课时测评15 超几何分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评15　超几何分布 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　 ) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生，3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 答案：ACD 解析：由超几何分布的数学模型和计算公式知A、C、D均不是超几何分布，选项B是超几何分布． 2．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是(　　 ) A．P(X＝2) B．P(X＝3) C．P(X≤2) D．P(X≤3) 答案：B 解析：设6人中“三好学生”的人数为k，则其选法数为C·C，当k＝3时，选法数为C·C. 3．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是(　　) A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村 C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村 答案：B 解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝，计算P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个深度贫困村的概率为. 4．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　 ) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 答案：B 解析：结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝， 当X＝0时，P(X＝0)＝，故P(X≤1)＝. 5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 答案：C 解析：设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C． 6．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________． 答案： 解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 7．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列． ξ＝k 0 1 2 P(ξ＝k) ________ ________ 答案：　 解析：由题意可知ξ～H(100，2，20)．则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝. 8．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________． 答案： 解析：在这4人中，会说日语的人数为X，则X服从N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布．所以有两个会说日语的概率为：P(X＝2)＝＝. 9．(10分)某摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这3个小球上标数之和，求此次摇奖获得奖金数额X的概率分布列． 解：当摇出的3个小球均标有数字2时，X＝6； 当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X＝9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12. 所以P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝. 所以此次摇奖获得奖金数额的概率分布列为 X 6 9 12 P 10.(10分)袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求： (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；(4分) (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．(6分) 解：(1)有放回抽样时，由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B， 所以P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)不放回抽样时，随机抽取3次可以看成随机抽取1次但1次抽取了3个，因此取到黑球的个数Y服从参数为10，3，2的超几何分布， 则Y～H(10，3，2)，则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 11．(5分)某国科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一国家的概率为______．(结果用分数表示) 答案： 解析：成员有11＋4＋5＝20人，从中任选2人的不同选法有C种，其中不属于同一国家的有C·C＋C·C＋C·C种，根据等可能性事件发生的概率计算公式，可得所求概率为P＝ ＝. 12．(5分)从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为________． 答案： 解析：设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 13．(15分)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为. (1)求7名学生中甲班的学生数；(5分) (2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率．(10分) 解：(1)设甲班的学生数为n， 由题意得，＝＝＝， 整理得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即7个学生中，有甲班3人． (2)由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布， 其中X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝k)＝(k＝0，1，2)． 所以P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为. 14．(15分)某橙子按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱有5 kg)，某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 (1)若以频率估计概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好抽到2箱是一级品的概率；(5分) (2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的是珍品等级的箱数，求X的分布列．(10分) 解：(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品的橙子”为事件A，则P(A)＝＝. 现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ζ， 则ζ～B， 故恰好抽到2箱是一级品的概率为 P(ζ＝2)＝C××＝. (2)用分层抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从这10箱橙子中抽取3箱，则珍品等级的箱数X服从参数为10，3，4的超几何分布，即X～H(10，3，4)． 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $