单元检测卷(二) 概率与统计-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

单元检测卷(二)　概率与统计 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．) 1．某公司在2019～2023年的收入与支出情况如表所示： 收入x(亿元) 2.2 2.4 3.8 5.2 6.0 支出y(亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 根据表中数据可得回归直线方程为＝0.7x＋，依此估计如果2024年该公司收入为8亿元时的支出为(　　) A．4.502亿元 B．4.404亿元 C．4.358亿元 D．4.856亿元 答案：D 解析：因为x (_)＝＝3.92，y (_)＝＝2，所以＝2－0.7×3.92＝－0.744.所以＝0.7x－0.744.取x＝8，得＝0.7×8－0.744＝4.856. 2．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为如表，则q＝(　　) ξ －1 0 1 P 2q－1 q A． B． C． D． 答案：B 解析：根据题意可得＋2q－1＋q＝1，解得q＝. 3．正态分布N1(μ1，σ)，N2(μ2，σ)，N3(μ3，σ)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　 ) A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大 C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大 答案：D 解析：在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大． 4．设随机变量X等可能地取值1，2，3，···，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为 (　　 ) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 答案：A 解析：由Y＝2X－1<6，得X<3.5， 所以P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3. 5．已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形外，则P(B|A)＝(　　) A． B．1－ C． D．－ 答案：B 解析：由题意，设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为r＝a，面积为πa2；正方形EFGH的边长为a，面积为2a2；所以所求的概率为P(B|A)＝＝1－. 6．根据下表中的数据，用最小二乘法计算出变量x，y的线性回归方程为(　　) x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1 1.5 2 A．＝0.35x＋0.15 B．＝－0.35x＋0.25 C．＝－0.35x＋0.15 D．＝0.35x＋0.25 答案：A 解析：x (_)＝＝3，y (_)＝＝1.2，＝ ＝0.35x＋0.15. 7．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 总计 30 75 105 据此推断药物有效，则这种推断犯错误的概率不超过(　　) 附表及公式： α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ2＝. A．0.025 B．0.010 C．0.005 D．0.001 答案：A 解析：根据列联表，计算χ2＝＝≈6.019>5.204， 所以推断药物有效，这种推断犯错误的概率不超过0.025. 8．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，···，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 答案：D 解析：由散点图可知，在10 ℃至40 ℃之间，发芽率y和温度x所对应的点(x，y)在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y＝a＋bln x可作为发芽率y和温度x的回归方程类型． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.则其中正确命题的序号是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：ABD 解析：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球， ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是P＝＝，故A正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为P＝＝，则恰好有两次白球的概率为P＝C＝，故B正确； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为＝，故C错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为P＝＝，则至少有一次取到红球的概率为P＝1－C＝，故D正确． 10．已知X的分布列为 X －1 0 1 P a 则下列说法正确的有(　　) A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－ C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝ 答案：ABD 解析：由分布列的性质可知＋a＋＝1，即a＝.所以P(X＝0)＝，故A正确；E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故B正确；D(X)＝×＋×＋×＝， 故C错误；P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，故D正确．故选A、B、D． 11．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9，4)，则(　　) (附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.955，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997.) A．该校学生每周平均阅读时间为9小时 B．该校学生每周阅读时间的标准差为4 C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3% D．若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为210 答案：AD 解析：由某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X～N(9，4)，可知该校学生每周平均阅读时间为9小时，故A正确；该校学生每周阅读时间的方差为4，故B错误；该校学生每周阅读时间不超过3小时的概率P(x≤3)＝P(X≤μ－3σ)＝[1－P(μ－3σ<X<μ＋3σ)]＝(1－0.997)＝0.001 5＝0.15%，故C错误；每周阅读时间在3～5小时的概率为P(μ－3σ<X≤μ－2σ)＝[P(μ－3σ<X<μ＋3σ)－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝(0.997－0.955)＝0.021，若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5小时的人数约为210，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________；若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________． 答案：　6 解析：从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率为＝.由题意可得：ξ的取值范围是{4，5，6，7，8}．P(ξ＝4)＝P(2红1黄)＝＝＝，P(ξ＝5)＝P(2红1绿)＋P(2黄1红)＝＋＝＝，P(ξ＝6)＝P(1红1黄1绿)＝＝＝，P(ξ＝7)＝P(2黄1绿)＋P(2绿1红)＝＋＝＝，P(ξ＝8)＝P(2绿1黄)＝＝＝.所以E(ξ)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6. 13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 答案：30 解析：设男生人数为x，由题意得列联表如下； 喜欢追星 不喜欢追星 合计 男生 x x x 女生 x x x 合计 x x x 计算χ2＝＝x>3.841，解得x>；又x＝6k，k∈N*，所以xmin＝30，即有95%的把握认为中学生追星与性别有关时，男生至少有30人． 14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是______(写出所有正确结论的序号)． ①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件； ⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关． 答案：②④ 解析：从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故④正确，易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，故②对③错；所以P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误．综上知，正确结论的序号为②④. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(5分) (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？(8分) 解：(1)设A＝ “甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则根据题意有 P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12. 所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)＝＝≈0.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)＝＝＝0.60. 16．(15分)某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为(已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响)． (1)求选手甲回答一个问题的正确率；(5分) (2)求选手甲可以进入决赛的概率．(10分) 解：(1)设选手甲答对一个问题的正确率为P1， 则(1－P1)2＝，故选手甲回答一个问题的正确率P1＝. (2)选手甲答了4道题进入决赛的概率为＝；选手甲答了5道题进入决赛的概率为 C·＝； 选手甲答了6道题进入决赛的概率为C·＝；故选手甲可进入决赛的概率P＝＋＋＝. 17．(15分)为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛． (1)完成下面2×2列联表，试根据小概率值α＝0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？(5分) 男 女 合计 喜爱看足球比赛 不喜爱看足球比赛 合计 60 (2)在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望． (10分) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜爱观看足球比赛的女生为40×＝10人，可得2×2列联表如下： 男 女 合计 喜爱看足球比赛 50 10 60 不喜爱看足球比赛 10 30 40 合计 60 40 100 根据列联表中的数据计算得 χ2＝＝≈34.028＞10.828＝x0.001，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联． (2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人， 则X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 18．(17分)某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，若在一年内出现事故每辆车可赔8 000元的赔偿金(假设每辆车每年最多赔偿一次)．设A，B，C型三辆车一年内发生事故的概率分别为，，，且每辆车是否发生事故相互独立． (1)求该公司获赔的概率；(7分) (2)设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望．(10分) 解：(1)设该公司获赔的概率为P(D)， 则P(D)＝1－P(A (_))P(B (_))P(C (_))＝1－××＝. (2)由题意可知X＝0，8 000，16 000，24 000. 则P(X＝0)＝P(A (_))P(B (_))P(C (_))＝××＝； P(X＝24 000)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝； P(X＝16 000)＝P(A)P(B)P(C (_))＋P(A)P(B (_))P(C)＋P(A (_))P(B)P(C) ＝××＋××＋××＝； P(X＝8 000)＝1－－－＝. 所以X的分布列为 X 0 8 000 16 000 24 000 P E(X)＝0×＋8 000×＋16 000×＋24 000×＝. 19．(17分)某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料．现有如下两种抽样检验方案： 方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收； 方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收． 假设拟购进的这批原料的合格率为p(0＜p＜1)，并用p作为原料中每件产品是合格品的概率．若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担． (1)若p＝，即方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望；(7分) (2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案？说明理由．(10分) 解：(1)由题意，随机变量X的可能取值是15，30， X＝15对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个， X＝30对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验， 所以P(X＝30)＝C·＝，P(X＝15)＝1－P(X＝30)＝1－＝， 所以X的分布列为： X 15 30 P 所以E(X)＝15×＋30×≈19.94. (2)方案一通过检验的概率为P1＝p10＋C(1－p)p9＝p9(10－9p)， 方案二通过检验的概率为P2＝p5＋C(1－p)p4p5＝p5[1＋5p4(1－p)]， P1－P2＝p9(10－9p)－p5[1＋5p4(1－p)]＝p5[p4(10－9p)－1－5p4(1－p)]，其中0＜p＜1， 令f(p)＝p4(10－9p)－1－5p4(1－p)＝－4p5＋5p4－1，则f′(p)＝－20p4＋20p3＝20p3(1－p)＞0，所以函数f(p)在(0，1)上单调递增，故f(p)＜f(1)＝0，即P1＜P2，故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高． 学科网（北京）股份有限公司 $