精品解析：河北保定市莲池区2025-2026学年第一学期期末八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个数中，不属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. ， 4. 已知点在第三象限，到轴距离为5，到轴距离为3，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在第二象限，则直线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 点，点是一次函数图像上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 如果一个数是，那么它大于2小于3 C. 算术平方根等于它本身的数是0 D. 在数轴上没有表示这个数的点 8. 如图，一次函数的图像与一次函数（为常数，且）的图像相交于点 ，则关于，的方程组 的解是（ ） A. B. C. D. 9. 《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 11. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 12. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 化简：______． 14. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是，，则该教师的综合成绩为__________分． 15. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，要使，则的度数应为_________． 16. 在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按图所示的方式放置.点、、，…和点、、，…分别在直线和轴上.已知，，则点的坐标是______. 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4） （5）解方程组： 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标__________； （2）判断的形状并求的周长； （3）若点为轴上一动点，直接写出当最大时，点的坐标为__________． 19. 如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 20. 寒假快来了，小飞同学打算买一只200元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用300元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共40件．其中甲玩具的进价是9元/件，乙玩具的进价是7元/件． （1）小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？ （2）小飞计划将甲玩具15元/件卖出，乙玩具10元/件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那只羽毛球拍吗？ 21. 奥运冠军之城的保定在射击项目上拥有深厚底蕴和卓越成就． 以下是甲、乙两人在某次打靶测试中命中的环数： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择谁去参加射击比赛？理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差__________．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． （1）点的坐标是__________，点的坐标是__________． （2）若点是直线上一点，求直线的解析式． （3）在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 【情境】通过学习《勾股定理》和《实数》，嘉琪同学发现，借助网格可以构造无理数． 【感知】如图1所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点，，为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． （1）线段，的长分别是__________，__________； 【探究】嘉琪同学发现借助网格还可以解决以下问题“在中：三边长分别为，，，求这个三角形的面积．” 方法如下： 建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出这个三角形，（即三个顶点都在小正方形的顶点处）如图2所示，这样不用求三角形的高，就借用网格纸就能计算出它的面积．我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法． （2）直接写出图2中的面积是__________； （3）若的边长分别为，，（，，且），试运用构图法在图3中画出相应的，并求出的面积． 【拓展】（4）直接写出代数式最小值． 24. 通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系如图所示． （1）乙机器人分拣包裹的速度是__________个/分，11分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差__________个． （2）求乙分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系式． （3）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． （4）直接写出12分钟之后，在分拣过程中，两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列四个数中，不属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数，即可． 【详解】解：选项A：是无限不循环小数，无法表示为分数，属于无理数，不符合题意． 选项B：是有限小数，属于有理数，符合题意． 选项C：是无限不循环小数，属于无理数，不符合题意． 选项D：是3的立方根，因3不是完全立方数，其结果为无限不循环小数，属于无理数，不符合题意． 故选：B． 2. 以下计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，立方根和算术平方根的求法进行化简即可． 【详解】解：A、和不能合并，故本选项错误，不合题意； B、，故本选项错误，不合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、=5﹣2=3，故本选项错误，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，算术平方根，解题的关键是掌握相应的运算法则． 3. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟记定理内容，判断各选项是否满足直角三角形的条件； 【详解】解：∵ 选项A：， ∴ ，不满足三角形两边之和大于第三边，故不能构成三角形，更不是直角三角形； ∵ 选项B：， 设， ∴， ∴满足勾股定理逆定理，故是直角三角形； ∵ 选项C：， 设， ∴ ， ∴ ，无角，故不是直角三角形； ∵ 选项D：， ∴ ，无角，故不是直角三角形； 故选：B 4. 已知点在第三象限，到轴距离为5，到轴距离为3，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了点的坐标，先根据点所在象限确定横纵坐标的符号，再结合点到坐标轴的距离与坐标绝对值的关系求出点的坐标． 【详解】解：点在第三象限， 点的横、纵坐标均为负数， 点到轴的距离为5，到轴的距离为3， 点纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为3， 点的坐标为， 故选：B． 5. 已知点在第二象限，则直线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据已知条件“点在第二象限”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， 一次函数的图象经过第二、四象限，且与轴交于负半轴，观察选项，A选项符合题意． 故选：A 6. 点，点是一次函数图像上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象性质，熟练掌握一次函数图象的增减性质是解答此题的关键． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 如果一个数是，那么它大于2小于3 C. 算术平方根等于它本身的数是0 D. 在数轴上没有表示这个数的点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，根据等式的性质，无理数的估算，算术平方根的性质，实数与数轴的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，不符合题意； B、如果一个数是，那么即，原命题是真命题，符合题意； C、算术平方根等于它本身的数是0和1，原命题是假命题，不符合题意； D、实数和数轴上的点一一对应，故在数轴上有表示这个数的点，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，一次函数的图像与一次函数（为常数，且）的图像相交于点 ，则关于，的方程组 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握．由交点坐标，先求出的值，结合图像确定方程组的解即可． 【详解】解：将点代入一次函数， 可得，解得， ∴， 结合图像可知， 关于，的方程组 的解是． 故选：C． 9. 《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 10. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的解读，准确定位中位数与四分位数是解题关键． 对比两个班箱线图的箱体宽度、最大值和中位数位置，依次验证选项． 【详解】解：、班箱线图的箱体更窄，故班成绩更集中而非班，错误； 、班成绩的下四分位数是分，而非上四分位数，错误； 、班成绩的最大值没有超过分，故没有学生的成绩超过分，错误； 、两个班成绩的中位数均为分，两个班的中位数相同，正确． 故选：． 11. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接， 点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 将直线：向上平移1个单位即可得直线， 两直线平行， 点是第一象限内直线上的一个动点， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， ∴是定值， ∴是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键． 12. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 14. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是90分，若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是，，则该教师的综合成绩为__________分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 根据加权平均数的计算方法，综合成绩等于笔试成绩乘以权重加上面试成绩乘以权重． 【详解】解：根据题意，该教师的综合成绩为：（分）， 故答案为：86． 15. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，要使，则的度数应为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角板有关的计算以及平行线的性质，先由图得，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵一副三角板按如图所示的方式摆放， ∴， ∵， ∴ 则， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，正方形、、，…，按图所示的方式放置.点、、，…和点、、，…分别在直线和轴上.已知，，则点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的轴对称性，由C1、C2的坐标可求A1、A2的坐标，将A1、A2的坐标代入y=kx+b中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出OB1，OB2的长，设B2G=A3G=t，表示出A3的坐标，代入直线方程中列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出A3的坐标． 【详解】连接A1C1，A2C2，A3C3，分别交x轴于点E、F、G， ∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2， ∴A1与C1关于x轴对称，A2与C2关于x轴对称，A3与C3关于x轴对称， ∵C1（1，-1），C2（，−）， ∴A1（1，1），A2（，）， ∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（-2）=5， 将A1与A2的坐标代入y=kx+b中得： ， 解得： ， ∴直线解析式为y=x+， 设B2G=A3G=t，则有A3坐标为（5+t，t）， 代入直线解析式得：t=（5+t）+， 解得：t=， ∴A3坐标为. 故答案是：. 【点睛】考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） （3）； （4） （5）解方程组： 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组等知识，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质计算即可； （3）根据二次根式的性质和二次根式的加减法则计算即可； （4）根据完全平方公式，平方差公式，二次根式混合运算法则等计算即可； （5）根据加减消元法计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 18. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标__________； （2）判断的形状并求的周长； （3）若点为轴上一动点，直接写出当最大时，点的坐标为__________． 【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）是等腰直角三角形，的周长是 （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图得，， ， ， 是等腰直角三角形， 的周长； 【小问3详解】 解：根据三角形三边关系，在中，，当点在直线上时，最大，此时点是直线与轴的交点， 设直线的解析式为：， 将、代入得，，解得， 直线的解析式为：， 令，得，解得， 点的坐标为． 19. 如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】 解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】略 20. 寒假快来了，小飞同学打算买一只200元的羽毛球拍．但是，他不想用爸妈的钱，打算利用春节前的消费热情，自己赚取．他瞄准小朋友节前买玩具的需求，用300元从批发市场购进甲、乙两种玩具，共40件．其中甲玩具的进价是9元/件，乙玩具的进价是7元/件． （1）小飞购进甲、乙两种玩具各多少件？ （2）小飞计划将甲玩具15元/件卖出，乙玩具10元/件卖出，若甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱够买那只羽毛球拍吗？ 【答案】（1）购进甲种玩具10件，乙种玩具30件； （2）甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱不够买那只羽毛球拍． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）设购进甲种玩具x件，乙种玩具y件，根据总价=单价×数量结合该商场用300元购进甲、乙两种玩具共40件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=每件玩具的利润×数量，即可求出结论． 【小问1详解】 解：解：设甲、乙两种玩具分别为x件、y件， 则：， 解得：， 答：购进甲种玩具10件，乙种玩具30件； 【小问2详解】 解：（元）； ， 答：甲、乙两种玩具都顺利卖完，小飞赚的钱不够买那只羽毛球拍． 21. 奥运冠军之城的保定在射击项目上拥有深厚底蕴和卓越成就． 以下是甲、乙两人在某次打靶测试中命中的环数： 甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9； （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 乙 9 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择谁去参加射击比赛？理由是什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差__________．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）甲：众数8，方差0.4；乙：平均数8，中位数9 （2）选择甲参加射击比赛，理由：甲与乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定 （3）变小 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差等知识，掌握方差的定义和计算公式是关键． （1）根据平均数，中位数，众数和方差的定义求解； （2）根据方差的意义求解； （3）根据方差公式求解． 【小问1详解】 解：甲的射击成绩的众数：8； 甲的射击成绩的方差为： ； 乙的射击成绩从小到大排列：5，7，9，9，10， 乙的射击成绩的平均数：， 乙的射击成绩的中位数：9； 填表如下： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 【小问2详解】 解：选择甲参加射击比赛，理由：甲与乙平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定； 【小问3详解】 解：如果乙再射击1次，命中8环， 则乙的射击成绩的方差为： ， 故方差变小． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． （1）点的坐标是__________，点的坐标是__________． （2）若点是直线上一点，求直线的解析式． （3）在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ①. ②. （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何综合，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别令，即可求解； （2）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （3）先求出，设点的坐标为，根据的面积等于面积的2倍，列出方程，即可求解； 【小问1详解】 解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于面积的2倍， ， 整理得， 或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 23. 综合与实践 【情境】通过学习《勾股定理》和《实数》，嘉琪同学发现，借助网格可以构造无理数． 【感知】如图1所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点，，为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． （1）线段，的长分别是__________，__________； 【探究】嘉琪同学发现借助网格还可以解决以下问题“在中：三边长分别为，，，求这个三角形的面积．” 方法如下： 建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出这个三角形，（即三个顶点都在小正方形的顶点处）如图2所示，这样不用求三角形的高，就借用网格纸就能计算出它的面积．我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法． （2）直接写出图2中的面积是__________； （3）若的边长分别为，，（，，且），试运用构图法在图3中画出相应的，并求出的面积． 【拓展】（4）直接写出代数式最小值． 【答案】（1）， （2） （3）如图构造三角形： （4）45 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）用一个长方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据勾股定理构造图形，进而解题； （4）根据勾股定理构造图形，结合轴对称和最短路径问题解题即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ， ∴， 故答案为：，； （2）由图可知，； 故答案为：； （3），， ， ∴ ； （4）构造图形如下： 其中，， ∵， 而， ∴的最小值为45， 即代数式的最小值为45． 24. 通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系如图所示． （1）乙机器人分拣包裹的速度是__________个/分，11分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差__________个． （2）求乙分拣包裹数量（单位：个）与工作时间（单位：分钟）的关系式． （3）由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． （4）直接写出12分钟之后，在分拣过程中，两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 【答案】（1）； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）乙机器人50分钟分拣3000个包裹，据此可求出乙机器人的分拣速度，进而求出11分钟时乙机器人分拣的包裹数，再求甲机器人在12分钟前的分拣速度，得到11分钟时甲机器人分拣的包裹数，据此可得答案； （2）设，再利用待定系数法求关系式即可； （3）先求出异常前甲的分拣速度，进而求出异常后甲的分拣速度，再根据甲和乙机器人分拣的包裹数量相同建立方程求解即可； （4）分， 和三种情况，分别求出两个机器人分拣的包裹数相差不超过200时x的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解；由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， 则11分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个）， 甲机器人在12分钟前的分拣速度为（个/分）， 则11分钟时，甲机器人分拣的包裹数量为（个）， 甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； 故答案为：60；； 【小问2详解】 解：设， 由题可知过和， ，解得， 乙分拣包裹数量与工作时间的关系式； 【小问3详解】 解：由（1）知，甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分， 则甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分）， 所以12分钟后，甲机器人分拣包裹数量与工作时间的关系式， 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则， 解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． 【小问4详解】 解：当时，由题意得，， 解得； 当时，由题意得， ， 解得； 当时，由题意得，， ∴， ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为 分钟． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $