专题 1.13 相交线与平行线（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.13 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】对顶角 1 ★【题型 1】对顶角的识别 2 ★【题型 2】利用对顶角性质求值 3 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 5 ★【题型 3】垂直定义的理解及画垂线 6 ★【题型 4】垂线的性质 8 ★【题型 5】点到直线的距离 11 【知识点三】平行线的性质与判定 13 ★【题型6】平行线的判定 13 ★【题型7】平行线的性质 16 ★【题型 8】平行线的性质与判定综合 20 【知识点四】平移 24 ★【题型 9】平移的作图 24 ★【题型 10】平移的性质求值与证明 28 二.综合培优题型精析 32 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 32 ★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 36 ★★【题型 13】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 41 ★★【题型 14】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 49 三.中考真题专练 54 （一）选择题（6题） 54 （二）填空题（6题） 57 （三）解答题（4题） 61 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】对顶角 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 ★【题型 1】对顶角的识别 【例题1】（23-24七年级下·湖北宜昌·月考）下列图形和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． ★【题型 2】利用对顶角性质求值 【例题1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线与相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，直线、相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ． 【变式3】如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 （1）垂直定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. ★【题型 3】垂直定义的理解及画垂线 【例题3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知直线l 和直线外一点 A．用量角器或三角板经过点A画直线l的垂线，垂足为点C；再在直线l上任取一点 B（点C除外），连接．在线段，，中，哪条线段最长？为什么？ 【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·四川内江·月考）如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，若，，，则 ． （2）垂线的性质 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. ★【题型 4】垂线的性质 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（    ） A． B．   C．   D．   【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. ★【题型 5】点到直线的距离 【例题5】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，于点于点，且．试求点到的距离． 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，在直角三角形中，，，， ，，则下列说法中，正确的序号有 （          ） ①点A到的距离是；②点B到的距离是；③点C到的距离是；④点B到的距离是． A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 【知识点三】平行线的性质与判定 （一）平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． ★【题型6】平行线的判定 【例题6】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 【变式1】（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为，所以 ；（2）因为 ，所以；（3）因为，所以 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知直线，被直线所截，点为与的交点，于点H，，，与平行吗？为什么？ （二）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. ★【题型7】平行线的性质 【例题7】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，直线，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， 又（_______）， ____（_______）． （_______）， （_______）， _____（等式的性质）． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知一个角的两边分别与另外一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢？小明根据题意设计了如下的试题：已知，，试判断下列两个图中与的数量关系． (1)填空：图①中______；图②中：______． (2)请选择（1）中的一条结论进行证明． ★【题型 8】平行线的性质与判定综合 【例题8】（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为 度时，．    【变式3】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，已知，平分，，， 求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由． 证明：平分（已知）， ______①（角平分线的定义）． （已知）， ______②（垂直的定义）． （已知）， ∴③______（等量代换）． ______④（等量代换）． （⑤______）． 【知识点四】平移 （1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． （2）平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. ★【题型 9】平移的作图 【例题9】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，将先向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)点到点的距离是________． 【变式1】如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． ★【题型 10】平移的性质求值与证明 【例题10】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A，B，C均为格点． (1)根据要求画图：将三角形平移，使点A与点重合； (2)三角形的面积＝________________． 【变式1】如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【变式2】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． (4)判断和的数量关系______． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题11】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 【变式3】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． ★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 【例题12】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【变式1】（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·月考）如图所示：已知，直线，点为平面内一点，连接与．当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），直接写出图中、和之间的数量关系： ． 【变式3】（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． ★★【题型 13】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 【例题13】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，直线与，分别相交于点，，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点，分别在直线，上，且在点，的右侧，，．    (1)请直接写出，，之间的数量关系． (2)如图2，的平分线交直线于点． ①当时，求的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． ★★【题型 14】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 【例题14】（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【变式3】如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．    (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为_______（直接写出结果）． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·云南·中考真题）如图，已知直线与直线都相交．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川达州·中考真题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·青海西宁·三模）如图，直线，直线分别交于E、F两点，平分，如果那么的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建莆田·三模）将一块含有角的三角板和一把直尺按图中方式摆放．当时，（   ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2023·湖南永州·中考真题）如图，，则 度．    8．（2025·江苏淮安·二模）如图，，平分．若，则的度数为 ． 9．（2025·山东青岛·一模）如图，，平分．若，则的度数为 ． 10．（2025·山东济南·一模）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是 ． 11．（2025·广西柳州·二模）随着“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，越来越多的人们采用骑行共享单车这种出行方式．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为 ． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线分别交直线于点E，F，，与交于点P，且，，，则 ． （三）解答题（4题） 13．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 14．（23-24七年级下·四川德阳·月考）如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线，被直线BC所截，连接，，平分，且与线段相交于点E，F是线段上一点，连接．若．求证：． 16．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）已知：，，垂足分别为、，且，试说明：． 理由：，（已知）， （垂直的定义）． （______）． ______．（两直线平行，同位角相等） 又，（已知）， （等量代换）． （______）． （______）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.13 相交线与平行线（全章知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】对顶角 1 ★【题型 1】对顶角的识别 2 ★【题型 2】利用对顶角性质求值 3 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 5 ★【题型 3】垂直定义的理解及画垂线 6 ★【题型 4】垂线的性质 8 ★【题型 5】点到直线的距离 11 【知识点三】平行线的性质与判定 13 ★【题型6】平行线的判定 13 ★【题型7】平行线的性质 16 ★【题型 8】平行线的性质与判定综合 20 【知识点四】平移 24 ★【题型 9】平移的作图 24 ★【题型 10】平移的性质求值与证明 28 二.综合培优题型精析 32 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 32 ★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 36 ★★【题型 13】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 41 ★★【题型 14】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 49 三.中考真题专练 54 （一）选择题（6题） 54 （二）填空题（6题） 57 （三）解答题（4题） 61 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】对顶角 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 ★【题型 1】对顶角的识别 【例题1】（23-24七年级下·湖北宜昌·月考）下列图形和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键．根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可． 解： A．和符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意； B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意； C．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不符合题意； D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意；． 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义：“两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角”进行判断即可． 解：如图，和是对顶角， 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可． 解：A、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意； C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； D、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意； 故选：B． ★【题型 2】利用对顶角性质求值 【例题1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直、对顶角、在几何中计算角的问题等，关键是掌握对顶角相等，垂直的定义．先通过对顶角求出，再通过垂直求出，然后根据求解即可． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线与相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，结合已知即可求出的度数． 解：和是对顶角， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，直线、相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质及方程思想，根据对顶角相等得到，根据，设，，列方程即可得出答案． 解：∵直线、相交于点O， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 【答案】(1) (2)余角为、，补角为、、 【分析】本题考查了余角和补角的定义以及性质、角平分线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得到，由角平分线的性质得出，根据等量关系可得，进而可得的度数； （2）根据余角和补角的定义，找出图中满足条件的角． （1）解：， ， 平分， ， ，， ， ； （2）解：由（）可知，， 它的余角为，即：、； 它的补角为，即：、、． 【知识点二】垂直及垂直的性质、距离 （1）垂直定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. ★【题型 3】垂直定义的理解及画垂线 【例题3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知直线l 和直线外一点 A．用量角器或三角板经过点A画直线l的垂线，垂足为点C；再在直线l上任取一点 B（点C除外），连接．在线段，，中，哪条线段最长？为什么？ 【答案】见详解，线段最长，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短，先根据题意作图，再结合，即垂线段最短，故，即可作答． 解：如图所示： ∵经过点A画直线l的垂线，垂足为点C； ∴， ∴（垂线段最短） 即线段最长． 【变式1】（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图所示，直线相交于点O，于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点． 根据垂直的定义与角的和差计算即可． 解：于点O， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·四川内江·月考）如图所示，直线，相交于点O，，，，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的性质（两直线垂直则夹角为）与对顶角的性质（对顶角相等），熟练运用这两个性质是解决此类角度计算问题的关键．先依据垂线的性质确定直角（），再通过角度差求出，结合对顶角相等得到，最后利用角度和求出的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，若，，，则 ． 【答案】/64度 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，一元一次方程的应用，根据垂直的定义得出，设，则，进而得出的度数，即可得出的度数． 解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 则． 故答案为：． （2）垂线的性质 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. ★【题型 4】垂线的性质 【例题4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 14．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据画垂线的方法进行判断即可． 解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点P， ∴符合上述条件的图形只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（    ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂线段最短的性质，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短可得答案． 解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可． （1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：，， 理由如下： 因为线段的长度是点P到直线的距离， 所以； 因为线段的长度是点C到直线的距离， 所以． （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. ★【题型 5】点到直线的距离 【例题5】（24-25七年级上·江苏南京·期末）在如图所示的方格纸上作图并标上相应的字母． (1)过点P画线段的垂线，垂足为H； (2)点A到线段的距离即线段 的长； (3)线段、的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)；垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂线、垂线段最短、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）借助网格，根据垂线的定义画图即可． （2）根据点到直线的距离的定义可知，点A到线段PH的距离即线段AH的长． （3）根据垂线段最短可得答案． （1）解：如图，直线即为所求． （2）解：点A到线段的距离即线段的长． 故答案为：． （3）解：线段、的大小关系是． 理由是：垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，于点于点，且．试求点到的距离． 【答案】点到的距离为． 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线的公理，根据题意可得出，从而得出点在同一直线上，然后求出，则点到的距离即为的长，求出的长即为点到的距离是解题的关键． 解：∴，， ∴， ∵， ∴点在同一直线上， ∵， ∴点到的距离为． 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·月考）如图，在直角三角形中，，，， ，，则下列说法中，正确的序号有 （          ） ①点A到的距离是；②点B到的距离是；③点C到的距离是；④点B到的距离是． A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．根据面积公式求得的长度，再根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解． 解：∵， ∴， ∴点A到的距离是，①的说法错误； 点B到的距离是，②的说法正确； 点C到的距离是，③的说法正确； ④点B到的距离小于的长，不可能是，④的说法错误． 综上，正确的有②③， 故选：C． 【知识点三】平行线的性质与判定 （一）平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． ★【题型6】平行线的判定 【例题6】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)（已知）， ________________（   ）． (3)（已知） （   ）． 【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行 (2)，，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键． （1）根据平行线的判定方法即可得出答案； （2）根据平行线的判定方法即可得出答案； （3）根据平行线的判定方法即可得出答案． （1）解：， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． （2）解：， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． （3）解：， （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行． 【变式1】（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为，所以 ；（2）因为 ，所以；（3）因为，所以 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 解：（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知直线，被直线所截，点为与的交点，于点H，，，与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了余角定义，对顶角相等，平行线的判定定理． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （二）平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. ★【题型7】平行线的性质 【例题7】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，直线，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， 又（_______）， ____（_______）． （_______）， （_______）， _____（等式的性质）． 【答案】对顶角相等；130；等量代换；已知；两直线平行，同旁内角互补；50 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等． 根据平行线的性质，对顶角相等补全解答过程即可． 解：（已知）， 又（对顶角相等）， （等量代换）． （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式的性质）． 故答案为：对顶角相等；130；等量代换；已知；两直线平行，同旁内角互补；50． 【变式1】（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，两直线平行同位角相等，垂线的定义理解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用平行线的性质得出，，从而可得，再结合垂直的意义求得． 解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线，点、、分别在直线、、上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等可得，内错角相等可得，然后根据计算即可得解． 解：如图， ， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知一个角的两边分别与另外一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢？小明根据题意设计了如下的试题：已知，，试判断下列两个图中与的数量关系． (1)填空：图①中______；图②中：______． (2)请选择（1）中的一条结论进行证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质进行解答即可； 图①中根据平行线的性质得到，图②中根据平行线的性质得到及，进而得到． （1）解：图①中与的数量关系为：， 图②中与的数量关系为：， 故答案为：；； （2）解：选题图①： 证明：， ． ， ， ； 选题图②：， 证明：， ， ， ， ． ★【题型 8】平行线的性质与判定综合 【例题8】（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分） 证明：过点G作直线， ， ①________． ， ②________． ， ③________（④________________________）． ． (2)【类比探究】如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并请用平行线的知识说明理由． (3)【应用拓展】如图3，点E与点A重合，平分，且，，那么的度数为________． 【答案】(1)；；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （2）过点G作直线，先证明，再由两直线平行，内错角相等得到，，据此由角的和差关系可证明结论； （3）先由平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，由（2）的结论可知，，据此可得答案． （1）证明：过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （2）解：，理由如下： 过点G作直线， ， ． ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）的结论可知，， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质求角的度数．作直线，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 解：如图，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）国家倡导绿色出行，小明的爸爸给他买了一辆单车．图①是该品牌单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为 度时，．    【答案】65 【分析】首先得到，然后由平行得到，进而求解即可． 本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 解：当为65度时，． 证明如下：如图所示，    当为65度时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：65． 【变式3】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，已知，平分，，， 求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由． 证明：平分（已知）， ______①（角平分线的定义）． （已知）， ______②（垂直的定义）． （已知）， ∴③______（等量代换）． ______④（等量代换）． （⑤______）． 【答案】①②③④⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线判定，角平分线的定义和垂线的定义，根据角平分线的定义可得，由垂直定义得，从而得，，故可得结论． 证明：平分（已知）， ①（角平分线的定义）． （已知）， ②（垂直的定义）． （已知）， ∴③（等量代换）． ④（等量代换）． （⑤内错角相等，两直线平行.）． 故答案为：①②③④⑤内错角相等，两直线平行． 【知识点四】平移 （1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． （2）平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. ★【题型 9】平移的作图 【例题9】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，将先向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)点到点的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查平移作图，掌握作图方法是解题的关键． （1）根据平移的方向与距离作图即可； （2）由图形即可解答． （1）解：如图，为所求． （2）解：由图可得，点到点的距离是6． 故答案为：6． 【变式1】如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可求解． 解：根据题意，作图如下， ∵，向右平移距离为，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键． 【变式2】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平移作图、平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平行线的判定与性质画图即可． （3）利用网格结合垂线的定义画图即可． （1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）如图，直线即为所求． ★【题型 10】平移的性质求值与证明 【例题10】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm，点A，B，C均为格点． (1)根据要求画图：将三角形平移，使点A与点重合； (2)三角形的面积＝________________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据平移的性质，将先水平向右移动两个单位长度，再竖直向下移动两个单位长度，即可得到点A于点重合，作图见解析； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （1）解：将先水平向右移动两个单位长度，再竖直向下移动两个单位长度，即可得到点A于点重合，即如图所示： （2）解：由题意可得：， 故答案为． 【点睛】本题考查作图−平移变换、用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【变式1】如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O，若∠C的度数为x，则∠A1OC的度数为（    ） A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x 【答案】C 【分析】根据平移性质得出，∠C1＝∠C，根据平行线性质得出∠COC1＝∠C1，进而得出∠A1OC的度数． 解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形A1B1C1的位置，BC与A1C1相交于点O， ∴∠C1＝∠C，， ∴∠COC1＝∠C1（两直线平行内错角相等）， ∴∠A1OC＝180°﹣x， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，运用平行线的性质得出∠COC1＝∠C1是解题关键． 【变式2】如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】57 【分析】根据平移的性质易证：S阴影=S梯形ABEH，再利用梯形的面积公式即可解决问题． 解：∵将沿点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴． 故答案是：57． 【点睛】本题考查了平移的性质，能够结合图形得到阴影部分的面积等于梯形的面积是解题关键． 【变式3】如图，在的正方形网格中有，点均在格点上． (1)画出点到直线的最短路径； (2)过点画出的平行线，交于点； (3)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出． (4)判断和的数量关系______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 (4) 【分析】（1）点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线，由此即可求解； （2）根据过点作已知线段的平行线的方法即可求解； （3）根据平移的性质即可求解； （4）根据，即可求解． （1）解：点到直线的最短路径，即过点作直线的垂线， 如图所示，过点作延长线，交于点， ∴垂线段是点到直线的最短路径． （2）解：如图所示，， ∴是所求直线． （3）解：如图所示， ∴即为所求图形． （4）解：，理由如下， 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何图形的变换，平行线，垂直的综合，掌握平移的规律，平行线的作法和性质，垂线的作法和性质是解题的关键． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 11】对顶角、邻补角、角平分线综合 【例题11】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键． （1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角； （2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数． （1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、． 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：． 【变式1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，是的角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的相关计算．先根据，设，，由算出和，进而算出，再根据平分得，最后根据即可求解． 解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 【变式3】（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）；(2)；(3) 【分析】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． （1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ★★【题型 12】平行线的性质与判定综合求值证明 【例题12】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与相交于点，且，平分，且． (1)若，求的度数； (2)画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析；；见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）先求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义可得的度数； （2）综合应用平行线的性质及判定论证即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，求出和，即可求出答案． 本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点， ,, ， ， , , ，， , , 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·月考）如图所示：已知，直线，点为平面内一点，连接与．当点在下方时，与的角平分线相交于点（在下方），直接写出图中、和之间的数量关系： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，过K作，根据，可得，，进而得到，再根据角平分线的定义，得出，进而即可得出结论． 解：过K作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·贵州·期末）已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． （1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． ★★【题型 13】平行线的性质与判定与平移综合求值证明 【例题13】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线任意平移得到（的对应点分别为），连接． (1)如图1，若平移距离为，则阴影部分的周长为___________； (2)如图2，若，求的度数； (3)若以每秒的速度向右平移．设移动了秒，则为何值时，图2中的四边形的面积是的面积的3倍？ (4)在整个运动过程中，当与中一个角是另一个角的3倍时，则的度数为___________°． 【答案】(1)12 (2) (3)10秒 (4)105或52.5或17.5或35 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得，进而可得阴影部分的周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）设的边上的高为，则，由平移性质得四边形底，高为，面积为，根据四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； （4）分和两种情况，根据平行线的性质以及平移的性质列出方程，解方程即可求解． （1）解：∵沿着直线l平移得到，平移距离为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：12； （2）解：∵， ∴， ∵，沿着直线l平移得到， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的边上的高为，则， 由平移性质得：四边形底，高为， 所以，四边形面积为， 因为四边形的面积是的面积的3倍列方程求解即可； 所以，， 解得：， 即10秒后四边形的面积是的面积的3倍 （4）解：连接，如图，由平移知，， ∴，当与中一个角是另一个角的3倍时，与中一个角是另一个角的3倍时，设， 当时，， 若，则，解得，即， 若，则，解得， 即， 当时， 若，则，解得，即， 若，则，解得，即， ∴的度数为或或或 故答案为：105或52.5或17.5或35． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，①当时；②当时；第二种情况：当点在外时，过点作，①当时；②当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况； 综上所述，的大小可能为或或， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质. 先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可． 解：∵，， ∴，， ∴， 当在右边时，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，直线与，分别相交于点，，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点，分别在直线，上，且在点，的右侧，，．    (1)请直接写出，，之间的数量关系． (2)如图2，的平分线交直线于点． ①当时，求的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． （1）解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 又∵的平分线交直线于点O， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②当点N在点G的右侧时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2，    ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． ★★【题型 14】平行线的性质与判定与折叠综合求值证明 【例题14】（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． （1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行推导，得到，即可得出结论． 解：对于图1，由折叠可知：， ∵长方形纸条， ∴， ∴，， ∴度， 对于图2，由折叠可知：度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 故选A． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 【变式3】如图1是一张长方形纸片，将该纸片沿折叠得到图2．    (1)若，求的度数； (2)若，则的度数为_______（直接写出结果）． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案； （2）先根据平行线的性质得出，，求出的度数，最后根据进行计算即可得到答案． （1）解：如图1，   ， ， ， 如图2，   ， ， ， ， ； （2）解：如图1，   ， ， ， 如图2，   ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·云南·中考真题）如图，已知直线与直线都相交．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 解：∵， ∴， 故选：D． 2．（2024·陕西·中考真题）如图，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，证明是解题关键．首先证明，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题． 解：如图，   直角三角板位于两条平行线间且， ， 又直角三角板含角， ， ， 故选：B． 4．（2024·四川达州·中考真题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 5．（2025·青海西宁·三模）如图，直线，直线分别交于E、F两点，平分，如果那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据平行线性质得出，再进一步利用角平分线的定义可得的度数，然后利用平行线性质即可解答． 解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（2025·福建莆田·三模）将一块含有角的三角板和一把直尺按图中方式摆放．当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 解：如图所示， ∵， ∴， 又∵是的外角，，， ∴， 故选：C． （二）填空题（6题） 7．（2023·湖南永州·中考真题）如图，，则 度．    【答案】 【分析】根据，得出，根据，即可得出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补． 8．（2025·江苏淮安·二模）如图，，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先求出，然后根据角平分线的定义，得到，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025·山东青岛·一模）如图，，平分．若，则的度数为 ． 【答案】29 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质可得，，利用角平分线的定义可求解的度数，进而可求解．求解的度数是解题的关键． 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：29． 10．（2025·山东济南·一模）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 解：如图： 由题意可得：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·广西柳州·二模）随着“低碳”生活方式已融入人们的日常生活，越来越多的人们采用骑行共享单车这种出行方式．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线分别交直线于点E，F，，与交于点P，且，，，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先求出的度数，进而求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数，根据，求出的度数，过点作，进而得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． （三）解答题（4题） 13．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，点P是的边上一点，请你用尺规作出经过点P的的平行线（在原图上作画，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图方法，根据平行线的尺规作图方法作图即可．根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题． 连接，过点P利用尺规作出，直线即为所作． 14．（23-24七年级下·四川德阳·月考）如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1），得到，证明，得到，进而得到即可； （2）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而得到的度数，再利用角的和差关系即可得出结果. （1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，直线，被直线BC所截，连接，，平分，且与线段相交于点E，F是线段上一点，连接．若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）已知：，，垂足分别为、，且，试说明：． 理由：，（已知）， （垂直的定义）． （______）． ______．（两直线平行，同位角相等） 又，（已知）， （等量代换）． （______）． （______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．由，可推出，进而得到，结合题意可得，得到，最后根据平行线的性质即可证明． 理由：，（已知）， （垂直的定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）， 又，（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $