可． 【详解】解：（已知） （对顶角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 3．如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 4．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义及比例设元法，解题关键是通过垂直关系得到直角，再结合平行线性质建立角度间的数量关系，利用比例设未知数求解． 首先利用垂直的定义确定直角，再结合角度的比例关系设未知数，通过角度和为建立方程，进而求解的度数． 【详解】解：∵， ∴． ， ∵， ∴． ∵ ∴设，代入上式： ． ∴． 5．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行线的性质 【题型01 两直线平行同位角相等】.....................................2 【题型02 两直线平行内错角相等】.....................................3 【题型03 两直线平行同旁内角互补】...................................4 【题型04 根据平行线的性质探究角的关系】.............................5 【题型05 根据平行线的性质求角的度数】...............................6 【题型06 平行线的性质在生活中的应用】...............................7 【题型07 根据平行线判断与性质求角度】...............................8 【题型08 根据平行线判定与性质证明】.................................9 【题型09 解答题5题】..............................................10 知识梳理 知识点01:平行线的性质（3 条，必背） 已知：直线 a∥b，直线 c 为截线。 性质 1：两直线平行，同位角相等 若 a∥b，则同位角相等。 符号语言：a∥b⇒∠1=∠2 性质 2：两直线平行，内错角相等 若 a∥b，则内错角相等。 符号语言：a∥b⇒∠1=∠2 性质 3：两直线平行，同旁内角互补 若 a∥b，则同旁内角和为 180∘。 符号语言：a∥b⇒∠1+∠2=180∘ 知识点02:性质 vs 判定（最易混淆点） 1. 平行线的判定（由角 → 线） 同位角相等 ⇒ 两直线平行 内错角相等 ⇒ 两直线平行 同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 用途：证明两条直线平行。 2. 平行线的性质（由线 → 角） 两直线平行 ⇒ 同位角相等 两直线平行 ⇒ 内错角相等 两直线平行 ⇒ 同旁内角互补 用途：已知平行，求角度、证角相等。 一句话区分： 知识点03:易错点与注意事项 1.只有两直线平行时，才有这些性质 不平行的两条直线被截，同位角、内错角不一定相等，同旁内角不一定互补。 2.同位角、内错角、同旁内角是位置关系 平行之后才有大小关系（相等 / 互补）。 【题型1.两直线平行同位角相等】 【典例】如图，已知直线，，则 ° 【跟踪专练1】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为40°，则∠GFB的度数为 度 ． 【跟踪专练3】如图所示，直线被直线所截，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【题型2.两直线平行内错角相等】 【典例】如图，，将一个含角的直角三角板如图放置，使点E落在直线上，若，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，，射线交线段于点．下列角中，与相等的角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是 【跟踪专练3】如图，平面内直线，点分别在直线上，平分，并且满足，则关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型3.两直线平行同旁内角互补】 【典例】如图，直线，，则 °． 【跟踪专练1】如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【跟踪专练2】如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4.根据平行线的性质探究角的关系】 【典例】已知，一个含有角的三角尺按照如图所示位置摆放，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 （填序号）． ①；        ②；③；    ④． 【题型5.根据平行线的性质求角度度数】 【典例】如图，，则的度数是 ． 【跟踪专练1】太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ． 【跟踪专练3】如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型6.平行线的性质在生活中的应用】 【典例】工人师傅需要把一截材料加工成U形零件．如图，工人师傅先把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备沿BA在A处进行第二次加工，要保证弯过来的部分与BC平行，则第二次加工需要弯成 度的角． 【跟踪专练1】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【跟踪专练2】光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【题型7.根据平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，如果，那么 ． 【跟踪专练1】如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，若，，，，则的度数为 ． 【跟踪专练3】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型8.根据平行线判定与性质证明】 【典例】如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪专练1】已知：如图，，点是线段的延长线上一点，且．求证：． 完成下面的推理过程： 证明：∵， ∴．（理由：____________________） ∵， ∴______________________．（理由：____________________） ∴．（理由：___________________） 【跟踪专练2】如图，给出下列条件：；；；且．其中，能得到的条件为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】小方、小辉、小明、小杰一起研究一道数学题．如图，已知，，G是边上一点（不与点A，C重合）． 小方说：“如果还知道，那么能得到．” 小辉说：“把小方的已知和结论倒过来，即由，可得到．” 小明说：“一定大于．” 小杰说：“如果连接，那么一定平行于．” 他们4个人中，有 个人的说法是正确的． 解答题 1．如图，在中，．证明： (1) (2)． 2．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 3．如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 4．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 5．除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $