课时测评11 独立性与条件概率的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评11　独立性与条件概率的关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．(多选)下列各对事件中，互为相互独立事件的是(　　) A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点” B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球” C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球” D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生” 答案：ABD 解析：根据事件的特点易知，事件M是否发生对事情N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故A，B，D属于相互独立事件．对于C：由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，所以这两个事件不是相互独立事件． 2．已知事件A与B独立，当P(A)＞0时，若P(B|A)＝0.32，则P(B)＝(　　) A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 答案：C 解析：因为事件A与B独立，P(A)＞0，则P(B|A)＝P(B)＝0.32.故选C 3．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于(　　) A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 答案：C 解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确． 4．甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，则乙获胜的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：甲、乙两人比赛下中国象棋，因为甲获胜的概率是，下成和棋的概率是，所以乙获胜的概率是：P＝1－－＝. 5．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：满足xy＝4的所有可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.所以所求事件的概率为P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝×＋×＋×＝，故选C． 6．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为________． 答案： 解析：该选手被淘汰的对立事件是该选手通过三轮考核，所以该选手被淘汰的概率为：P＝1－××＝. 7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案：0.128 解析：依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对；要么第一、二个问题都答错，第三、四个问题都答对”，因此所求事件的概率为[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128. 8.已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰有1件一等品的概率是______．若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到检测出三等品为止，当检测停止时，恰好取出了1件一等品的概率是________． 答案：　 解析：一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意取出3件产品检测，基本事件总数n＝C＝20，抽出的3件产品中恰有1件一等品包含的基本事件个数m＝CC＝9，则抽出的3件产品中恰有1件一等品的概率是p＝＝.若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到检测出三等品为止，当检测停止时，恰好取出了1件一等品的情况包含以下几种：①进行2次检测的概率P1＝×＝，②进行3次检测的概率P2＝C×××＝，③进行4次检测的概率p3＝C××××＝.所以当检测停止时，恰好取出了1件一等品的概率是：P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝. 9．(10分)甲、乙两名射击运动员一次射击命中目标的概率分别是0.7，0.6，且每次射击命中与否相互之间没有影响，求： (1)甲射击三次，第三次才命中目标的概率；(3分) (2)甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率；(3分) (3)甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率．(4分) 解：(1)记“甲第i次射击命中目标”为事件Ai，“乙第i次射击命中目标”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi(i＝1，2，3)相互独立． “甲第三次才命中目标”为事件12A3，且三次射击相互独立， 所以甲第三次才命中目标的概率为： P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063. (2)“甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标”为事件C． 所以甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率为： P(C)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88. (3)设“甲在两次射击命中目标i次”为事件Mi(i＝0，1，2)，“乙在两次射击命中目标i次”为事件Ni(i＝0，1，2)， 因为事件“甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标次数恰好多一次”可表示为M1N0＋M2N1，M1N0，M2N1, 为互斥事件， 所以甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率为： P(M1N0＋M2N1)＝P(M1N0)＋P(M2N1) ＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4 ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4. 10．(10分)甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果互不影响．已知前2局中，甲、乙各胜1局． (1)求再比赛2局结束这次比赛的概率；(4分) (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．(6分) 解：记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3，4，5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3，4，5)． (1)设“再比赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3A4＋B3B4. 由于各局比赛结果相互独立及事件A3A4与B3B4互斥，故P(A)＝P(A3A4)＋P(B3B4) ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52. (2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件C，因前两局中，甲、乙各胜1局，故若甲获得这次比赛胜利，只需在后面的比赛中，甲再胜2局，从而C＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5. 由于各局比赛结果相互独立及事件A3A4，B3A4A5，A3B4A5两两互斥，故P(C)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. 11．(5分)广雅中学三大社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2023级高一新生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为，a，b，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则a＋b＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：根据题意有：解得a＋b＝. 12．(5分)从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为奇数”则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：事件A＝“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，(2，4)，(2，6)，(4，6)，所以P(A)＝＝，事件B＝“取到的两个数均为奇数”所包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(1，7)，(3，5)，(3，7)，(5，7)，所以P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.故选C． 13．(10分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率；(3分) (2)求需要进行第五场比赛的概率；(3分) (3)求丙最终获胜的概率．(4分) 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，P＝＝. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场的概率为，乙连胜四场比赛的概率为，丙上场后连胜三场的概率为， 所以需要进行五场比赛的概率为： P＝1－－－＝. (3)设A为甲输，B为乙输，C为丙输，则丙最终获胜的概率为： P＝P(ABAB)＋P(BABA)＋P(ABACB)＋P(BABCA)＋P(ABCAB)＋P(ABCBA)＋P(BACAB)＋P(BACBA)＋P(ACABB)＋P(ACBAB)＋P(BCABA)＋P(BCBAA) ＝×2＋×10 ＝. 14．(5分)(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　) A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 答案：D 解析：设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大．故选D． 15．(15分)某公司招聘员工，指定三门课程考试，有两种考试方案． 方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．那么应聘者应选择哪种考试方案？ 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c. 应聘者用方案一考试通过的概率为： P1＝P(ABC (_))＋P(A (_)BC)＋P(AB (_)C)＋P(ABC) ＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc ＝ab＋bc＋ca－2abc， 应聘者用方案二考试通过的概率为： P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC) ＝(ab＋bc＋ca)． 因为a，b，c∈[0，1]， 所以P1－P2＝(ab＋bc＋ca)－2abc ＝[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)]≥0， 故P1≥P2. 即采用方案一，该应聘者通过的概率大． 学科网（北京）股份有限公司 $