第四章 概率与统计 章末测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

第四章章 (时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知某种产品的合格率是90%，合格品中 的一级品率是20%，则这种产品的一级品 率为( A.18% B.19% C.20% D.21% 2.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有 效的公共卫生干预措施.根据实验数据， 人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感 染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗， 则最多1人被感染的概率为( A.512 B.256 625 625 c D.625 3.已知随机变量X~N(3,1),且P(X<2)= 0.1587,则P(2≤X≤4)=(） A.0.1586 B.0.3413 C.0.4177 D.0.6826 4.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中 口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲 肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层 为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料 层)，外层为特殊材料抑菌层（无纺布或 超薄聚丙烯熔喷材料层).根据国家质量 监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要 的指标，根据长期生产经验，某企业在生 第四章章末测试卷。 末测试卷 满分：150分) 产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤 率X~N(0.9372,0.01392).若X~Wu,2) (σ>0)，则P(u-2σ<X≤u+2σ)=0.9545， P(u-3σ<X≤u+3σ)=0.9973,0.977250≈ 0.3164.有如下命题：甲：P(X≤0.9)<0.5； 乙：P(X<0.4)>P(X>1.5):丙：P(X>0.9789) =0.00135;丁：假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大 于u+2σ的数量，则P(X≥1)≈0.6.其中 假命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.已知PAB)=0PA)=号，则PBM)等 于( A.9 0 c品 D. 4 6.已知离散型随机变量X的分布列如下表 所示 X 2 3 3 缺失数据 则随机变量X的期望为( A.13 4 B.11 4 6 D. 6 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 7.若随机变量X-B6,号)，则D(2X+1)= A手 B.9C号D 8.已知某公司生产的一种产品的质量（单 位：kg)服从正态分布N(90,64),现从 该产品的生产线上随机抽取10000件产 品，其中质量在区间(82,106)内的产 品估计有() 附：若X-N(u,2),则P-<X+)≈0.6827， P(u-2<X+2o）≈0.9545. A.8718件 B.8772件 C.8128件 D.8186件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分」 9.设离散型随机变量X的分布列如下表所示， X 0 2 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下 列结果正确的有（) A.9=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 10.袋内有大小完全相同的2个黑球和3个 白球，从中不放回地每次任取1个小球， 直至取到白球后停止取球，则() A抽取2次后停止取球的概率为} B.停止取球时，取出的白球个数不少于 6 黑球的概率为9 10 C.取球次数的期望为2 D.取球次数专的方差为 20 11.甲、乙两类水果的质量（单位：kg)分 别服从正态分布N(1,σ)，N(2,3) 其正态分布的密度曲线f(x)=一 2m·σ e器，x∈R,如图所示，则下列说法正 确的是() 1.99/- 00.40.8 第11题图 A.甲类水果的平均质量1=0.4 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更 集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平 均质量小 D.乙类水果的质量服从正态分布的参数 σ3=1.99 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分 12.设随机变量~N(4,9),若实数a满足 P(<3a+2)=P(>2a-1),则a的值是 13.设随机变量X的分布列为PX=k)=m子片， k=1,2,3,则m的值为 14.设0<p<1,若随机变量的分布列如下 表所示 0 2 1-2 2 则当p变化时，D(飞)的极大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在某校举办的“国学知识竞赛” 决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参 加比赛.规则是：每名同学回答一个问 题，答对为本队赢得1分，答错得0分 假设甲队中每名同学答对的概率均为 号，乙队中3名同学答对的概率分别是 之，子，子，且每名同学答题正确与 否互不影响.用X表示乙队的总得分： (1)求随机变量X的分布列 (2)设事件A表示“甲队得2分，乙队 得1分”，求P(A). 第四章章末测试卷。 16.(15分)某电台举办有奖知识竞答比赛， 选手答题规则相同.甲每道题自己有把握 独立答对的概率为}，若甲自己没有把 握答对，则在规定时间内连线亲友团寻 求帮助，其亲友团每道题能答对的概率 为p,假设每道题答对与否互不影响 (1)当p=时： ①若甲答对了某道题，求该题是甲 自己答对的概率； ②甲答了4道题，计甲答对题目的 个数为随机变量X,，求随机变量X 的分布列和数学期望E(X) (2)乙答对每道题的概率为号（含亲友 团)，现甲、乙两人各答两个问题， 若甲答对题目的个数比乙答对题目 的个数多的概率不低于5 求印的 亲友团每道题答对的概率p的最小值. (7 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 17.(15分)某环保机器制造商为响应国家 号召，对一次购买2台机器的客户推出 了两种超过机器保修期后5年内的延保 维修方案： 方案一：交纳延保金5000元，在延保 的5年内可免费维修2次，超过2次每 次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金6230元，在延保 的5年内可免费维修4次，超过4次每 次收取维修费t元 制造商为制定收费标准，收集并整理了 200台这种机器超过保修期后5年内维 修的次数，统计得到下表 维修次数 0 2 3 机器台数 20 40 80 60 以这200台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率，记X表示 2台机器超过保修期后5年内共需维修 的次数， (1)求X的分布列 (2)以所需延保金与维修费用之和的均 值为决策依据，为使选择方案二对 客户更合算，应把t定在什么范围？ (8 18.(17分)某市在司法知识宣传周活动中， 举办了一场司法知识网上答题考试，要 求本市所有机关、企事业单位工作人员 均要参加考试，试题满分为100分，考 试成绩大于等于90分的为优秀.考试结 束后，组织部门从所有参加考试的人员 中随机抽取了200人的成绩作为统计样 本，得到样本平均数为82、方差为64 假设该市机关、企事业单位工作人员有 20万人，考试成绩服从正态分布 N(82,64) (1)估计该市此次司法考试成绩优秀者 的人数有多少万人. (2)该市组织部门为调动机关、企事业 单位工作人员学习司法知识的积极 性，制订了如下奖励方案：所有参 加考试者，均可参与网上“抽奖赢 手机流量”活动，并且成绩优秀者 可有两次抽奖机会，其余参加者抽 奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随 机产生一个两位数(10,11，…，99)， 若产生的两位数的数字相同，则可 获赠手机流量5G,否则获赠手机流 量1G.假设参加考试的所有人均参 加了抽奖活动，试估计此次抽奖活 动赠予的手机流量总共有多少 参考数据：若~N(u,σ2)，则P(u-o<ξ< u+σ)≈0.68 第四章章未测试卷。 19.(17分)随着生活质量的提升，家庭轿 车保有量逐年递增，方便之余却加剧了 交通拥堵和环保问题.绿色出行引领时 尚，共享单车进驻某市.据统计数据， 2024年该市共享单车用户年龄等级分布 如图1所示，一周内市民使用单车的频 率分布扇形图如图2示.若将共享单车 用户按照年龄分为“年轻人”(20~39 岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者 40岁及以上)两类，将一周内使用的次 数为6次或6次以上经常使用共享单车 的称为“单车族”.使用次数为5次或不 足5次的称为“非单车族”.已知在“单 车族”中有5是“年轻人”。 6 9 高中数学选择性必修第二册人教B版 共享单车用户年龄等级分布 50.0% 45.5% 40.0% 34.5% 30.0% 20.0% 14.1% 10.0% 4.7% 1.2% 0 19岁 20 30 40 50 及以下29岁39岁49岁59岁 图1 共享单车使用频率分布 8,9次 19.2% 超过9次 6,7次 10.7% 30.1% 不超过3次 18.2% 4,5次 21.8% 图2 第19题图 (1)现对该市市民进行“经常使用共享 单车与年龄关系”的调查，采用随 机抽样的方法，抽取一个容量为 400的样本，请根据图表中的数据， 补全下列2x2列联表，并判断是否 有95%的把握认为经常使用共享单 车与年龄有关 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 单车族 非单车族 合计 (2)若将(1)中的频率视为概率，从该 市市民中随机任取3人，设其中既 是“单车族”又是“非年轻人”的 人数为随机变量X,求X的分布列： 10 与期望. 参考数据：独立性检验界值表 PX≥ko) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 ko 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中，n=a+b+c+d, n(ad-be)2 X=(a+b)(e+d)(ate)(b+d) (注：保留三 位小数)N 高中数学选择性必修第二册人教B版 山ABD【解析】3：广的展开式中，各项 系数和与二项式系数和之和为2"+2-128，'n=6,故二 项式系数和为26-64，各项系数和为2=2=64，故A,B 正确；展开式的通项公式为T=C(-1)3x6竞，令6-3 =0,求得r=4,故常数项为C32=135,故D正确，故选 ABD. 12.36【解析】将4位交警分成3组，有C=6种不 同的方法，将3组交警分配到3个不同的路口，有A= 6种不同的方法，·.共有6×6=36种不同的安排方法.故 答案为36. 13.81【解析】依题意，得216，即n=4,在(1+2x)4 中，令=1可得各项系数和为3-81.故答案为81. 14.28【解析】(x2-1)8的第(r+1）项为T,1= C8(x2)8+(-1y(0≤r≤8且r∈N), .x不存在，..a5=0.x4的系数为Cg(-1)6-28,.a4= 28,∴.a4+a=28.故答案为28 15.解：(1)根据题意，分两步进行分析： ①三位偶数的个位必须是2或4，有2种情况： ②在剩下的4个数字中任选2个，作为三位数的百 位、十位，有A=12种情况， 则有2x12=24个三位偶数 (2)根据题意，分两步进行分析： ①要求四位数大于2000，其千位数字必须为2,3， 4,5,有4种情况； ②在剩下的4个数字中任选3个，作为三位数的百 位、十位、个位，有A=24种情况. 则有4x24=96个符合题意的四位数. (3)根据题意，分两步进行分析： ①选出1个偶数，夹在两个奇数之间，有AC=12 种情况； ②将这个整体与其他2个数字全排列，有A=6种情 况，其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种. 则有6-2=4种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字 之间的情况 故有12x4=48个符合题意的五位数. 16.解：(1)A=24种. (2)先从四个球中选出一个与盒子号码相同有C种 方法，再把剩余的三个分别放人号码不同的盒子中有两 100 种方法，.有Cx2=8种 (3)先从四个盒子中选出一个空盒子有C种方法， 再把球分成2,1,1三组放人三个盒子中有CC.A种， 2 .有C.CC.A=144种. 2 17.解：(1)依题意，得C+C+C:=1+n+n(n-l) 22,即n2+n-42=0,得n=6或n=-7.n∈N+,n=6. :.展开式中二项式系数最大的项为第4项，即T4= cv川.o0 (2)展开式的通项公式为T=C2x子(=0,1，…， 6),依题3-子reZ,且re0,1,2,,6,解得0 或=4，.展开式中的有理项为x2和240. 18.解：(1)二项展开式的通项公式T4=C(2x)= C2x,令k=2,则a2=C22=60. (2)令=0，得a=1,再令x=1,得 +a1+a2++…+a6=729 .∴a1+a2+a+…+a6=729-1=728 (3)令=1，得a+a+a+++a=729,① 再令=-1，得a-ta-s++6=1.② 由①+2，得t,a,=365. 2 19.解：(1)选①，只有第4项的二项式系数最 大，则展开式中有7项，n=6. 选②，第2项与第6项的二项式系数相等，C!=C, .∴n=1+5=6. 选③，所有二项式系数的和为64,2-64，n=6. T4=C(-2x)'=(-2)yCx,=3,T=(-2)C8x=-160x (2)令x=1,得a+a+a+…+a=(-1)1, 令x=-1,得a-a+-…+a6=3=729, 相减，得2(a+a+a5)=-728,.∴.a+a+a=-364. 一"第四章章末测试卷 1.A【解析】设事件A为“合格品”，事件B 为“一级品”，则P(A)=90%,P(B1A)=20%,∴P(B)= P(AB)=P(A)P(BA)=90%×20%=18%,故选A. 2A【解析】由题得最多1人被感染的概率为C(专十 C号)（号广256256识.故选A 625625 3.D【解析】随机变量X~N(3,1),则u=3,σ= 1,而P(X<2)=0.1587,即P(X-w)=0.1587,于是有 P(2≤X≤4)=P(u-o≤X≤u+o)=2Pu-U≤x≤u)=2[P(X≤ u)-PX-o)]-27-0.1587-06826.故选D. 4.D【解析】由题意，可知正态分布的u=0.9372, o=0.0139.甲：0.9，.P(X≤0.9)<P(X≤u)=0.5,故 A正确；乙：-0.4<1.5Wl,0.4<<1.5,P(X<0.4)> P(X>1.5),故B正确；丙：P(X>0.9789)=P(X>+3o), 且Pu-3a<X≤+3o)-0.9973,PX0.9789)=1-0.9973 2 0.00135,故C正确；丁：一只口罩过滤率小于等于 u+2g的概率为0，.9545+1-09545=0.9725，又PX≥ 2 1)=1-P(X=0)=1-0.977250≈0.6836，故D错误.故选D. 5.B【解析】由条件概率公式，得P(BA)=PAB) P(A) }故经8 3 6.C【解析】由分布列的概率的和为1，可得缺失 数据为1号石了随机变量X的期单为E0X)=1x 号+2x行+3x号放选C 261 7.B【解折】X-B6,号，故可得DX)-6x号× 号号，放D2X+1=40(X)=9放选B 8.D【解析】由题意，可得=90，σ=8，则质量在 (82,98)内的概率P(u-σ<X+σ)≈0.6827，质量在 (74,106)内的概率P(-2σ<X<+2σ)≈0.9545，∴.质 量在(82,106)内的概率P(u-o<X<+2o)=Pw-2<X< u+2o)-2[Pu-2a<X+2o)-Pu-<X+o)]≈0.9545- 号×09545-0627)-08186，：质量在区间(2,106) 内的产品估计有0.8186×10000=8186件，故选D. 9.ACD【解析】q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,∴q=0.1,A 符合题意：又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2= 2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2× 0.2+(4-2)2×0.2=1.8,C符合题意；Y=2X+1,.E(Y)= 2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,D符合题意.故选ACD. 10.BD【解析】设取球次数为，可知随机变量 参考答案⊙ 的可能取值有1,2,3，则P)=子，PG2)-号×是 =高，P=3)=号×分0拍取2次后停止取球的概率 为P52)品，放A错误：停止取球时，取出的白球个 数不少于县球的率为P1)PG-2)号+高品， 放B正确：取球次数专的期塑为E(5=k号+2x品+3x0 =号，放C错误：取球次数专的方差为D()=1-号× 专+2-含品3-x0品故D正确改选D 11.ABC【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4 对称，乙图象关于直线x=0.8对称，1=0.4，山=0.8， 2,A符合题意，C符合题意；甲图象比乙图象更 “高瘦”，∴.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于 平均值左右，B符合题意； 乙图象的最大值为1.9，即，1一=1.9，≠ V2m·w2 1.99,D不符合题意.故选ABC 12.了【解析】：随机变量-N(4,9),“正态曲 线关于x=u=4对称，又P(5<3a+2)=P(>2a-1),∴.3a+2+ 2a-124,解得子 13.貂【解折】PX=I)2,PX=2)=,PK=3) =贺，由离散型随机变量的分布列的性质，知PX=)+ PX=2)+PX=31,即+智+贸1，解得m裂 4【解标】B)-0x号+1x宁+2x号=32。 2 g=号0-3232号2-2 42-2-11≤分，当且仅当=号时取等号，因此DE) 的极大值是？ 15.解：(1)由题意，知随机变量X的所有可能取 值为0,1,2,3，PX=0)=7×号×写8，PX=I= 101 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 +×号×号-.PK3)=×号x号-号 .随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 18 18 9 9 (2)设甲队得分为工，则YB3,子)， Pw-2-cx5号号， P4)-P0X-IPY-2)-×号号 16.解：(1)①记事件A为“甲答对了某道题”， 事件B为“甲确实会做”， 则a+兮号，PMB子rBa P(A) 2-5 36 ②随机变量X可取0,1,2,3,4，甲答对某道题 的概率为P4)+×号 则XB4,子)，则P(X-k)-C(子号“(= 0,1,2,3,4), 则随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 16 96 216 216 81 625 625 625 625 625 周E0x)-教号-号 (2)记事件A,为“甲答对了i道题”，事件B,为 “乙答对了i道题”， 其中甲答对某道题的概率为分+P=号1p),答 错某道题的概率为1(1p)=1-p)， 则P(A)=C2(1+p)·3(I-p)=2(1-p). 102 PA)-[21p)-1pR. r兮g,PBD-Cx号x}- .甲答对题数比乙多的概率为 P(A BoUA2BUA2Bo)=P(A Bo)+P(A2B)+P(A2Bo)= 31mg+子1p以号+号1p户g石3n+ 1+7列≥装 解得号≤p<1,即甲的亲友团助力的概率p的最小 值为号 17.解：(1)由题意，得X=0,1,2,3,4,5,6, r0x0成P-六x时2云P-2) 12 动=4高2+号号石RX-5品号x2 6 3.39 ,PX=-6)=10×0100 X的分布列如下表 X 0 3 4 6 1 3 9 100 25 50 25 25 100 (2)选择方案一：所需费用为Y元，则当X≤2时， Y=5000.当X=3时，Y1=6000:当X=4时，Y=7000: 当X=5时，Y1=8000;当X=6时，Y1=9000. Y的分布列如下表。 Y 5000 6000 7000 8000 9000 17 1 7 6 9 100 50 100 B0)50x0+600s50+70x3+800sg+ 9 9000x100-6860, 选择方案二：所需费用为Y2元，则X≤4时，Y2= 6230;当X=5时，Y2=6230+t;当X=6时，Y2=6230+ 2t,则Y2的分布列如下表. Y 6230 6230+t 6230+2t 67 9 100 2 100 E(Y2)=6230× 67 100 -+(6230+t)× 6 +(6230+2t)× 25 806230+0 要使选择方案二对客户更合算，则E(Y2)<E(Y), :6230+2<6860,解得t<1500,即1的取值范围 50 为[0,1500). 18.解：(1)由题意，随机抽取了200人的成绩作 为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64， 即=82，U=8, .考试成绩优秀者得分专≥90，即专≥u+. 又由P-σ<+o)≈0.68，得 P5≥u+o)=21-06S)016. ·.估计该市此次司法考试成绩优秀者人数可达 20×0.16=3.2万人. (2)设每位抽奖者获赠的手机流量为xG,则x的 值为1,2,5,6,10. 可得P0X=1-(1-016×号-766.PX=2)-16x (品00P0X-5)-106x0-1P- 6-016×号×02=7680PX=10-016x1品户 288 16 10000 随机变量X的分布列如下表 5 10 756 1296 84 288 16 P 1000 10000 1000 10000 10000 B(X0-1x766+2x0280+5x700+6x000 288 10x1016o0-l.624G. 因此，估计此次抽奖活动赠予的手机流量总值为 参考答案。 20x×1.624=32.48万G 19.解：(1)补全的列联表如下： 年轻人 非年轻人 合计 单车族 200 40 240 非单车族 120 40 160 合计 320 80 400 X=400x200x4020x402≈4.167>3.841. 240x160x320x80 即有95%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄 有关 (2)由(1)的列联表，可知既是“单车族”又是 “丰年轻人~占样本总数的频率为品x00=10%。 即在抽取的用户中既是“单车族”又是“非年轻 人”的概率为0.1，随机变量X可取0,1,2,3， P(X=0)-C9(1-0.1)3-0.729,P(X=1)=C0.1'(1-0.1)2= 0.243,P(X=2)=C0.12(1-0.1)'-0.027,P(X=3)=C· 0.13=0.001,则X-B(3,0.1) X的分布列如下表. 0 0.729 0.243 0.027 0.001 X的数学期望E(X)=3x0.1=0.3. "综合测试卷（一） 1.B【解析】由分布列的性质，可得4+2-l+9=1, 解得9故选B 2.B【解析】.随机变量X,Y满足Y=2X+b, .E(Y)=2E(X)+b=4+b,..E(X)=2..D(Y)=4D(X)=32, .D(X)=8.故选B. 3.D【解析】由表中数据，可得=3+4+5+6+7=5，了 5 -3+45+6-+75,将点5，+75j代人-085x 5 5 103