精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州恩施市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

恩施市2025年秋季学期义务教育阶段期末考试九年级数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，求出新图象的顶点坐标，然后顶点式写出新抛物线解析式即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，-3）， ∴将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（-2，0）， ∴平移后得到的抛物线的解析式是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3. 一元二次方程化为一般形式为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握平方差公式以及移项法则是解题的关键．先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 5. 下列事件为确定性事件的有（ ） A. 打开电视正在播动画片 B. 长、宽为，的矩形，面积是 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 某射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类．本题需依据确定性事件（含必然事件与不可能事件）和随机事件的概念判断各选项，确定性事件是一定发生或一定不发生的事件，随机事件是结果不确定的事件． 【详解】解：确定性事件是指必然发生或必然不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， A选项打开电视是否播动画片，结果不确定，属于随机事件， B选项根据矩形面积公式，长为、宽为的矩形面积必然为，属于必然事件，是确定性事件， C选项掷质地均匀的硬币，正面朝上的结果不确定，属于随机事件， D选项射击运动员射击一次是否命中靶心，结果不确定，属于随机事件． 故选：B． 6. 如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°， ∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB = S扇形ABA′ = =3π 故选D． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键． 7. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 8. 如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 在圆内或圆上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 9. 如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明，由此可得，进而可得，因此可判断④错误． 【详解】解：如下图， 由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线， 因此点A是的中点，故①正确； ∵是的直径， ， ， ∴直线都是的切线，故②正确； ∵直线都是的切线， 根据切线长定理，可知，故③正确； ， ∴， ∴， ， ∵点A是的中点， ，故④错误． 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于x的一元二次方程的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 12. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数） 【解析】 【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题． 【详解】解：抛物线的对称轴是， 关于直线的对称点为， ， ， 抛物线开口向下， 在抛物线上， 当时， 可取大于0的任意一个数， 故答案为： 1（答案不唯一，可取大于0的任何数）． 如图所示， 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性，根据抛物线轴对称的性质是解本题的关键． 13. 大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用一个二维码开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 14. 如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，勾股定理。解题的关键是熟知圆的相关公式． 先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可求出圆锥的高． 【详解】解：依题意，圆心角为，半径为的扇形的弧长为 ∴圆锥的底面半径为， 故圆锥的高为， 故答案为： 15. 如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是______；②______． 【答案】 ①. ##120度 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 作交的延长线于，由三角形的内角和定理可得，，由，可解，从而求出及，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，则有，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：，． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查利用因式分解法求一元二次方程的解．方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：分解因式得：，即， 可得：或， 解得：，． 17. 已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　． 【答案】 （1）如图⊙O即为所求． （2）5 【解析】 【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求． （2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE＝4，BE＝EC＝3， 在Rt△OBE中，OB＝＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查作三角形的外接圆，勾股定理，作垂直平分线.理解三角形的外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点是解决此题的关键 18. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 19. 抛物线 如图所示，回答下列问题 （1）方程的解是___________； （2）关于的不等式的解集是___________； （3）当时，y的取值范围是___________； （4）若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【小问1详解】 解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． 【小问4详解】 解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 21. 如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论； （2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得，． 即的半径为． 【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键． 22. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方处？ 【答案】（1） （2）不能射进球门 （3）向正后方移动 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得； （2）把代入，求出，可知球不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入即可． 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 【小问1详解】 解：由题意得，当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，离地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线解析式为， 将代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得， ， ∴不能射进球门； 【小问3详解】 解：设他应该向后移动 m 米， 则移动后的解析式为， 把点代入得： ， 解得：，（舍）， 故向正后方移动． 23. 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为___________；若，则的长为___________． 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，为等边三角形，求对角线的长． 【答案】【初步探究】， 【类比探究】正方形的边长为 【拓展延伸】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 【初步探究】根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； 【类比探究】将绕点逆时针旋转得，证明≌，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； 【拓展延伸】过作，且，连接，，先判断出为等边三角形，再证明≌，最后用勾股定理即可． 【详解】解：【初步探究】将 绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴； 若，， 解得：； 故答案为：，； 【类比探究】将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴，，共线， ∵， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 设正方形边长为，则，， 在 中，， 即， 解得：或（负值舍去）， ∴正方形的边长为； 【拓展延伸】如图3，过作，且，连接，， ∵， ∴， 又∵，为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施市2025年秋季学期义务教育阶段期末考试九年级数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程化为一般形式为（  ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件为确定性事件的有（ ） A. 打开电视正在播动画片 B. 长、宽为，的矩形，面积是 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D. 某射击运动员射击一次，命中靶心 6. 如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 7. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 在圆内或圆上 9. 如图，已知及外一定点P，嘉嘉同学进行了如下两步操作后，得出了四个结论： ①点A是的中点； ②直线都是的切线； ③点P到点Q、点R的距离相等； ④连接，则． 上述结论正确的是（ ） A. ① B. ② C. ①②③ D. ①②③④ 10. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 是关于x的一元二次方程的一个根 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 12. 二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下： 0 2 0 2 若，写出一个符合题意的的值为______． 13. 大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组利用一个二维码开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______．（结果精确到） 14. 如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是___________． 15. 如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是______；②______． 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 解方程：． 17. 已知：在△ABC中，AB＝AC． （1）求作：△ABC的外接圆，圆心为O．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则⊙O的半径长为　 　． 18. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 19. 抛物线 如图所示，回答下列问题 （1）方程的解是___________； （2）关于的不等式的解集是___________； （3）当时，y的取值范围是___________； （4）若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 21. 如图，是的外接圆，且．连接并延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 22. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方处？ 23. 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为___________；若，则的长为___________． 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，为等边三角形，求对角线的长． 24. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $