重难点3-4 利用导数研究不等式恒成立问题（9重难点题型+6秒杀技巧与性质+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点3-4利用导数研究不等式恒成立问题 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中，本节内容涉及选择题、填空题和解答题，其中解答题常作为压轴题出现，难度较大。常与函数的单调性、极值、最值等结合考查． 2025年北京卷，解答题，15分 2025年上海卷，解答题，15分 2024年全国甲卷，解答题，15分 2024年天津卷，解答题，15分 2023年天津卷，解答题，15分 2023年全国甲卷，解答题，15分 预计2026年在题型上不会有大的变动。内容上重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进而解决不等式的恒成立、能成立问题．还需多留意双变量问题、函数与数列不等式综合证明问题、导数新定义的不等式证明问题等． 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种： ①分离参数＋函数最值 ②直接化为最值＋分类讨论； ③缩小范围＋证明不等式； ④分离函数＋数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。 秒杀技巧与性质一、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 秒杀技巧与性质二、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 秒杀技巧与性质三、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 秒杀技巧与性质四、洛必达法则 法则1若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3），那么=． 法则2若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3），那么=． 法则3若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3），那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 秒杀技巧与性质五、数形结合法 1、函数的不等关系与图象特征： （1）若，均有的图象始终在的下方 （2）若，均有的图象始终在的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图 （2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 秒杀技巧与性质六、最值分析法 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 重难点题型【一】、直接法 1．已知函数，其中． (1)讨论方程实数解的个数； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由可得，， 令，令，可得， 当，函数单调递减， 当，函数单调递增， 所以函数在时取得最小值， 所以当时，方程无实数解， 当时，方程有一个实数解， 当时，，故， 而，， 设，则， 故在上为增函数，故， 故有两个零点即方程有两个实数解. （2）由题意可知， 不等式可化为，， 即当时，恒成立， 所以，即， 令， 则在上单调递增，而， 当即时，在上单调递增， 故， 由题设可得， 设，则该函数在上为减函数， 而，故. 当即时，因为， 故在上有且只有一个零点， 当时，，而时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 而，故，故 因为，故，故符合， 综上所述，实数的取值范围为． 2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2）法一： 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 法二： 因为， 因为，所以，， 故在上恒成立， 所以当时，，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 当时，因为， 令，则， 注意到， 若，，则在上单调递增， 注意到，所以，即，不满足题意； 若，，则， 所以在上最靠近处必存在零点，使得， 此时在上有，所以在上单调递增， 则在上有，即，不满足题意； 综上：. 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)若时，恒有，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)的极小值为，没有极大值 (2) 【分析】 （1）利用导数与函数单调性的关系，结合基本初等函数的单调性即可得解； （2）先由有意义判断得，再利用同构法得到，利用导数可进一步得到，再分类讨论与，结合条件与的单调性即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增，又， 所以当时，取得极小值，没有极大值. （2）由有意义可得，又，则， 因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由（1）知，在上单调递增， 所以，则， 令，则， 当时，单调递增， 所以，所以； 若，则， 在中，令，得，这显然不成立， 所以不满足题意； 若，由，得，则，即. 所以由，得，即， 因为，所以； 综上，的取值范围是. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）将 转化为 ，令 ，由求解； （2）法一：由(1)知，将问题转化为证 ，即证明；法二：令，，证明即可. 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 重难点题型【二】、端点值恒成立或不成立 1．已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求实数的值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，定义域为，， ，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）， 设，则， 依题意得，即， 当时，，当时，，当时，， 所以在处取得极大值，符合题意. 综上所述：. （3）当时，，， 当时， , 令，， 则， ①当时，在上恒成立，故在上为增函数， 所以，故在上为增函数， 故，不合题意. ②当时，令，得， （i）若，即时，在时，，在上为减函数， ，即，在上为减函数，，符合题意； (ii)若，即时， 当时，，在上为增函数，， 在上为增函数，，不合题意. 2．（2025·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，函数. (1)求函数的单调区间； (2)记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），函数定义域为R， 则且， 令，，在上单调递增， 所以，所以的单调递增区间为， ，，所以的单调递减区间为. （2），， 则，且， 令，， 令，时， 所以在上单调递增， ①若，， 所以在上单调递增，所以， 所以恒成立. ②若，， 所以存在，使， 故存在，使得， 此时单调递减，即在上单调递减， 所以，故在上单调递减， 所以此时，不合题意. 综上，. 实数的取值范围为. ：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，， 当时，，在上为增函数； 当时，由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上所述：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数. （2） ， 设，则原不等式恒成立等价于在上恒成立， ，在上为增函数， 则在上恒成立，等价于在上恒成立， 等价于在上恒成立 令，， 令，得，令，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，故. 4．已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，，定义域为， 所以，令得， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，函数在处取得最小值，. （2）因为函数对恒成立 所以对恒成立， 令，则， ①当时，，在上单调递增， 所以，由可得，即满足对恒成立； ②当时，则，，在上单调递增， 因为当趋近于时，趋近于负无穷，不成立，故不满足题意； ③当时，令得 令，恒成立，故在上单调递增， 因为当趋近于正无穷时，趋近于正无穷，当趋近于时，趋近于负无穷， 所以，使得，， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，只需即可； 所以，，，因为，所以， 所以，解得，所以，，    综上所解，实数a的取值范围为． 重难点题型【三】、分离参数之全分离、半分离或换元分离 1．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求. 【详解】不等式有解，即，，只需要， 令， ，， 令，， ，所以函数在上单调递增， 又，，所以存在，使得，即， ，，即；，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，又由，可得， . . 故选：A. 【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要. 2．已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以在上有解，且， 所以，， 令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 且，所以当时，由最大值， 即. 故选：D 3．已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案. 【详解】若存在，使，即， 所以，令，， ，令，解得：， 令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以. 故选：C. 4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围. 【详解】 由题意知在上恒成立， 所以在上恒成立. 令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙， 所以，所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C. 5．（25-26高三上·四川·月考）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 6．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值得解. 【详解】当时，恒成立，当时，， 令，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则， 所以实数的最大值为3. 故答案为：3 7．设函数，且． (1)求函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1），， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，时，，则在上单调递减； 时，，则在上单调递增． （2）方法一：在恒成立，则 当时，，显然成立，符合题意； 当时，得恒成立，即 记，，， 构造函数，，则，故为增函数，则. 故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以 ∴． 方法二：在上恒成立，即． 记，，， 当时，在单增，在单减，则，得，舍： 当时，在单减，在单增，在单减，，， 得； 当时，在单减，成立； 当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立． 综上所述，． 8．（2025·河南开封·校考模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数定义域为， ， 令，则， 当，即时，，所以在定义域上单调递增； 当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增， 令，则，即， 当，即时解得，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当，即，此时恒成立，所以在上单调递增， 当，即时恒成立，所以在定义域上单调递减， 令，则，即，解得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上可得：当时在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，即， 即， 令，，则， 所以在上单调递减，则， 所以，则， 令，， 则， 因为，所以当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即. 重难点题型【四】、洛必达法则 1．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围． 【解析】， 若，则； 若，则等价于，即 则. 记， 因此，当时，，在上单调递减，且， 故，所以在上单调递减， 而. 另一方面，当时，， 因此. 2．设函数.当时，，求的取值范围. 【解析】由题设，此时. ①当时，若，则，不成立； ②当时，当时，，即； 若，则； 若，则等价于，即. 记，则. 记，则，. 因此，在上单调递增，且，所以， 即在上单调递增，且，所以. 因此，所以在上单调递增. 由洛必达法则有， 即当时，，即有，所以. 综上所述，的取值范围是. 3．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)，； 函数在处取得极值，； 又曲线在点处的切线与直线垂直，； 解得：； （2）不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令，则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 （或，， 得在是减函数，进而）． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 重难点题型【五】、同构法 1．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________． 【答案】/ 【解析】由得，即， 令，求导得，则在上单调递增， 显然，当时，恒有，即恒成立， 于是当时，，有， 从而对恒成立，即对恒成立， 令，求导得，则当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的最小值是． 故答案为： 2．（2025·广西柳州·统考三模）已知，（），若在上恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 即在上恒成立. 易知当时，. 令函数，则，函数在上单调递增， 故有，则在上恒成立. 令，则， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 3．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】转化为，令，由，利用函数的单调性求解. 【详解】解：原不等式等价于， 设，则. 又，所以在上单调递增， 则，即. 设，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以. 故选：A. 4．（2024·山西太原·一模）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式变形为，由函数的单调性可得，即，再求导研究在上的单调性即可. 【详解】对不等式进行变形，得到， 令，，又，所以，在上单调递增， ∵，∴，于是有，即， 令，，， 可得当时，，单调递增，当时，，单调递减， 于是，于是， ∴的最小值为. 故答案为：. 5．（2025·全国·高三专题练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求a的取值范围． 【解析】（1）． 当时，令，解得， 当，，单调递减， 当，，单调递增； 当时，，在R上单调递减； 当时，令，解得，所以当，，单调递减， 当，，单调递增； 综上，当时，单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，单调递减区间为R，无单调递增区间； 当时，单调递减区间为，单调递增区间为． （2）原不等式为，即． 因为， 所以． 令，则其在区间上单调递增，取，则；取，则， 所以存在唯一使得， 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即，． 故． 故， 所以． 当且仅当即时，等号成立， 故，即a的取值范围为． 6．（2025·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，,则， 所以，即在点处的切线斜率为. 而，所以切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为， 所以，即，即. 令，则. ，所以在上单调递增， 所以恒成立，即，即恒成立. 令，则， 令，解得，令，解得, 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为恒成立，所以，解得. 所以实数a的取值范围是. 重难点题型【六】、必要性探路 1．（2025·江西九江·统考三模）已知函数）在处的切线斜率为. (1)求a的值； (2)若，，求实数m的取值范围. 【解析】（1）， ， ，，，. （2）由（1）可知，， 由，得， 令，则， ，且，存在，使得当时，， ，即； 下面证明当时，， ，且， ， 设，， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， ，，， ； 当时，令，则， 设，则，且为单调递增函数， 由于，故，仅在是取等号， 故在上单调递增，，故，即， 则在上单调递增，而， 当时，递增的幅度远大于递增的幅度，， 故必存在，使得，则时，， 故在上单调递减，则，与题意不符； 综上，实数m的取值范围为. 2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）证明：由题意得，当时，， 故． （i）当时，，记， 则，单调递增，， 所以，即当时，无零点． （ii）当时，，， 即当时，无零点． （iii）当时，． 因为，所以，即单调递增． 又因为，， 所以当时，存在唯一零点． 综上，当时，有且仅有一个零点． （2）易知，因此恒成立，则在0的左侧邻域内，是减函数，有，则． 因为， 所以，得是对任意成立的必要条件． 下面证明充分性． 当时，，等价于． 令，，即证． （i）当时，，， 即成立． （ii）当时，记，则． 由，得，所以，即单调递增， ，即， ，则， 时，，单调递减，时，，单调递增， 因此是的最小值，即，所以恒成立， 所以． 综上，． 重难点题型【七】、构造函数问题 1．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），， ， 的图像在处的切线方程为，即. （2）解法一：由题意得，因为函数， 故有，等价转化为， 即在时恒成立，所以， 令，则， 令，则，所以函数在时单调递增， ，， ，使得， 当时，，即单调递减，当时，，即单调递增， 故， 由，得 在中，，当时，， 函数在上单调递增，，即与， ， ，即实数的取值范围为. 解法二：因为函数， 故有，等价转化为：， 构造， ，所以可知在上单调递减，在上单调递增， ，即成立，令， 令， 在单调递增， 又，所以存在，使得，即， 可知， 当时，可知恒成立，即此时不等式成立； 当时，又因为， 所以，与不等式矛盾； 综上所述，实数的取值范围为. 2．已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 设 又，∴在上单调递增， 又，∴当时，当时， ∴的单调递增区间为. （2）对函数求导得，，令， 则，∴在上单调递增， 又，当时， 故存在唯一正实数使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴， 由恒成立，得， 由得，∴ ∴，∴， ∴， 设，则恒成立， 故在上单调递增，而， ∴， 又且函数在上是增函数， 故的取值范围为 法2：同法一得， 由得， ∴ ，当且仅当时等号成立， ∴， 故的取值范围为 3．（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【详解】（1）由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. （2）由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）分离参数，令，根据导数求得最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 重难点题型【八】、双变量最值问题 1．已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 【答案】C 【解析】因为对于，恒成立， 所以对于，恒成立， 设，所以. 当时，，函数单调递增， 所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知； 当时， 当时，，函数单调递增. 当时，，函数单调递减. 所以. 所以. 所以. 设， 所以， 当时，，函数单调递减. 当时，，函数单调递增. 所以. 所以的最小值为. 故选：C 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设， 则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A. 3．（2025·全国·模拟预测）若不等式对任意正数恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分和两种情况分类讨论，得出当时不合题意，当时，由题意可得出时才合题意，然后构造函数，利用导数求出最值即可得出结论. 【详解】由题意易知，， 当时，，由恒成立，即恒成立， 因为的值域为，故不可能恒成立，不符合题意； 当时，由得，由得， 由得，由得， 因此，若，则当时，，，故，不合题意； 若，则当时，，，故，不合题意； 因此要使得不等式对任意正数恒成立，有且只有， 即，所以， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故的最大值为，即的最大值为， 故选：A 4．若对于任意正实数，都有( 为自然对数的底数)成立，则的最小值是________. 【答案】0 【解析】因为对于任意正实数x都有成立， 不妨将 代入不等式中，得. 下面证明时满足题意， 令， ，则 . 由 ，得 ，函数在 上单调递增，在上单调递减， 所以，即对任意正数x都成立， 即，时满足题意，所以的最小值为0. 故答案为:0 重难点题型【九】、max,min函数问题 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，．用表示m，n的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】别分判断出，的单调性，进行分类讨论，分和两种情况，利用函数的单调性证明出成立，不满足条件即可求解． 【详解】由于，故，从而对和均有． 这表明在和上均单调递增，从而在上递增． 由于，故． ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减． 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增． 这就意味着有，，所以，不满足条件． 综合①②两个方面可知，实数a的取值范围为． 故选：D． 2．（2024·云南·一模）已知函数，，用表示，中的较大者，记作，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由题意得不等式恒成立，等价于，令，令，通过导数求函数的单调性并求最值即可. 【详解】由题意得不等式恒成立，等价于， 令，易知在是增函数， 且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 3．若，记的最小值为，的最大值为，则 . 【答案】-1 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数研究的单调性并确定其值域，由二次函数性质确定值域，根据题设定义求A、B，即可得结果. 【详解】由二次函数性质知：， 而，则， 所以上，递增，上，递减， 当趋向负无穷时也趋向负无穷，当趋向正无穷时趋向0，而， 所以， 则可得，，，故. 故答案为：-1 4．（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知函数，，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，则当h(x)恰有一个零点时，实数a的取值范围为 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用导数求出函数的单调性及极值，在同一坐标系作出，的图象，数形结合得解. 【详解】因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 又在上单调递减，且， 因为恰有一个零点， 如图: 所以或，即或， 解得或 故答案为：或 【点睛】关键点点睛，利用函数图象，可知恰有1个零点需满足的条件，建立不等式求解. 5．已知函数，，其中. （1）证明：当时，；当时，； （2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：，. 当时，，则；当时，，则， 当时，， 所以当时，，在上是增函数， 又， 所以当时，； 当时，. （2）函数的定义域为， 由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，. . ①若，当时，， 故，递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知，存在，当， ，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 6．已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，. (1)求的值； (2)①判断的零点个数； ②定义函数在上单调递增.求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得： 设切线的且点位，则可得：，又 可得 ： ① 又因为直线为曲线的切线 故可知 ② 由①②解得： （2）① 由小问（1）可知： ， 故必然存在零点，且 又因为，当时， 当时，令 故 故在上是减函数 综上分析，只有一个零点，且 ② 由的导数为 当时，递增，当时，递减； 对的导数在时，递增； 设的交点为，由（2）中①可知 当时， ， 由题意得：在时恒成立，即有； 在上最值为 故 当时， ， 由题意得：在时恒成立，即有 令，则可得函数在递增，在上递减，即可知在处取得极小值，且为最小值； 综上所述：，即. 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】记，由，可知只要时恒成立即可，从而将问题转化为在恒成立， 令，结合导数求出的最值即可求解. 【详解】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为，故，经验证，满足题意. 故选：D 2．（25-26高三上·安徽·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先求出函数的导函数，再应用导函数正负得出函数单调性，进而得出，最后构造函数，结合导函数得出函数单调性可得出最大值. 【详解】令，则， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以． 因为不等式对恒成立，所以， 则． 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 故选：A． 3．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，求，判断单调性,得到的值域为，令，求导，单调性，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以， 又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以， 又当时，恒成立， 所以， 故实数的取值范围为． 故选：B 4．（2025·陕西·模拟预测）若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】原不等式化为不等式，又可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围. 【详解】原不等式化为不等式，又继续化为， 设，则， 即在上单调递增，而， 因为，所以， 由已知恒成立，令，则， 当时，即递减；当时，即递增； ∴，故只需，即．又， 所以的取值范围为. 故选：B 5．（2024·陕西·模拟预测）已知，且时，，若，若是常函数，则方程在区间内根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、二倍角的正弦公式 【分析】由题意结合三角函数的二倍角公式，整理函数的等量关系，利用函数证明不等式的恒成立，可得答案. 【详解】，则， 则，， 则，可得，则， 令，则恒成立，即函数在单调递增， 所以， 即在区间内无实根． 故选：D． 6．（2023·四川成都·一模）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，由此得解. 【详解】因为，所以，， 则，， 因为在区间上为“凹函数”，所以， 即在上恒成立，则在上恒成立， 当，即时，因为，，所以， 故显然成立， 当，即时，令，则在上恒成立， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即，则在上恒成立， 令，则， 又，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以， 综上：，即. 故选：D. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 7．若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用参变量分离法得出，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由题意可得，令，其中， ， 令，则对任意的恒成立，故在为增函数，故， 则对任意的恒成立， 所以，函数在区间上为增函数，则， 所以，，解得. 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、填空题 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高三上·福建·月考）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】把不等式，转化为，结合，进而得到的取值范围. 【详解】令，可得， 当时，可得，单调递减； 当时，可得，单调递增， 可得，即，所以， 由不等式，可得， 因为， 当且仅当时等号成立，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。 【详解】∵ ∴ 两边加上得 设，则在上单调递增， ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值即为最大值，且， ∴，∴即为所求. 故答案为： 三、解答题 11．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，最大值小于等于即可. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故 . 12．（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出的值，再检验即可； （2）由题意在上恒成立，则，结合（1）中函数的单调性求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，依题意可得，解得. 当时，定义域为，且， 所以当或时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处有极小值，所以符合题意. （2）由题意在上恒成立，所以只需， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 因为，所以， 即，所以. 13．（2025·海南·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设为正数，证明：中至少有一个小于； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、作差法比较代数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】（1）根据导数的正负判断函数的单调性； （2）分为与两种情况，结合的单调性及作差法证明； （3）当时，不等式成立；当时，等价于①，令，①式等价于，令，利用导数研究的单调性与最值即可得出结果. 【详解】（1）由题意可知的定义域为. 令，得， 故当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减. 若，则，符合题意； 若，则，则， 又，即， 所以.   综上，中至少有一个小于. （3）当时，，不等式成立. 当时，，即，等价于①. 令，则， ①式等价于，即. 令，则. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以. 当，即时，.   综上，实数的取值范围是. 14．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，. (1)若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； (2)在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或； (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）利用极值的意义可得，可求得，进而令，可求单调递减区间； （2）设在处的切线过点，利用导数的几何意义可求得切线方程为，代入点的坐标，进而求解即可； （3）（分离参数，得到恒成立，令，求出函数的最大值，即可求得的范围. 【详解】（1）由，可得， 因为函数在处取得极小值，所以， 所以，解得，所以， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，所以，所以. 所以，令，得， 所以的单调递减区间为； （2）设在处的切线过点， 由（1）可得，所以， 所以在处的切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得，所以，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， 所以切线方程为或； （3）由，可得， 由不等式恒成立，所以在上恒成立， 整理得在上恒成立， 令， 所以， 令，所以，解得或（舍去）， 所以当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 15．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论导数正负即可得解； （2）分离参数得对恒成立，再设，求导后对分子因式分解，再设新函数求导，最后得到右边最值即可得到答案. 【详解】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 所以恒成立等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 即在上单调递增，故， 令有， 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 则为唯一的极小值点，也是最小值点， 故，从而， 因此实数的取值范围为. 16．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用导数分别求出函数在上的最大值、最小值即可推理得证. （3）等价变形给定不等式，再构造函数，利用导数求出恒成立的的范围即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以当时，. （3）对，， 令，依题意，在上恒成立，且， 求导得，令， 求导得，函数在上单调递增，， 当，即时，，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 17．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数在处取得极值． (1)求实数a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； (3)若成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)存在 (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【详解】（1）由求导得， 因函数在处取得极值，则 所以，则                         当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． （2）由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 （3）令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点3-4利用导数研究不等式恒成立问题 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中，本节内容涉及选择题、填空题和解答题，其中解答题常作为压轴题出现，难度较大。常与函数的单调性、极值、最值等结合考查． 2025年北京卷，解答题，15分 2025年上海卷，解答题，15分 2024年全国甲卷，解答题，15分 2024年天津卷，解答题，15分 2023年天津卷，解答题，15分 2023年全国甲卷，解答题，15分 预计2026年在题型上不会有大的变动。内容上重点考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进而解决不等式的恒成立、能成立问题．还需多留意双变量问题、函数与数列不等式综合证明问题、导数新定义的不等式证明问题等． 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种： ①分离参数＋函数最值 ②直接化为最值＋分类讨论； ③缩小范围＋证明不等式； ④分离函数＋数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。 秒杀技巧与性质一、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 秒杀技巧与性质二、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），． 秒杀技巧与性质三、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，． （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集． 秒杀技巧与性质四、洛必达法则 法则1若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3），那么=． 法则2若函数和满足下列条件：（1）及； （2），和在与上可导，且； （3），那么=． 法则3若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点的去心邻域内，与可导且； （3），那么=． 注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立． （2）洛必达法则可处理，，，，，，型． （3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． ，如满足条件，可继续使用洛必达法则． 秒杀技巧与性质五、数形结合法 1、函数的不等关系与图象特征： （1）若，均有的图象始终在的下方 （2）若，均有的图象始终在的上方 2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数 3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等 4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化） 5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备 6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图 （2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义 （3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 秒杀技巧与性质六、最值分析法 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 重难点题型【一】、直接法 1．已知函数，其中． (1)讨论方程实数解的个数； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数． (1)求的极值； (2)若时，恒有，且，求实数的取值范围． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 重难点题型【二】、端点值恒成立或不成立 1．已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极值，求实数的值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 2．（2025·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，函数. (1)求函数的单调区间； (2)记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数，． (1)若，求函数的最小值及取得最小值时的值； (2)若函数对恒成立，求实数a的取值范围． 重难点题型【三】、分离参数之全分离、半分离或换元分离 1．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川·月考）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为 ． 7．设函数，且． (1)求函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 8．（2025·河南开封·校考模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求实数的取值范围． 重难点题型【四】、洛必达法则 1．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围． 2．设函数.当时，，求的取值范围. 3．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 重难点题型【五】、同构法 1．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________． 2．（2025·广西柳州·统考三模）已知，（），若在上恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西太原·一模）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 5．（2025·全国·高三专题练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若，求a的取值范围． 6．（2025·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求实数a的取值范围. 重难点题型【六】、必要性探路 1．（2025·江西九江·统考三模）已知函数）在处的切线斜率为. (1)求a的值； (2)若，，求实数m的取值范围. 2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数． (1)若，，求证：有且仅有一个零点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 重难点题型【七】、构造函数问题 1．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 3．（2026·河北·模拟预测）设函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程． (2)已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 重难点题型【八】、双变量最值问题 1．已知，，对于，恒成立，则的最小值为（    ） A． B．－1 C． D．－2 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 3．（2025·全国·模拟预测）若不等式对任意正数恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．0 4．若对于任意正实数，都有( 为自然对数的底数)成立，则的最小值是________. 重难点题型【九】、max,min函数问题 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，．用表示m，n的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·一模）已知函数，，用表示，中的较大者，记作，若，则实数的取值范围是 . 3．若，记的最小值为，的最大值为，则 . 4．（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知函数，，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，则当h(x)恰有一个零点时，实数a的取值范围为 5．已知函数，，其中. （1）证明：当时，；当时，； （2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由. 6．已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，. (1)求的值； (2)①判断的零点个数； ②定义函数在上单调递增.求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·二模）已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·安徽·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·海南·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）若，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西·模拟预测）已知，且时，，若，若是常函数，则方程在区间内根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 6．（2023·四川成都·一模）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（24-25高三上·福建·月考）已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 三、解答题 11．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数， (1)讨论的单调性． (2)若对任意都有恒成立，求a的取值范围． 12．（2025·广东汕尾·一模）已知在处有极小值. (1)求的值； (2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）. 13．（2025·海南·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设为正数，证明：中至少有一个小于； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 14．（2025·四川德阳·模拟预测）已知，. (1)若函数在处取得极小值，求的单调递减区间； (2)在（1）的条件下，求过点且与函数图象相切的直线方程； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 16．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，证明：当时，； (3)若对任意，恒成立，求的取值范围． 17．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数在处取得极值． (1)求实数a的值； (2)是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； (3)若成立，求实数t的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $