精品解析：山东淄博市桓台县2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷

初四数学练习题 本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下图是某几何体的三种视图，符合条件的几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体的形状，解题的关键是掌握常见几何体的三视图特征．根据三视图的形状即可判断． 【详解】解：A、三棱柱的主视图是长方形，左视图是小长方形，俯视图是三角形，故此选项符合题意； B、圆锥的主视图是三角形，故此选项不符合题意； C、圆柱的主视图是长方形，左视图是长方形，俯视图是圆，故此选项不符合题意； D、圆锥的主视图是三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 在 中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选∶B． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交点的个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与 轴交点的个数． 【详解】解：∵求抛物线与 轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与 轴交点的个数是0， 故选：D． 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选项B和C错误，不符合题意； 反比例函数位于第一、三象限，故选项A正确，符合题意；选项D错误，不符合题意， 故选：A． 5. 如图，满足三角形内心在上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案． 【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中是该三角形的角平分线，符合题意， 故选：A． 6. 如图，为 上的点， 为圆外一点，为圆的切线，切点为．若三点在一条直线上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键． 先根据切线的性质和直角三角形的性质求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵为 的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若 的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、解直角三角形，构造直角三角形是解答的关键． 取格点H，连接，利用勾股定理及其逆定理得到是直角三角形，且，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：取格点H，连接， 由图知，，则， ，则， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 8. 如图，正六边形的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外接圆与内切圆，勾股定理，等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设内切圆与的切点为H，则，利用正六边形和外接圆的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，再根据含角的直角三角形的性质求得、即可求解． 【详解】解：如图，连接，设内切圆与的切点为H，则， ∵ 是边长为2的正六边形的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，即该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为． 故选：A． 9. 如图，已知抛物线，点为轴上一动点，为抛物线上的动点，在轴上运动时，始终保持 ．且，当点的横坐标为时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． 先求得点A坐标，过A作轴于E，过B作轴于F，证明得到，设，利用坐标与图形性质得到，解方程求得m值即可． 【详解】解：将代入中，得， ∴， 如图，过A作轴于E，过B作轴于F， 则， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 设， ∴，，，， ∴， 整理，得， 解得， 即点B的横坐标为． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 10. 计算： _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】解： 故答案为：． 11. 如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 【答案】灯光 【解析】 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识．根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【详解】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光． 12. 新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用频率估算概率，掌握好频率与概率的关系是关键． 根据性别比定义，男婴数与女婴数之比为， 求出男婴的频率．当试验次数足够大时，频率会趋近于概率，据此得出答案． 【详解】解：由题意可知，男婴数与女婴数之比为， ∴男婴的频率为， ∵当试验次数足够大时，频率会趋近于概率， ∴他（她）为男性的概率为． 故答案为：． 13. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_____（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求与b的关系，以及数形结合思想的运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 又∵对称轴， ， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ， ，故①错误； ②根据图示知，当时，，即，故②正确； ③根据图示知，当时，，即，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 14. 如图，扇形是以为圆心的圆，．点为上的动点，以为圆心，以为半径画圆，当从与 相切运动到与相切的过程中，点经过的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，求得是解答的关键． 设圆P与、相切时的圆心分别为、，切点分别为E、F，利用切线的性质得，利用正弦定义求得，则，然后利用弧长公式求解即可求解． 【详解】解：如图，设圆P与、相切时的圆心分别为、，切点分别为E、F，则， 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即经过的距离为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 完成下列各题： （1）如图，请写出图中对应几何体的名称：①______；②______；③______． （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； 【答案】（1）圆锥；三棱柱；圆柱 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，从不同方向看； （1）根据几何体的展开图的形状进行解答即可； （2）根据从正面和左面看到的图形，进行解答即可． 解题的关键是熟练掌握几何体展开图的形状． 【小问1详解】 解：图中对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱． 故答案为：圆锥；三棱柱；圆柱． 【小问2详解】 解：如图所示： 16. 如图，一个电路中有三个元器件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．分别用和表示元件和的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，如三元件均“正常”记为． （1）用画树状图法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该电路不是通路的概率． 【答案】（1）图见解析，结果总数有8个 （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图法求概率，会画树状图得到所有可能结果，熟知物理知识是解答的关键． （1）根据题意画树状图即可得到所有可能结果； （2）找出该电路不是通路的可能结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下图所示： 由图知，所有可能出现的结果总数有8个； 【小问2详解】 解：由（1）知，该电路不是通路的有，，，，，共5个， ∴该电路不是通路的概率为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，点为一次函数上横坐标为2的点．反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，且点平分 ． （1）求该反比例函数的表达式； （2）过点且平行于 轴的直线交反比例函数图象于点，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键． （1）先求得点A、B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先求得点C坐标，再利用三角形的面积公式和坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中，得， ∴， ∵点平分 ． ∴， 将代入中，得， ∴该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵过点且平行于 轴的直线交反比例函数图象于点， ∴点C的纵坐标为4， 由得，则， ∴ 的面积为． 18. 如图，已知，，，，为上动点． 是以点为圆心、2为半径的圆，为 的切线，切点为 ． （1）若为的中点，求的长； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短，得到 最短时最短是解答的关键． （1）连接 ，证明是等边三角形得到，再根据切线性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）先得到，，则当 最短时最短，此时，利用三角形的等面积法求得 即可求解． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为 的切线， ∴，又， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∴当 最短时最短，此时， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 19. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点 处安装测角仪 ，测得信号杆顶端的仰角为， 与坡面的夹角为，又测得点 与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，， 均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点 ，如图所示： ∵， 均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点 ， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 20. 函数是中学数学中最基本、最重要的内容之一．某数学兴趣小组在学习函数内容时，受到启发．开展了名为“利润最优”的数学建模探究．探究过程如下： 【问题提出】 经调查．桓台某酒店有200间客房．经过一段时间的市场调研，小组得到一些数据：以一天为单位，如果每间客房定价为600元．住房率为；每间客房定价为500元．住房率为65%；每间客房定价为400元，住房率为75%；每间客房定价为300元，住房率为85%．欲使每天收入最高，问每间客房的定价应为多少？ 【模型假设】 为了便于建立酒店的收入模型，特作如下假设： 假设一：在无其他信息时，不妨假设每间客房的最高定价为600元； 假设二：根据小组提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长（即下降的房价与增长的住房率为一次函数关系）； 假设三：酒店每间客房定价相等． 根据题意，设酒店一天的总收入为元，而 为与600元相比降低的房价． 【模型建立与求解】 （1） 的取值范围为_____； （2）求 （与600元相比降低的房价）与（酒店一天的总收入）的函数关系式； （3）求该酒店以一天为单位的最大收入． 【模型反思】 当定价为513元/间时，其收入为65356.2．这实际上是不可能实现的．因为入住房间数必须为整数，而模型中计算的入住房间数（）可能为小数，所以该模型与实际情况存在误差． 【答案】（1）（2）（3）66125元 【解析】 【分析】本题主要考查了函数模型的实际应用； （1）根据已知求出住房率与房价降低量 的函数关系，再根据每间客房的最高定价以及房价下降的情况来确定 的取值范围即可； （2）住房率与房价降低量 的函数关系，再结合总收入=客房数×住房率×（定价-降低房价），即可求解； （3）根据二次函数的性质，通过配方或公式法求出函数的最大值，即可求解． 【详解】解：（1）设住房率与降低的房价 的函数关系式为， 当 时，，即，可得， 当时，，即，解得， ∴住房率与降低的房价 的函数关系式为， ∵，解得， 故答案为：； （2）∵酒店有200间客房，每间客房定价为600元，降低的房价为 元，则实际定价为元，住房率为， ∴， ， ， ∴ 与的函数关系式为； （3）对于二次函数， ∵，，， ∴， 把 代入函数中，可得， ∴该酒店以一天为单位的最大收入为66125元． 21. 如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交 于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】（1） 解：连接 ，则：， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）半圆O的半径为2， 【解析】 【分析】（1）连接 ，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接 ，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出 ，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接 ，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点的坐标． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上的点． ①直接写出抛物线的表达式； ②若， 为抛物线上异于的两点，且．记点， 到直线的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②是一个定值， 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标构造方程得到，解出，即可； （2）①先计算出，则平移后抛物线的顶点坐标为，结合平移不改变抛物线的形状，求出抛物线的表达式； ②先出点，设，， 作直线，直线，过点作 轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点 作 轴的平行线，分别交直线和直线于点 、．容易证明，则．通过因式分解化简后得到，则为定值． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点的坐标， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①由（1）知抛物线的表达式为， 由勾股定理可得， ∵将抛物线沿射线平移个单位长度，得到抛物线， 又∵， ∴抛物线的顶点为点， ∴抛物线的表达式为； ②如图， 作直线，直线，过点作 轴的平行线，分别交直线和直线于点、，过点 作 轴的平行线，分别交直线和直线于点 、，设点，， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由题意可知，，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、 不与点重合， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴为定值． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，平方差公式，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习题 本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下图是某几何体的三种视图，符合条件的几何体为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交点的个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，满足三角形内心在上的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为上的点，为圆外一点， 为圆的切线，切点为 ．若三点在一条直线上，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆的半径之差为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图，已知抛物线，点 为轴上一动点，为抛物线上的动点， 在轴上运动时，始终保持．且，当点 的横坐标为时，点 的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 10. 计算： _____． 11. 如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在__________（填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 12. 新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国年出生的婴儿性别比约为．某婴儿于年出生，估计他（她）为男性的概率_____． 13. 二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_____（填序号）． 14. 如图，扇形是以为圆心的圆，．点 为上的动点，以 为圆心，以为半径画圆，当从与相切运动到与相切的过程中，点 经过的距离为_____． 三、解答题：本题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 完成下列各题： （1）如图，请写出图中对应几何体的名称：①______；②______；③______． （2）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； 16. 如图，一个电路中有三个元器件，每个元件可能正常，也可能失效．把这个电路是否为通路看作是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．分别用和表示元件和 的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示．进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，如三元件均“正常”记为． （1）用画树状图法，求所有可能出现的结果总数； （2）求该电路不是通路的概率 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，点 为一次函数上横坐标为2的点．反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点 ，且点 平分． （1）求该反比例函数的表达式； （2）过点 且平行于 轴的直线交反比例函数图象于点 ，求的面积． 18. 如图，已知， ，，， 为 上动点．是以点为圆心、2为半径的圆， 为的切线，切点为． （1）若 为 的中点，求 的长； （2）求 的最小值． 19. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面 上的点处安装测角仪 ，测得信号杆顶端 的仰角为， 与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端 之间的距离为．已知，点 ， ， 在同一条直线上， ， 均与水平线垂直．求信号杆的高 ．（参考数据：，，） 20. 函数是中学数学中最基本、最重要的内容之一．某数学兴趣小组在学习函数内容时，受到启发．开展了名为“利润最优”的数学建模探究．探究过程如下： 【问题提出】 经调查．桓台某酒店有200间客房．经过一段时间的市场调研，小组得到一些数据：以一天为单位，如果每间客房定价为600元．住房率为；每间客房定价为500元．住房率为65%；每间客房定价为400元，住房率为75%；每间客房定价为300元，住房率为85%．欲使每天收入最高，问每间客房的定价应为多少？ 【模型假设】 为了便于建立酒店的收入模型，特作如下假设： 假设一：在无其他信息时，不妨假设每间客房的最高定价为600元； 假设二：根据小组提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长（即下降的房价与增长的住房率为一次函数关系）； 假设三：酒店每间客房定价相等． 根据题意，设酒店一天的总收入为元，而 为与600元相比降低的房价． 【模型建立与求解】 （1） 的取值范围为_____； （2）求 （与600元相比降低的房价）与（酒店一天的总收入）的函数关系式； （3）求该酒店以一天为单位的最大收入． 【模型反思】 当定价为513元/间时，其收入为65356.2．这实际上是不可能实现的．因为入住房间数必须为整数，而模型中计算的入住房间数（）可能为小数，所以该模型与实际情况存在误差． 21. 如图，点C在以 为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交 的延长线于点D，在上取点E，使，连接 ，交 于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及 的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点 的坐标． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线沿射线平移个单位长度．得到抛物线，为抛物线上的点． ①直接写出抛物线的表达式； ②若，为抛物线上异于 的两点，且．记点，到直线 的距离分别为，，是一个定值吗？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $