专题 1.15 相交线与平行线（单元培优卷）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.15 相交线与平行线（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．33 B．38 C．40 D．42 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，，点为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为（    ） A．90° B．95° C．100° D．105° 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 10．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，分别平分．若，则 ． 13．（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 15．（25-26七年级上·重庆万州·期末）如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 16．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则 ° 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则 ；如图3，当点落在下方，且时，则 （用含n的代数式表示）． 18．（20-21七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图1，． (1)求证：． (2)如图2，连接．若，，求的度数． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）． (1)过点E画的垂线，垂足为M； (2)画，使得，； (3)与的数量关系是 ． 22．（本小题满分10分）（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)，有什么位置关系？请说明理由； (3)若，，其他条件不变，请直接写出和之间的关系，，之间的位置关系，不必说明理由． 23. （本小题满分10分）（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 24. （本小题满分12分）（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.15 相交线与平行线（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据垂直定义可得：∠，从而可得，进而可得，，然后利用平角定义可得：，再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 2．如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（垂线段最短）． ∵， ∴． ，不满足，故A项错误； ，满足，故B项正确； ，满足，故C项正确； ，满足，故D项正确． 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角尺的应用，平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． 先作图将顶点标注字母，延长交于点，由三角尺的度数可证明，则．根据长方形的性质，，可推断出，作差计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，中，，把沿方向平移到的位置，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．33 B．38 C．40 D．42 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质以及梯形面积的计算．解题的关键是利用平移前后图形面积相等的性质，将阴影部分面积转化为可计算的梯形面积．根据平移性质，与面积相等，故阴影梯形的面积等于梯形的面积；利用梯形面积公式，结合、、计算即可． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置 ∴即且． ∵ ∴阴影梯形的面积等于梯形的面积． ∵梯形的上底下底高 ∴其面积为． 即阴影梯形的面积为． 故选：A． 7．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，，直线分别交，于，两点，的平分线交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，角平分线的定义等． 由平行线的性质得，，由角平分线定义得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选：B． 8．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，，点为上方一点，，分别为，的角平分线，若，则的度数为（    ） A．90° B．95° C．100° D．105° 【答案】C 【分析】如图（见解析），过作，先根据平行线的性质、角的和差得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，联立求解可得，最后根据角平分线的定义可得． 【详解】如图，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 9．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（   ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系． 过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案． 【详解】解：解：如图，过点作，过点作， ∵； ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴ ∵的平分线与的平分线交于点N． ，， ∴ ∴， 故选：D． 10．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 12．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，分别平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，作，推出，同理可得，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）随着社会的不断发展，共享单车服务的提供已经成为城市交通建设必不可少的一部分．如图所示的是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中AB，CD都与地面l平行，，．要使AM与CB平行，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行，是解题的关键． 先根据平行于同一条直线的两条直线平行，由都平行于地面推出；再利用平行线的性质求出的度数；最后根据内错角相等，两直线平行，得到的度数． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ， ∴． ∵，， ∴， ∴当时，． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·重庆万州·期末）如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，利用辅助线构造平行线是解题的关键． 过点G作交于点L，令交于点N，则，，，根据角平分线的性质和角平分线的定义，用和表示出和，结合已知条件即可解答． 【详解】解：如图，过点G作交于点L，令交于点N， 设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴， 即． 故答案为：． 16．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则 ° 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．依据，，可得，进而判定，即可得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线、分别交于点M、N， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则 ；如图3，当点落在下方，且时，则 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 18．（20-21七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，如图2，当时，，则其它符合条件的度数为 ． 【答案】或或 【详解】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角尺的性质求解是解题的关键． 【分析】解：①当时，如图，， ，与题意重复； ②当时，如图，，即， ； ③当时，如图，， ； ④当时，如图，延长交于点， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）依据角平分线的定义，得到，根据垂直的定义得到． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． （2）证明：平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图1，． (1)求证：． (2)如图2，连接．若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可证明． （2）根据平行线的性质，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， . ， ， ． （2）解：， . ， . ， ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）． (1)过点E画的垂线，垂足为M； (2)画，使得，； (3)与的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了利用网格画平行线，垂线，平移的性质，平行线的性质，熟练的作图是解题的关键． （1）根据网格作垂线方法，由点向下平移1格，再向左平移5格到，连接交于，结合网格特点可得； （2）根据平移的性质，由点向右平移2格，再向上平移2格到，连接，再由点向左平移1格，再向上平移5格到，即为所求，由点向左平移2格，再向下平移2格到，连接，也为所求； （3）将向右平移1格到，向右平移1格到，由平行线的性质可得，，． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，或即为所求． （3）解：如图，将向右平移1格到，向右平移1格到，则， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 22．（本小题满分10分）（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)，有什么位置关系？请说明理由； (3)若，，其他条件不变，请直接写出和之间的关系，，之间的位置关系，不必说明理由． 【答案】(1)  见解析 (2)   见解析 (3)   【分析】（1） 利用角平分线的定义，将分别表示为的一半，结合，推导与的和． （2） 结合（1）的结论，以及题目给出的，通过角的等量代换得到同位角相等，从而判定． （3） 重复（1）（2）的逻辑，将角度和改为后，重新计算的值，并推导与的位置关系． 【详解】（1）解：．理由如下： ，分别是，的平分线， ，． ， ． （2）解：．理由如下： ，， ． ，， ， ， ． （3）解：，．理由如下： ，分别是，的平分线， ，． ， ． ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定以及角度的和差关系，掌握利用角平分线进行角度转化，以及通过同位角相等判定平行线的方法是解题的关键． 23. （本小题满分10分）（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 24. （本小题满分12分）（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $