课时测评16 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评16　离散型随机变量的均值 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(ξ)＝7.5，则a等于(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：C 解析：由题意得： 解得 2．设掷一颗骰子的点数为ξ，则(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 答案：C 解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5，D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝.故选C． 3．(多选)离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则(　　) A．a＝10 B．a＝ C．b＝0 D．b＝1 答案：BC 解析：易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3. ① 又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1， ② 由①②，得a＝，b＝0. 4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于 (　　 ) A． B． C． D．1 答案：A 解析：X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＝. 5．某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学，选出四人进行学业水平测试，这四人中所含女生人数记为η，则η的数学期望为(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案：C 解析：η的可能取值为：1，2，3. P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，P(η＝3)＝＝.所以η的分布列为 η 1 2 3 P E(η)＝1×＋2×＋3×＝2. 6．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a b 若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝____． 答案： 解析：由题意可得＋a＋b＝1，E(X)＝1＝0×＋1×a＋2×b，解得a＝，b＝，所以E(aX＋b)＝E＝×1＋＝. 7．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________． 答案：1.75 解析：X的取值范围是{0，1，2}，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75. 8．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为________；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为________． 答案：3　1 解析：设袋中有白球m个，则有黑球(6－m)个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则P(A)＝1－＝，所以C＝3，即＝3，解得m＝3或m＝8(舍)．P(X＝0)＝1－＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝－＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 9．(10分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(4分) (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．(6分) 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝. (2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3， 又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 10．(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(4分) (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．(6分) 解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. (2)方法一：X的所有可能取值为0，1，2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 综上知，X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)． 方法二：由题意可知：X～H(10，3，2)， 所以P(X＝k)＝，k＝0，1，2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝＝(个)． 11．(5分)(多选)已知随机变量ξ的分布列如表： ξ －1 0 1 P a b 记“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，则下列结论正确的有(　　) A．E(ξ)＝－2a B．E(ξ2)＝ C．P(A)＝ D．P(A)＝ 答案：ABD 解析：由随机变量ξ的分布列知：E(ξ)＝－a＋b，E(ξ2)＝a＋b＝1－＝，所以E(ξ)＝－2a，因为设“函数f(x)＝3 sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，ξ的所有取值为－1，0，1，所以满足事件A的ξ的可能取值为－1，1，所以P(A)＝. 12．(5分)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．2 答案：A 解析：设白球x个，则黑球(7－x)个，取出的2个球中所含白球个数为X，则X取值0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以0×＋1×＋2×＝，解得x＝3. 13．(15分)某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(5分) (2)若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？(10分) 解：(1)选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P(A)＝＝，所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P(A)·P(A)＝. (2)若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X的取值范围是{0，600，700，1 000}． P(X＝0)＝＝，P(X＝600)＝＝，P(X＝700)＝＝，P(X＝1 000)＝＝， 故X的分布列为 X 0 600 700 1 000 P 所以E(X)＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝(元)． 若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z(单位：元)，则Z＝1 000－200Y，由已知可得Y～B，故E(Y)＝3×＝，所以E(Z)＝E(1 000－200Y)＝1 000－200E(Y)＝820(元)．因为E(X)＜E(Z)，所以该顾客选择方案一更合算． 14．(15分)A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下． 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 按表中的对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设三场后A队、B队最后所得总分分别为随机变量X，Y. (1)求X，Y的分布列；(5分) (2)求E(X)和E(Y)．(10分) 解：(1)由题意知X，Y的可能取值均为3，2，1，0. P(X＝3)＝××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝＝， P(X＝0)＝××＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 根据题意得X＋Y＝3， 所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (2)由(1)可得E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝. 因为X＋Y＝3，所以Y＝3－X， 所以E(Y)＝3－E(X)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $